【人教版】2020学年高二数学4月月考试题 理新 版新人教版

2019 学年度第二学期 4 月份考试

※ -精 品 人教版 试 卷- ※

高二学年数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答 题无效。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用 0.5 毫米 的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号 对应的答题区域的答案一律无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。
第 I 卷 选择题 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.2018 年元旦晚会上,某同学从《远走高飞》,《非你莫属》,《两只老虎》,《超越梦想》四首歌中选出两首歌进行
表演,则《两只老虎》未选取的概率为( )

A.

B.

C.

D.

2.下列随机变量 X 不.是离散型随机变量的是 ( )

A. 某机场候机室中一天的游客数量为 X

B. 某寻呼台一天内收到的寻呼次数为 X

C. 某水文站观察到一天中长江的水位为 X

D. 某立交桥一天经过的车辆数为 X

3.某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有 150 个,120 个,190 个,140 个销售点.为了调查产品的质量,需从

这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙城市有 20 个特大型销售点,要从中抽取

8 个调查,记这项调查为②,则完成①,②这两项调查宜采用的抽样方法依次为( )

A. 分层抽样法、系统抽样法

B. 分层抽样法、简单随机抽样法

C. 系统抽样法、分层抽样法

D. 简单随机抽样法、分层抽样法

?? ? ? 4.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们对应的 R2 ? 1?

n(
i ?1

yi

y n
i?1 i

? ?

y? )2 y2

的值如下,其

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中拟合效果最好的模型是( )

A. 模型1对应的 R2 ? 0.48 C. 模型 3 对应的 R2 ? 0.15

B. 模型 2 对应的 R2 ? 0.96 D. 模型 4 对应的 R2 ? 0.30

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5.已知随机变量 服从正态分布



,则

()

A.

B.

C.

D.

6.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间[14,12]内,则输入的实数 x 的取值范围是(

)

A.(-∞,-2]

B.[-2,-1]

C.[-1,2]

D.[2,+∞)

7.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天

的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

A.0.8

B.0.75 C.0.6

D.0.45

8.如图,在四面体 中,截面

是正方形,则在下列命题中,正确的个数 为( ).

() ()

()

截面

( )异面直线 与 所成的角为

A.

B.

C.

D.

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9.已知函数

f

?x?

?

sin

? ??

2x

?

? 12

? ??

,

f

?? x? 是的导函数,则函数

y

?

2f

? x? ?

f

?? x? 的一个单调递减区间是(



A.

????

? 3

,

2? 2

? ??

B.

????

5? 12

,

? 12

? ??

C.

?? ??12

,

7? 12

? ??

D.

????

? 6

,

5? 6

? ??

10.2017 年,北京召开“一带一路”国际高峰论坛,组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒

体团进行互动提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不

同的提问方式的种数为( )

A. 198 B. 268 C. 306 D. 378

11.为直观判断两个分类变量 X 和Y 之间是否有关系,若它们的取值分别为?x1, x2?和?y1, y2? ,通过抽样得到频
数表为:

y1

y2

x1

a

b

x2

c

d

则下列哪两个比值相差越大,可判断两个分类变量之间的关系应该越强( )

A. a 与 b a?c b?d

B. a 与 c a?d b?c

C. a 与 c b?d a?c

D. a 与 c c?d a?b

12.一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和10 环的成绩,未击中 9 环或10 环就以 0 环记.该远动员在练习时击

中10 环的概率为 a ,击中 9 环的概率为 b ,既未击中 9 环也未击中10 环的概率为 c ( a , b , c ??0,1? ),如果

已知该运动员一次射箭击中环数的期望为 9 环,则当 10 ? 1 取最小值 时, c 的值为( ) a 9b

A. 0

B. 2 11

C. 5 11

D. 1 11

第 II 卷 非选择题

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. ? x ? a?10 的展开式中, x7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)

14.空气质量指数( Air Quality Index ,简称 AQI )是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照 AQI 大小

分为六级,0~50 为优;51~100 为良;101~150 为轻度污染;151~200 为中度污染;201~300 为重度污染;
大于 300 为严重污染.某环保人士从当地某年的 AQI 记录数据中,随机抽取 10 天的 AQI 数据,用茎叶图记

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录如下.根据该统计数据,估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为__________.(该年为 365 天)

15.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆 方图”,用
数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正
方形拼成一个边长为 2 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角? ? ? ,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞 6
镖,飞镖落在小正方形内的概率是__________.

16.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y



1 x

(x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为________.

三、解答题:(本大题共 6 小题,其中 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分)
17.加工某种零件需要经过三道工序,设第一、二、三道工序的合格率分别为 9 , 8 , 7 ,且各道工序互不影响. 10 9 8
(1)求该种零件的合格率;
(2)从该种零件中任取 3 件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.

18.随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了 n 个人,其中男性占调查人数的25.

已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性只有13的人的休闲方式是运动.

(1)完成下列 2×2 列联表:

运动 非运动 总计

男性

女性

总计

n

(2)若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,那么本次被调查的人数至少有

多少?

(3)根据(2)的结论,本次被调查的人中,至少有多少人的休闲方式是运动?

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参考公式:K2=(a+b)(cn+(da)d-(bac+)c2 )(b+d),其中 n=a+b+c+d.

参考数据:

P(K2≥k0) k0

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

19.2014 年 8 月 22 日是邓小平同志 110 周年诞辰,为纪念邓小平同志 110 周年诞辰,促进广安乃至四川旅游业进

一步发展,国家旅游局把 2014 年“5.19”中国旅游日主会场放在四川广安.为迎接旅游日的到来,某旅行社组

织了 14 人参加“四川旅游常识”知识竞赛,每人回答 3 个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表:

答对题目个数 0 1 2 3

人数

3254

根据上表信息解答以下问题: (1)从 14 人中任选 3 人,求 3 人答对题目个数之和为 6 的概率;
(2)从 14 人中任选 2 人,用 X 表示这 2 人答对题目个数之和,求随机变量 X 的分布列.

20.如图,在直三棱柱

ABC

?

A1B1C1 中,

AB

?

BC

?

2 AA1

?

2

, ?ABC

?

? 2



D是

BC

的中点.

(1)求证: A1B // 平面 ADC1 ;

(2)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值;

(3)试问线段

A1B1

上是否存在点

E

,使异面直线

AE



DC1

的夹角为

? 3

.若存在,确定

E

点位置,若不存在,

说明理由.

21.某险种的基本保费为 a (单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年

度的出险次数的关联如下:

上年度出险次数 0

1

2

3

4

?5

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保费

0.85 a a

1.25 a 1.5 a

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1.75 a 2 a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

一年内出险次数 0

1

2

3

4

?5

概率

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

22.为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面 值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求 ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的 预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

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高二理数月考答案 BCBBD BACCA AD

1 146 1? 3

2

2

(1,1)

17.(1) P (这种零件合格) ? 9 ? 8 ? 7 ? 7 10 9 8 10 _______________4 分

(2)

P

(恰好取到一件合格品)

?

C31

?7 10

? ???1 ?

7 10

2
? ? ?

?

189 1000

----6



P

(至少取到一件合格品)

?

1?

C30

?

? ??

7 10

?0 ??

?

???1?

7 10

?3 ??

?

973 1000

----10



18.解:(1)依题意,被调查的男性人数为25n,其中有n5人的休闲方式是运动;被调查的女性人数为35n,其中有n5人

的休闲方式是运动,则 2×2 列联表如下:

男性

运动
n 5

非运动
n 5

总计
2n 5

女性

n 5

2n

3n

5

5

总计

2n 5

3n 5

n

(4 分)
(2)由表中数据,得 K2=n2???n5n·325nn-2n5n·n53???n2=3n6,要使在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“性别与休
5·5·5·5

闲方式有关”,则 K2≥3.841,所以3n6≥3.841,解得 n≥138.276.又 n∈N*且n5∈N*,所以 n≥140,

即本次被调查的人数至少是 140.(9 分) (3)由(2)可知:140×25=56,即本次被调查的人中,至少有 56 人的休闲方式是运动.(12 分)

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19.

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----4 分

(2)依题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.-------5 分

则 P(X=0)=CC21234=7×313=931,P(X=1)=CC1321C412=7×613=961, P(X=2)=C22+C21C4 13C15=7×1613=1961,P(X=3)=C13C14+ C214C12C15=7×2213=9212, P(X=4)=C25+C21C4 12C14=7×1813=1981,P(X=5)=CC1521C414=7×2013=9210, P(X=6)=CC21244=7×613=961.------------------------10 分

从而 X 的分布列为

X0

1

2

3

4

5

6

P

3 91

6 91

16 91

22 91

18 91

20 91

6 91

--------12 分

20.【解析】(1)证明:连结 A1C ,交 AC1 于点 O ,连结 OD .

由 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

得 四边形 ACC1A1 为矩形, O 为 A1C 的中点.

又 D 为 BC 中点,所以 OD 为 ?A1BC 中位线,

所以 A1B // OD ,

因为 OD ? 平面 ADC1 , A1B ? 平面 ADC1 ,

所以 A1B // 平面 ADC1 . ---------4 分

(2)解:由

ABC

?

A1B1C1 是直三棱柱,且 ?ABC

?

? 2

,故

BA, BC, BB1 两两垂直.

如图建立空间直角坐标系 B ? xyz .

则 B(0, 0, 0) , C(2, 0, 0) , A(0, 2, 0) , C1(2, 0,1) , D(1, 0, 0) .

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所以 AD ? (1, ?2, 0) , AC1 ? (2, ?2,1) .

设平面

ADC1 的法向量为 n

?

(x,

y, z)

,则有

??n ?

?

AD

?

0



??n ? AC1 ? 0

所以

?x ?2y ??2x ? 2

?0 y?z

?

0



取 y ? 1,得 n ? (2,1, ?2) .

易知平面 ADC 的法向量为 v ? (0, 0,1) .

由二面角 C1

?

AD

?

C

是锐角,得 cos

?

n, v

??

|

| n?v | n|?|v

|

?

2 3

.

所以二面角

C1

?

AD

?

C

的余弦值为

2 3

.------------8



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--------12 分
21.试题解析:(Ⅰ)设 A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生当且仅当一年内出险 次数大于 1,故 P(A) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.1? 0.05 ? 0.55. ------2 分 (Ⅱ)设 B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60% ”,则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大 于 3,故 P(B) ? 0.1 ?0.05 ?0.15. 又 P(AB) ? P(B) ,故 P(B | A) ? P(AB) ? P(B) ? 0.15 ? 3 .
P( A) P(A) 0.55 11 因此所求概率为 3 . ----------7 分
11 (Ⅲ)记续保人本年度的保费为 X ,则 X 的分布列为
X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
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EX ? 0.85a ? 0.30 ? a ? 0.15 ?1.25a ? 0.20 ?1.5a ? 0.20 ?1.75a ? 0.10 ? 2a ? 0.05 ? 1.23a 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23。--------12 分

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22.

---------5 分 (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元,所以,先寻找期望为 60 元的可能方案.
对于面值由 10 元和 50 元组成的情况.如果选择 (10,10,10,50) 的方案,因为 60 元是面值之和的最大值.所以期

望不可能为 60 元;如果选择 (50,50,50,10) 的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60 元,

因此可能的方案是 (10,10,50,50) ,记为方案 1.

对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除 (20, 20, 20, 40) 和 (40, 40, 40, 20) 的方案,所以可能的方案

是 (20, 20, 20, 40) ,记为方案 2--------7 分
以下是对两个方案的分析:
对于方案 1,即方案 (10,10,50,50) ,设顾客所获的奖励额为 X1 ,则 X1 的分布列为

X1

20

60

100

P

1

2

1

6

3

6

X1

的期望为

E(

X1)

?

20

?

1 6

?

60

?

2 3

?

100

?

1 6

?

60



X1

的方差为

D(

X1)

?

(20

?

60)2

?

1 6

?

(60

?

60)2

?

2 3

?

(100

?

60)2

?

1 6

?

1600 3

------9



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对于方案 2,即方案 (20, 20, 20, 40) ,设顾客所获的奖励额为 X 2 ,则 X 2 的分布列为

X2

20

60

80

P

1

2

1

6

3

6

X

2

的期望为

E(

X

2

)

?

40

?

1 6

?

60

?

2 3

?

80

?

1 6

?

60



X2

的方差为

D( X2)

?

(40

?

60)2

?

1 6

?

(60

?

60)2

?

2 3

?

(80

?

60)2

?

1 6

?

400 3

.------11



由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小,所以应该选择方案 2.--------12



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