高考数学(理)创新大一轮浙江专版课件:第八章 第7节 空间角的计算_图文

第7节 最新考纲 角问题中的应用. 空间角的计算 1.能用几何方法解决空间角问题;2.了解向量方法在研究立体几何空间 知识梳理 1.求异面直线所成的角 (1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解. (2)(向量法)设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 a 与 b 的夹角 β 范围 (0,π) a· b cos β= |a||b| l1 与 l2 所成的角 θ ? π? ?0, ? 2? ? _____________ 求法 |a· b| |a||b| cos θ=|cos β|=________ 2.求直线与平面所成的角 (1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解,其步骤为“一作、二证、三计算”. (2)(向量法)设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成的 |a· n| |cos〈a,n〉=_______. |a||n| 角为 θ,则 sin θ=____________ 3.求二面角的大小 (1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角,然后加以证明和计算. (2)(向量法)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面 → ,CD →〉 〈 AB 角的大小θ=_______________. 如图②③,n1,n2 分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小 |cos〈n1,n2〉| ,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). θ满足|cos θ|=______________ [常用结论与微点提醒] 1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或 直角时,就是该异面直线的夹角;否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量 a与平面的法向量 n所成角的余弦值的绝对 值,即sin θ=|cos〈a,n〉|,不要误记为cos θ=|cos〈a,n〉|. 3.二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面 α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定 二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ) ? ? π? π? (4)两异面直线夹角的范围是?0,2?,直线与平面所成角的范围是?0,2?,二面角的范 ? ? ? ? 围是[0,π].( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(选修2-1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的二面角为( A.45° 解析 ) C.45°或135° D.90° B.135° m· n 1 2 cos〈m,n〉= = = ,即〈m,n〉=45° . |m||n| 1· 2 2 ∴两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°. 答案 C 3.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90° ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点, BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( A. ) 1 2 30 2 B. C. D. 10 5 10 2 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz, 设 BC=2, 则 B(0, 2,0), → =(1,-1,2),AN → A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM →· →| |BM AN =(-1,0,2),故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值 cos θ= = → |· →| |BM |AN 3 30 = 10 . 6× 5 答案 C 4.(2018· 舟山测试)平面α的斜线与平面α所成的角是35°,则此斜线与平面α内所有不过 斜足的直线所成的角θ的范围是( ) A.0°<θ≤35° C.35°≤θ<90° 解析 B.0°<θ≤90° D.35°≤θ≤90° 设平面 α 的斜线的斜足为 B ,过斜线上 A 点作平面 α 的垂线,垂足为 C ,则 ∠ABC=35°,∴当α内的直线与BC平行时,直线与斜线所成的角θ为35°;当α内的直 线与BC垂直时,则此直线与平面ABC垂直,∴直线与斜线所成的角θ为90°;当α内的 直线与BC既不平行也不垂直时,直线与斜线所成的角θ满足35°<θ<90°. 答案 D 5.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量,若 cos〈m,n〉= 1 - ,则 l 与 α 所成的角为________. 2 1 解析 设 l 与 α 所成角为 θ,∵cos〈m,n〉=-2, 1 ∴ sin θ=| cos〈m,n〉|=2,∵0° ≤θ≤90° ,∴θ=30°. 答案 30° 6.过正方形 ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP 所成的二面角为________. 解析 如图,建立空间直角坐标系,设 AB = PA = 1 ,则 A(0 , 0 , 0) , D(0 , 1 , 0) , P(0 , 0 , 1) ,由题意, AD⊥ 平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD, 又CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD. ? 1 1? → → 所以AD=(0,1,0),AE=?0,2,2?分别是平面 PAB,平面 PCD 的法向量, ? ? → ,AE → 〉=45° 且〈AD . 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°. 答案 45° 考点一 求异面直线所成的角 【例 1】 如图,在四棱锥 PA

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