2015年高考数学真题分类汇编
2015 年高考数学真题分类汇编三角函数与解三角形 文
5 ，且 ? 为第四象限角，则 tan ? 的值等于（ ） 13 12 12 5 5 A． B． ? C． D． ? 5 5 12 12 5 12 【答案】 D 【解析】由 sin ? ? ? ，且 ? 为第四象限角，则 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ，则 13 13 sin ? 5 tan ? ? ? ? ，故选 D． cos ? 12 1 1 2.【2015 高考重庆，文 6】若 tan a = , tan(a + b ) = ,则 tan b = （ ） 3 2 1 1 5 5 (A) (B) (C) (D) 7 6 7 6 1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 【答案】A【解析】 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? 2 3 ? ，故选 A. 1 1 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? ? 7 2 3
1.【2015 高考福建，文 6】若 sin ? ? ?
【答案】 A 【解析】 cos 2? ? 0 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0 ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? 0 ， 所以 sin ? ? cos ? 或 sin ? ? ? cos ? ，故答案选 A . 【2015 高考上海， 文 17】 已知点 A 的坐标为 (4 3 ,1) ， 将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 则点 B 的纵坐标为（ A. ）. B.
?
3
至 OB ，
3 3 2
5 3 2
C.
11 2
D.
13 2
【答案】 D【解析】设直线 OA 的倾斜角为 ? ， B (m, n)(m ? 0, n ? 0) ，则直线 OB 的倾斜角为
?
3
? ? ，因为 A(4 3 ,1) ，所以 tan ? ?
1 4 3
， tan(
?
3
??) ?
n n 4 3 ? 13 ，即 ， ? m m 1? 3 ? 1 3 3 4 3
3?
1
3.【2015 高考山东，文 4】要得到函数 y ? sin （4 x ? 象（ ） （A）向左平移
? ） 的图象，只需要将函数 y ? sin 4 x 的图 3
27 2 27 2 13 13 因为 m 2 ? n 2 ? (4 3 ) 2 ? 12 ? 49 ， 所以 n 2 ? 所以 n ? 或n ? ? n ， n ? 49 ， 169 169 2 2 13 （舍去） ，所以点 B 的纵坐标为 . 2 m2 ?
c． C 的对边分别为 a ， b， c?2 3， 5. 【2015 高考广东， 文 5】 设 ???C 的内角 ? ， 若a ? 2， ?，
cos ? ? 3 ，且 b ? c ，则 b ? （ 2
B． 2 ）
?
12
个单位
（B）向右平移
?
12
个单位 A． 3
C． 2 2
D． 3
（C）向左平移
? 个单位 3
（D）向右平移
? 个单位 3
?
12 ) ，所以，只需要将函数 y ? sin 4 x 的图
【答案】B【解析】由余弦定理得： a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ，所以
【答案】 B 【解析】因为 y ? sin(4 x ?
?
3
) ? sin 4( x ?
22 ? b 2 ? 2 3
?
?
2
? 2?b? 2 3 ?
3 ，即 b 2 ? 6b ? 8 ? 0 ，解得： b ? 2 或 b ? 4 ，因为 b ? c ， 2
象向右平移
?
12
个单位，故选 B . ）
所以 b ? 2 ，故选 B． 6.【2015 高考浙江，文 11】函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是 小值是 ． ，最
4.【2015 高考陕西，文 6】 “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的（
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要
-1-
3? 2 【答案】 ? , 2
1 1 ? cos 2 x 1 1 3 【解析】 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2
当 sin(
?
6
x ? ? ) ? 1 时， ymax ? 3 ?1 ? 5 ? 8 ，故答案为 8.
.
【2015 高考上海，文 1】函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin 2 x 的最小正周期为 【答案】 ? 【解析】因为 2 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ，所以 f ( x) ? 1 ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期为
?
2 ? 3 3 2 2? . sin(2 x ? ) ? ，所以 T ? ? ? ； f ( x) min ? ? 2 4 2 2 2 2
2? ?? . 2
3 1 3 (1 ? cos 2 x) ? ? ? cos 2 x ， 2 2 2
7.【2015 高考福建，文 14】若 ?ABC 中， AC ? 【 答案】
3 ， A ? 450 ， C ? 750 ，则 BC ? _______．
AC BC ，则 ? sin B sin A
10.【2015 高考湖南，文 15】已知 ? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos ? x 的图像的交点中，距离 最短的两个交点的距离为 2 3 ，则 ? =_____. 【答案】 ? ?
2 【 解析】 由题意 得 B ? 1800 ? A ? C ? 600 ．由正 弦定理 得
?
2
2 3? AC sin A 2 ? 2． ，所以 BC ? BC ? sin B 3 2
8. 【 2015 高 考 重 庆 ， 文 13 】 设 ?ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
1 ? 1 5? （ （k1? ? ， 2），（ （k2? ? ， ? 2），k1，k2 ? Z ? , 距离最短的两个交点一定在同一个 ? 4 ? 4 2 1 5? ? 2 ? 2 周期内，? 2 3 ? 2 . （ ? ）? （ ? 2 ? 2） ， ?? ? ? 4 4 2
?
?
11.【2015 高考天津，文 14】已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R ,若函数 f ? x ? 在 区间 ? ?? , ? ? 内单调递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为 ．
1 , 3sin A = 2sin B ,则 c=________. 4 【答案】4【解析】由 3sin A = 2sin B 及正弦定理知： 3a ? 2b ,又因为 a ? 2 ,所以 b ? 2 ， a = 2, cos C = 1 由余弦定理得： c ? a ? b ? 2ab cos C ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 16 ，所以 c ? 4 ;故填：4. 4
2 2 2
【答案】
π 【解析】 由 f ? x ? 在区间 ? ?? , ? ? 内单调递增,且 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称, 2
2? ? π
9.【2015 高考陕西，文 14】如图，某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数 y＝ 3sin(
可
得
?
6
?
,
且
x＋Φ )＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.
π? ? f ?? ? ? sin ? 2 ? cos ? 2 ? 2 ? sin ? ? 2 ? ? ? 1 4? ?
,
所
以
?2 ?
π π π ? ?? ? . 4 2 2
2
12. 【 2015 高 考 四 川 ， 文 13 】 已 知 sinα ＋ 2cosα ＝ 0 ， 则 2sinα cosα － cos α ______________. 【答案】－1【解析】由已知可得，sinα ＝－2cosα ，即 tanα ＝－2
的值是
【答案】8【解析】由图像得，当 sin(
?
6
x ? ? ) ? ?1 时 ymin ? 2 ，求得 k ? 5 ，
2sinα cosα －cos α ＝
2
2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ?4 ? 1 ? ? ? ?1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 4 ? 1
-2-
13. 【 2015 高 考 安 徽 ， 文 12 】 在 ?ABC 中 ， AB ?
6 ， ?A ? 75? ， ?B ? 45? ， 则
| f ( xi ) ? f ( x j ) |? f ( x) max ? f ( x) min ? 2 ，
欲 使 m 取 得 最 小 值 ， 尽 可 能 多 的 让 xi (i ? 1,2,3,? ? ?, m) 取 得 最 高 点 ， 考 虑
AC ?
.
答案 2 解析由正弦定理可知：
AB AC 6 AC ? ? ? ? AC ? 2 ? ? ? ? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45 sin 60 sin 45?
?
0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm ? 6?
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ? ? ? ? ? | f ( xm ?1 ) ? f ( xm ) |? 12
14.【2015 高考湖北，文 15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公 路北侧一山 顶 D 在西偏北 30? 的方向上， 行驶 600m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75? 的方向上， 仰角为 30? ， 则此 山的高度 CD ? _________m.
D
(m ? 2, m ? N ? ) 按下图取值满足条件，所以 m 的最小值为 8.
C B A
15.【2015 高考北京，文 11】在 ???C 中， a ? 3 ， b ?
6 ， ?? ?
2? ，则 ?? ? 3
．
【答案】 100 6 . 【解析】在 ?ABC 中， ?CAB ? 300 ， ?ACB ? 750 ? 300 ? 450 ，根据正弦定理知，
BC AB AB 600 1 ，即 BC ? ? ? sin ?BAC ? ? ? 300 2 ，所 sin ?BAC sin ?ACB sin ?ACB 2 2 2
【答案】
3 6 2 ? a b 【解析】由正弦定理，得 ，即 ，所以 sin B ? ，所以 ? ? 2 4 sin A sin B 3 sin B 2
?B ?
?
4
.
CD ? BC ? tan ?DBC ? 300 2 ?
3 ? 100 6 ，故应填 100 6 . 3
16.【2015 高考北京，文 15】 （本小题满分 13 分）已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 （I）求 f ? x ? 的最小正周期； （II）求 f ? x ? 在区间 ? 0,
x ． 2
【 2015 高 考 上 海 ， 文 14 】 已 知 函 数 f ( x) ? sin x . 若 存 在 x1 ， x2 ， ? ? ? ， xm 满 足
0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xm ? 6?
，
且
? 2? ? 上的最小值． ? 3 ? ?
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ? ? ? ? ? | f ( xm ?1 ) ? f ( xm ) |? 12 (m ? 2, m ? N ? ) ，则 m 的最小
值为 【答案】8 【 解 析 】 因 为 函 数 .
【答案】 （I） 2? ； （II） ? 3 .
f ( x) ? sin x 对 任 意 xi ， x j
(i, j ? 1,2,3,? ? ?, m) ，
2? ? ? ，∴ ? x ? ? ? . 3 3 3 ? 2? 当 x ? ? ? ，即 x ? 时， f ( x) 取得最小值. 3 3 2? 2? ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值为 f ( ) ? ? 3 . 3 3
（Ⅱ）∵ 0 ? x ?
-3-
17.【2015 高考安徽，文 16】已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? cos 2 x （Ⅰ）求 f ( x) 最小正周期； （Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0,
所以函数 f ? x ? 的最小正周期 ? ? 2? ． （II） （i）将 f ? x ? 的图象向右平移
?
6
个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象，再向下平移 a
?
2
] 上的最大值和最小值.
（ a ? 0 ）个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象．又已知函数 g ? x ? 的最大值为 2 ，所 以 10 ? 5 ? a ? 2 ，解得 a ? 13 ．所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 ． （ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ，使得 g ? x0 ? ? 0 ，就是要证明存在无穷多个互
【答案】 （Ⅰ） ? ； （Ⅱ）最大值为 1 ? 2 ，最小值为 0 【解析】 （Ⅰ）f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ?
2 2
2 sin( 2 x ?
?
4
) ?1
不相同的正整数 x0 ，使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ，即 sin x0 ? 得 sin ? 0 ?
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T＝
2? ＝? . 2
2 sin( 2 x ?
4 3 4 ? ．由 ? 知，存在 0 ? ? 0 ? ，使 5 2 5 3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果， f ( x) ? 当 x ? [0,
?
4
) ?1
4 4 ．由正弦函数的性质可知，当 x ? ?? 0 , ? ? ? 0 ? 时，均有 sin x ? ． 5 5 4 ． 5
? 5? ? 5? ? [ , ] 由正弦函数 y ? sin x 在 [ , ] 上的图象知， 2 4 4 4 4 4 ? ? ? ? 5? ? 当 2 x ? ? ，即 x ? 时， f ( x) 取最大值 2 ? 1 ；当 2 x ? ? ，即 x ? 时， f ( x) 取 4 2 8 4 4 4
?
] 时， 2 x ?
?
因为 y ? sin x 的周期为 2? ， 所以当 x ? ? 2k? ? ? 0 , 2k? ? ? ? ? 0 ?（ k ? ? ） 时， 均有 sin x ? 因为对任意的整数 k ，? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ? 都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ? 0 , 2k? ? ? ? ? 0 ? ， 使得 sin xk ? 整数 x0 ，使得 g ? x0 ? ? 0 ． 19.【2015 高考广东，文 16】 （本小题满分 12 分）已知 tan ? ? 2 ． （1）求 tan ? ? ?
?
3
所以对任意的正整数 k ， ? 1，
最小值 0 .综上， f ( x) 在 [0,
?
2
] 上的最大值为 2 ? 1 ，最小值为 0 . x x x cos ? 10 cos 2 ． 2 2 2
4 ． 亦即存在无穷多个互不相同的正 5
18.【2015 高考福建，文 21】已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin （Ⅰ）求函数 f ? x ? 的最小正周期； （Ⅱ）将函数 f ? x ? 的图象向右平移
?
6
个单位长度，再向下平移 a （ a ? 0 ）个单位长度后得到 （2）求
? ?
??
? 的值； 4?
函数 g ? x ? 的图象，且函数 g ? x ? 的最大值为 2． （ⅰ）求函数 g ? x ? 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ，使得 g ? x0 ? ? 0 ． 【答案】 （Ⅰ） 2? ； （Ⅱ） （ⅰ） g ? x ? ? 10sin x ? 8 ； （ⅱ）详见解析． （I）因为 f ? x ? ? 10 3 sin
sin 2? 的值． sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2
【答案】 （1） ?3 ； （2） 1 ．
x x x ?? ? cos ? 10 cos 2 ? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5 ? 10sin ? x ? ? ? 5 ． 2 2 2 6? ?
? ? tan ? ? tan 4 tan ? ? 1 2 ? 1 ? ? ? ? ?3 试题解析： （1） tan ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 2 ? 4 sin 2? （2） 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
?
-4-
?
2sin ? cos ? 2 sin ? ? sin ? cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 1? ? 1
? ? 5? 3? π 【解析】 （Ⅰ） 根据表中已知数据可得：A ? 5 ， ? ? ? ? ， ? ? ? ? ， 解得 ? ? 2, ? ? ? . 3 2 6 2 6
数据补全如下表：
π 2 π 3
5
2sin ? cos ? ? 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? tan ? ? 2 2? 2 ? 2 2 ?2?2
?1
π 20.【2015 高考湖北，文 18】某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某 2
?x ? ?
x
0
π
3π 2 5π 6
?5
2π
π 12
0
7π 12
0
13 π 12
0
A sin(? x ? ? )
π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ，因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) . 因为 6 6 6 6
一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
?x ? ?
x
0
π 2
π
3π 2
2π
y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) ， k ? Z . 令 2 x ?
π kπ π ? kπ ，解得 x ? ? ， k ? Z .即 y ? g ( x) 图象 6 2 12
π 3
5π 6
?5
kπ π π 的对称中心为 （ ? ，） 0 ， k ? Z ，其中离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 2 12 12
A sin(? x ? ? )
0
5
0
21. 【 2015 高考湖南，文 17 】 （本小题满分 12 分）设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置 ，并直接写出函数 f ( x) 的解 ．．．．．．．．．．． 析式；
π （Ⅱ）将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 y ? g ( x) 图象，求 6
a, b, c, a ? b tan A .
（I）证明： sin B ? cos A ； (II) 若 sin C ? sin A cos B ?
3 ，且 B 为钝角，求 A, B, C . 4
? ? ?
y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.
π 【答案】 （Ⅰ）根据表中已知数据，解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? .数据补全如下表： 6
【答案】 （I）略；(II) A ? 30 , B ? 120 , C ? 30 .
?x ? ?
x
0
π 2 π 3
5
π
3π 2 5π 6
?5
2π
π 12
0
7π 12
0
13 π 12
0
A sin(? x ? ? )
π π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ； （Ⅱ）离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 6 12
-5-
(II)若 a ?
7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.
【答案】(I) A ?
?
3
；(II)
?? ? 3 3 .试题解析：(I)因为 m // n ，所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 2
3，
由正弦定理，得 sin A sin B ? 3 sin B cos A ? 0 ，又 sin B ? 0 ，从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?
?
3
(II)解法一：由余弦定理，得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ，而 a ?
7, b ? 2 ， A ?
?
3
，
得 7 ? 4 ? c 2 ? 2c ， 即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 因 为 c ? 0 ， 所 以 c ? 3 ， 故 ?ABC 面 积 为
22.【2015 高考山东，文 17】 ?ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a, b, c .已知
1 3 3 21 7 2 . 解法二：由正弦定理，得 , 从而 sin B ? , 又由 a ? b 知 bc sin A ? ? ? 2 2 7 sin B sin 3
A ? B cos B ?
cos B ?
3 6 ,sin ( A ? B) ? , ac ? 2 3 求 sin A 和 c 的值. 3 9 2 2 3 6 ，得 sin B ? .因为 A ? B ? C ? ? ， ,1. 【解析】在 ?ABC 中，由 cos B ? 3 3 3 6 5 3 ，因为 sin C ? sin B ，所以 C ? B ， C 为锐角， cos C ? ， 9 9 6 5 3 3 6 2 2 .由 ? ? ? ? 3 9 3 9 3
2 7 ? ? 3 21 ? 故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ? ) ? sin B cos ? cos B sin ? ， 7 3 3 14 3 1 3 3 . ab sin C ? 2 2
2
【答案】
所以 ?ABC 面积为
所以 sin C ? sin( A ? B) ?
24.【2015 高考四川，文 19】已知 A、B、C 为△ABC 的内角，tanA、tanB 是关于方程 x ＋ 3 px －p＋1＝0(p∈R)两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小 (Ⅱ)若 AB＝1，AC＝ 6 ，求 p 的值 【解析】(Ⅰ)由已知，方程 x ＋ 3 px－p＋1＝0 的判别式
2
因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
c sin A a c ? ? , 可得 a ? sin C sin A sin C
2 2 c 3 ? 2 3c ，又 ac ? 2 3 ，所以 c ? 1 . 6 9
?? 23.【2015 高考陕西，文 17】?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ，向量 m ? ( a , 3b) 与 ? n ? (cos A,sin B ) 平行.
(I)求 A ；
△＝( 3 p) －4(－p＋1)＝3p ＋4p－4≥0
2 2
所以 p≤－2 或 p≥
2 3
由韦达定理，有 tanA＋tanB＝－ 3 p，tanAtanB＝1－p 于是 1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0 从
-6-
而 tan(A＋B)＝ 所以 C＝60°
tan A ? tan B ? 3 p ? ? ? 3 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝ 3 1 ? tan A tan B p
II cos ? 2 A ?
? ?
π? π π 3 15 ? 7 3 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 16 6? 6 6 2
26.【2015 高考新课标 1，文 17】 （本小题满分 12 分）已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对
(Ⅱ)由正弦定理，得 sinB＝ 于 是
AC sin C 6 sin 600 2 ? ? 解得 B＝45°或 B＝135°(舍去) AB 3 2
tanA ＝ tan75° ＝ tan(45° ＋ 30°) ＝
边， sin 2 B ? 2sin A sin C . （I）若 a ? b ，求 cos B; （II）若 B ? 90? ，且 a ? 【答案】 （I）
A ＝ 180° － B － C ＝ 75° 则
3 1? tan 450 ? tan 300 3 ? 2 ? 3 所以 p＝－ 1 (tanA＋tanB)＝－ 1 (2＋ 3 ＋1)＝－1 ? 0 0 1 ? tan 45 tan 30 3 3 3 1? 3
－ 3 25.【2015 高考天津，文 16】 （本小题满分 13 分）△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? （I）求 a 和 sinC 的值; （II）求 cos ? 2 A ?
2, 求 ?ABC 的面积.
1 （ II ） 1, 试题解析： （ I ）由题设及正弦定理可得 b 2 = 2ac . 又 a = b ，可得 4
b = 2c , a = 2c ,由余弦定理可得 cos B =
a 2 + c2 - b2 1 = . 2ac 4
（ II ） 由 (1) 知 b 2 = 2ac . 因 为 B = 90 ° ， 由 勾 股 定 理 得 a 2 + c 2 = b 2 . 故 a 2 + c 2 = 2ac ， 得
1 , 4
c = a = 2 .所以 DABC 的面积为 1.
27. 【2015 高考浙江， 文 16】 （本题满分 14 分） 在 ?ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 tan(
? ?
π? ? 的值. 6?
?
4
? A) ? 2 .
15 15 ? 7 3 【答案】 （I）a=8, sin C ? ;（II） . 8 16
（I）由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.最 后由正弦定理求 sinC 的值;（II）直接展开求值. 试题解析:（I）△ABC 中,由 cos A ? ?
（1）求
sin 2 A 的值； sin 2 A + cos 2 A
15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又 , 得 sin A ? 4 4 2
, a ? 3 ，求 ?ABC 的面积. 4 2 ? 1 【答案】(1) ；(2) 9 试题解析：(1)由 tan( ? A) ? 2 ，得 tan A ? ， 5 4 3 sin 2 A 2sin A cos A 2 tan A 2 1 所 以 ? ? ? .(2) 由 tan A ? 可 得 ， 2 2 sin 2 A ? cos A 2sin A cos A ? cos A 2 tan A ? 1 5 3
（2）若 B ?
?
a c 由 b ? c ? 2, 解 得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 可 得 a=8. 由 ,得 ? sin A sin C
sin A ?
10 3 10 ? . a ? 3, B ? ，由正弦定理知： b ? 3 5 . , cos A ? 10 10 4 2 5 ， 5
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15 . sin C ? 8
又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
所以 S ?ABC
1 1 2 5 ? ab sin C ? ? 3 ? 3 5 ? ?9. 2 2 5
已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? （I）求 a 和 sinC 的值; （II）求 cos ? 2 A ?
1 , 4
1 28.【2015 高考重庆，文 18】已知函数 f(x)= sin2x- 3 cos 2 x . 2
(Ⅰ)求 f（x）的最小周期和最小值， (Ⅱ)将函数 f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（x）的 图像.当 x ? ?
? ?
π? ? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ;（II） . 8 16
?? ? , ? 时，求 g(x)的值域. ?2 ? ? 2+ 3 1- 3 2 - 3 ， （Ⅱ） [ , ]. 2 2 2
【答案】 （I）a=8, sin C ?
（I）由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.最 后由正弦定理求 sinC 的值;（II）直接展开求值. 试题解析:（I）△ABC 中,由 cos A ? ?
【答案】 （Ⅰ） f ( x) 的最小正周期为 p ，最小值为 -
1 试题解析： (1) f ( x) = sin 2 x 2
1 3 3 cos 2 x = sin 2 x (1 + cos 2 x) 2 2
15 1 1 , 由 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24, 又 , 得 sin A ? 4 4 2
a c ,得 ? sin A sin C
由 b ? c ? 2, 解 得 b ? 6, c ? 4. 由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 可 得 a=8. 由
1 3 3 p 3 , = sin 2 x cos 2 x = sin(2 x - ) 2 2 2 3 2
因此 f ( x) 的最小正周期为 p ，最小值为 -
sin C ?
（
15 . 8
II ）
2+ 3 . 2
p 3 (2)由条件可知： g( x) = sin( x - ) . 3 2
p p p 2p , p ] 时，有 x - ? [ , ] ， 2 3 6 3 p 1 从而 sin( x - ) 的值域为 [ ,1] ， 3 2
当 x? [ 那么 sin( x -
π? π π 3 15 ? 7 3 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 2 cos 2 A ? 1? ? sin A cos A , ? ? 16 6? 6 6 2 ?
p 3 1- 3 2 - 3 的值域为 [ ), ]. 3 2 2 2 1- 3 2 - 3 p , ]. , p ] 上的值域是 [ 2 2 2
故 g( x) 在区间 [
28.【2015 高考天津，文 16】 （本小题满分 13 分）△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
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