对数函数1
y
x
o
学习要求
?对数函数的定义 ?对数函数的图象和性质 ?比较两个对数值的大小
一、复习：
1.对数的概念： 如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记 作logaN＝x（a>0,a≠1）.
2.指数函数的定义:
函数 y=ax (a＞0,且a≠1) 叫做指数函数,其中 x是自变量,函数的定义域是 R.
回忆学习指数函数时用的实例
某种细胞分裂时,由一个分裂成2个,由2个分成 4个….一个这样的细胞分裂x次以后.得到的细胞个 数y与分裂次数x的函数关系式可表示为( y=2x ) 如果把这个函数表示成对数的形式应为 （ x=log2y ） 即细胞分裂的次数x也是细胞个数y的函数 如果用x表示自变量,y表示函数,那么这个 函数应为（y=log2x ）.
对数函数的定义：
一般地
函数 y=logax(a＞0,且a≠ 1 ) 叫做对数函数.其中x是自变量,函数 的定义域是（ 0 , +∞）.
对数函数图像的作法：
作对数图像的三个步骤： 一、列表（根据给定的自变量分别计算 出应变量的值） 二、描点（根据列表中的坐标分别在坐 标系中标出其对应点） 三、连线（将所描的点用平滑的曲线连 接起来）
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作y=log2x图像
列 表 描 点 连 线
x y=log2x
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
… …
y
y = log a x
o
1
x
y ? l og1 x
a
= －log a x y = log a x 与 y = log1 x 的图象关于 ________ 对称. x轴
a
函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称
对数函数的图象与性质：
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) a＞1
y 1
0＜a＜1
图象 定义域 值域 定点 值分布
o
1
x
o
x
(0,+∞)
(0,+∞)
R (1,0)
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
R (1,0)
当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在( 0 , + ∞ )上是减函数 趋势 底数越大,图象越靠近x轴 底数越小，图象越靠近x 轴
讲解范例 例1.求下列函数的定义域： (1)y = log a x 2
解：由x ? 0，得x ? 0. 2 所以函数y ? loga x 的定义域是 x | x ? 0?. ?
2
(2) y = log a ( 4－x )
定义域:(－∞, 4 )
(3) y = log a ( 9－x 2 ) 定义域: (－3, 3 ) (4) y = log x ( 4－x ) 定义域:( 0 , 1 )∪( 1 , 4 )
?4 ? x ? 0 ? 由? x ? 0 ? ? x ?1 ?
?x ? 4 ? ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1, 或1 ? x ? 4. ?x ? 1 ?
(5) 求函数 y ? log 0.5 (4x ? 3) 的定义域.
解：要使函数有意义,必有
4x-3>0, 4x>3, 即 4x-3≤1.
log0.5(4x-3)≥0.
解得
3 ? x ? 1. 4
3 ? x?1 4
所以所求函数的定义域为{x|
}.
例2.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a＞0,a≠1 ).
解⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1, 所以它在(0,+∞)上是增函数.因为3.4<8.5, 于是log23.4＜log28.5;
⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7,所以log 0.31.8＞log 0.32.7.
⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a＞0 , a≠1 )
分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大 于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1 哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 解:①当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1＜log a5.9; ②当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1＞log a5.9.
注: 例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况 对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 ＜ log108 log0.54 ＜ ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4
练习2：
已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n
(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0<a<1)
(4) log a m > log a n (a>1)
答案: (1) m < n (3) m > n (2) m < n (4) m > n
例2.比较下列各组中两个值的大小: (4) log 67 , log 7 6 ; (5) log 3π , log 2 0.8 .
分析 : （1） log aa＝1 （2） log a1＝0
(1)解:∵ log67＞log66＝1, (2)解:∵ log3π＞log31＝0, 注:比较两个对数的大小时,可 log20.8＜log21＝0, log76＜log77＝1, 在两个对数中间插入一个已知 ∴ log3π＞ ∴ 数(如1或0等),间接比较这两个 log20.8. log67＞log76; 对数的大小.
(6)log750
log67
log54
log40.5
例3.已知定义域为R的奇函数f(x),当x＞0 时, f(x)=log3x,求f(x).
解：当x=0时,f(0) = 0;
当 x＜0 时,－x ＞0,
又f(x) 为奇函数,
∴ f(x)=－f(－x) =－log3(－x).
x ? 0, ?log 3 x, ? 故f ( x ) ? ? 0, x ? 0, ? ? log ( ?x ), x ? 0. 3 ?
函
数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
图
像
定义域 值 域
单调性 过定点 趋 势 取值范围
R+ R 增函数 （1，0）
底数越大，图象越靠近 x 轴
R+ R 减函数 （1，0）
底数越小，图象越靠近 x 轴
0<x<1时，y<0 x>1时，y>0
0<x<1时，y>0 x>1时，y<0
1.对数函数定义: y = log a x ( a＞0 且 a ≠1 ). 2.对数函数的图象与性质：
函数
底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a＞1
y 1
0＜a＜1
图象 定义域
值域 定点 值分布
o
1
x
o
x
(0,+∞)
R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数
当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
底数越小，图象越靠近 x 轴 在( 0 , + ∞ )上是减函数
趋 势 底数越大，图象越靠近 x 轴 单调性