江苏省无锡市17学年高中数学第一章导数及其应用01导数的概念(一)学案(无答案)苏教版选修2_2

01 导数的概念(一) 【目标要求】 1.理解平均变化率的含义,会求平均变化率 2.通过割线递近切线的过程,理解用割线的斜率逼近切线的 斜率 3.会求曲线在某一点处的切线 【重点难点】 重点:平均变化率的含义,切线斜率的求法 难点:割线逼近切线的“无限递近”的思想 【典例剖析】 例 1:某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第 3 个月以及 第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率. 例 2:⑴分别计算函数 f ( x) ? x2 在区间 [1, 2],[1,1.1],[1,1.01] 上的平均变化率. ⑵已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? ?2 x , 分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x), g ( x) 的平 均变化率 2 例 3:已知 f ( x) ? x ,求曲线 y ? f ( x) 在 x=2 处的切线斜率. 1 例 4:设曲线 y ? ax2 在点 (1, a) 的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,求 a 的值. 练习: 1.已知函数 y ? f ( x) ? x3 ? x 在 x ? 2,? x ? 0.1时 ? y 的值为___________ 2. 函数 g ( x) ? x3 在区间 [?1,1] 上的平均变化率是________. 3.抛物线 y ? ? x2 在点 P(1,-1)处的切线的斜率是_________. 4.给半径为 R 的热气球加热, 使其体积增大, 若半径从 R=1 到 R=m 时的体积膨胀率为 19? , 3 则 m=______. 【学后反思】 1.平均变化率是曲 线陡峭程度的“数量”化,或者说曲线陡峭成度是平均变化率的“视 觉化” . 2.一般的,函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率 ?y =_____________ ?x 3.一次函数 y=kx+b 在区间[m,n]上的平均变化率是 k. 4.由割线运动来逼近切线,割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”的一种数量化. 5. “无限趋近于”意指无限接近常数 A,而且与常数 A 的距离要多 小,就有多小; “△x 无 限趋近于常数 A”通常用符号“△x→A”表示. 2 【作业反馈】 班级 姓名 1.当自变量从 x0 变到 x1时,函数值的增 量与相 应的自变量的增量之比是_____________. 2.曲线 y ? 2 x2 在点 P(x0,y0)处切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则点 P 坐标为__________. 3. 若函数 y ? f ( x) 在 x=1 处有增量 ? x 时, 函数 y ? f ( x) 相应的有增量 ? y =__________. 4.曲线 y ? x2 在 x=0 处切线的斜率为_______, 在 x ? ? 5. 在高校数学教材 中有结论 “当 x ? 0 时, 时, 1 处切线的倾斜角是_________. 2 sin ? 2?x ? 无限趋近于常数是 ?x sin x ?1” , 利用这一结论, 可得: 当 ?x ? 0 x . 6.在高校数学教材中有定义“当 n ??? 时, ?1 ? 一定义,可得:当 ?x ? 0 时, ln ?1 ? ?x ? 无限趋近的常数是 ?x ? ? 1? ,利用这 ? 无限趋近的实数称为 e” n? . n 7.甲乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用 5 年时间挣到 10 万元,乙用 5 个月挣到 2 万元,则________的经营效果好. 8.向一 个倒立的圆锥形容器内均匀注入液体,设圆锥的底面半径与高之比为 体的体积从 0 到 ? 时,液面上升的平均变化率为________,当液体的体积从 0 到 8 ? 时, 液面上升的平均变化率为 ________, 这可反映出液面上升的速度由 ______ 变 ______( 填 “快”或“慢” 9.如图, l 为经过曲线上点 P 和 Q 的割线, ⑴若 P(1,2),Q(5,7 ),求 l 的斜率; ⑵当 Q 沿曲线向点 P 靠近时, l 的斜率是变大还是变小? 1 ,则当液 3 3 10.曲线 y ? x2 的一条切线的斜率为 ?4 , 求切点的坐标. 11.一正方形钢板在 0℃时,边长为 10cm,加热后会膨胀,当温度为 t℃时,边 长变为 10 ?1 ? at ? cm, a 为常数.试求钢板面积对于温度的膨胀. 12.已知 f ? x ? ? x ,求曲线 y ? f ? x ? 在 x=2 处的切线斜率. 4

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