高一数学-高一数学第五章(第2018课时)平面向量数量积的坐标表示 精品

课 题:平面向量数量积的坐标表示 教学目的: ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0≤θ ≤ π )叫 a 与 b 的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是 θ ,则数量| a || b |cos?叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即有 a ? b = | a || b |cos?, (0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影| b |cos?的乘积 4.两个向量的数量积的性质: 设 a 、 b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 1? e ? a = a ? e =| a |cos?;2? a ? b ? a ? b = 0 3?当 a 与 b 同向时, a ? b = | a || b |;当 a 与 b 反向时, a ? b = ?| a || b | 特别的 a ? a = | a |2 或 | a |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? ? ? ? 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? ? 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? ? ? ? a?a ? ? a ?b ? ? ? ? 4?cos? = ? ? ;5?| a ? b | ≤ | a || b | | a || b | 5. 平面向量数量积的运算律 交换律: a ? b = b ? a ? ? ? ? ? ? ? 数乘结合律: ( ? a )? b = ? ( a ? b ) = a ?( ? b ) 分配律:( a + b )? c = a ? c + b ? c 二、讲解新课: ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , 试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b b ? ( x2 , y 2 ) , 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y2 j 所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )(x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i 2 ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2 又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0 所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2.平面内两点间的距离公式 2 2 2 (1)设 a ? ( x, y) ,则 | a | ? x ? y 或 | a |? ? ? ? x2 ? y2 王新敞 奎屯 新疆 ( 2 ) 如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) 、 ? ? ( x2 , y2 ) ,那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ? ? ? ? 4.两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) ? ? a ?b ? cos? = ? | a |?|b| ? x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 2 2 x2 ? y2 ? ? 2 2 三、讲解范例: 例1 设 a = (5, ?7), b = (?6, ?4),求 a ? b ? 解: a ? b = 5×(?6) + (?7)×(?4) = ?30 + 28 = ?2 例 2 已知 a (1, 2), b (2, 3), c (?2, 5),求证:△ABC 是直角三角形 证明:∵ AB =(2?1, 3?2) = (1, 1), ? ? ? ? ? 王新敞 奎屯 新疆 AC = (?2?1, 5?2) = (?3, 3) ∴ AB ? AC ∴ AB ? AC =1×(?3) + 1×3 = 0 ∴△ABC 是直角三角形 例 3 已知 a = (3, ?1), b = (1, 2),求满足 x ? a = 9 与 x ? b = ?4 的向量 x 解:设 x = (t, s), ? ? ? ? ? ? ? 王新敞 奎屯 新疆 ? ? ? x?a ? 9 ? 3t ? s ? 9 ?t?2 ? 由? ? ∴ x = (2, ?3) ?? ?? x ? b ? ?4 ?t ? 2s ?

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