2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分重点保分题教师用书题型专题(十四)点、直线、平面之间的

题型专题(十四) 点、直线、平面之间的位置关系
[师说考点] 判断空间线面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理进行判断; (2)借助空间几何模型并结合有关定理进行判断. [典例] (2016·全国甲卷)α,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命 题: ①如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α⊥β. ②如果 m⊥α,n∥α ,那么 m⊥n. ③如果 α∥β,m?α ,那么 m∥β. ④如果 m∥n,α ∥β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [解析] 对于命题①,可运用长方体举反例证明其错误:
如图,不妨设 AA′为直线 m,CD 为直线 n,ABCD 所在的平面为 α,ABC′D′所 在的平面为 β,显然这些直线和平面满足题目条件,但 α⊥β 不成立.
命题②正确,证明如下:设过直线 n 的某平面与平面 α 相交于直线 l,则 l∥n, 由 m⊥α 知 m⊥l,从而 m⊥n,结论正确.
由平面与平面平行的定义知命题③正确. 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确. [答案] ②③④ [类题通法]
判断与空间位置关系有关的命题真假的 2 大方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理 进行判断.

(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关 系,结合有关定理,进行肯定或否定.
[演练冲关] 1.(2016·河南八市质检)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内, 直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“a⊥b”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B 因为 α⊥β,b⊥m,所以 b⊥α,又直线 a 在平面 α 内,所以 a⊥b;

但直线 a,m 不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件,故选 B.

2.(2016·山东高考)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内,则“直线

a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 由题意知 a?α,b?β,若 a,b 相交,则 a,b 有公共点,从而 α,

β有公共点,可得出 α,β相交;反之,若 α,β相交,则 a,b 的位置关系可能为平

行、相交或异面.因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分

不必要条件.故选 A.

[师说考点] 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a?α ,b?α ,a∥b?a∥α . (2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β ,α ∩β =b?a∥b. (3)面面平行的判定定理:a?β ,b?β ,a∩b=P,a∥α ,b∥α ?α ∥β . (4)面面平行的性质定理:α∥β,α ∩γ =a,β ∩γ =b?a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m?α ,n?α ,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α . (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α ?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β ,a⊥α ?α ⊥β . (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α ∩β =l,a?α ,a⊥l?a⊥β . [典例] (2016·山东高考)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EF∥DB.

(1)已知 AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB; (2)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC. [证明] (1)因为 EF∥DB, 所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF. 如图①,连接 DE.
图① 因为 AE=EC,D 为 AC 的中点, 所以 DE⊥AC. 同理可得 BD⊥AC. 又 BD∩DE=D, 所以 AC⊥平面 BDEF. 因为 FB?平面 BDEF,所以 AC⊥FB. (2)如图②,设 FC 的中点为 I,连接 GI,HI.在△CEF 中,
图② 因为 G 是 CE 的中点,所以 GI∥EF.又 EF∥DB,所以 GI∥DB.

在△CFB 中,因为 H 是 FB 的中点,所以 HI∥BC.又 HI∩GI=I,所以平面 GHI∥ 平面 ABC.
因为 GH?平面 GHI,所以 GH∥平面 ABC. [类题通法] 1.证明线线平行的 4 种常用方法 (1)利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行平行转换; (3)利用三角形的中位线定理证线线平行; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. 2.证明线线垂直的 3 种常用方法 (1)利用等腰三角形底边中线即高线的性质; (2)勾股定理; (3)线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面 即可,l⊥α ,a?α ?l⊥a.
[演练冲关] 1.(2016·云南模拟)如图,在三棱锥 A?BCD 中,CD⊥BD,AB=AD,E 为 BC 的中点.
(1)求证:AE⊥BD; (2)设平面 ABD⊥平面 BCD,AD=CD=2,BC=4,求三棱锥 D-ABC 的体积. 解:(1)证明:设 BD 的中点为 O,连接 AO,EO,
∵AB=AD,∴AO⊥BD. 又 E 为 BC 的中点,

∴EO∥CD.

∵CD⊥BD,

∴EO⊥BD.

又 OA∩OE=O,

∴BD⊥平面 AOE.

又 AE?平面 AOE,

∴AE⊥BD.

(2)由已知得三棱锥 D-ABC 与 C-ABD 的体积相等.

∵CD⊥BD,平面 ABD⊥平面 BCD,

∴CD⊥平面 ABD,BD= BC2-CD2=2 3.

由已知得 S△ABD=12×BD×

AD2-B4D2= 3.

∴三棱锥

C-ABD

的体积

VC?ABD=13×CD×S△ABD=2

3

3 .

∴三棱锥

D-ABC

的体积为2

3

3 .

2.(2016·河南八市联考)如图,过底面是矩形的四棱锥 F-ABCD 的顶点 F 作 EF∥AB,使 AB=2EF,且平面 ABFE⊥平面 ABCD,若点 G 在 CD 上且满足 DG=

GC.

(1)求证:FG∥平面 AED; (2)求证:平面 DAF⊥平面 BAF. 证明:(1)因为 DG=GC,AB=CD=2EF,AB∥EF∥CD,所以 EF∥DG,EF= DG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形,所以 FG∥ED.
又因为 FG?平面 AED,ED?平面 AED,

所以 FG∥平面 AED. (2)因为平面 ABFE⊥平面 ABCD,平面 ABFE∩平面 ABCD=AB,AD⊥AB,AD ?平面 ABCD, 所以 AD⊥平面 BAF, 又 AD?平面 DAF,所以平面 DAF⊥平面 BAF.
[典例] (2016·全国甲卷)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E, F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的 位置.

(1)证明:AC⊥HD′; (2)若 AB=5,AC=6,AE=54,OD′=2 2,求五棱锥 D′?ABCFE 的体积. [解] (1)证明:由已知得 AC⊥BD,AD=CD.

又由 AE=CF 得AADE=CCDF,故 AC∥EF.

由此得 EF⊥HD,故 EF⊥HD′,所以 AC⊥HD′.

(2)由

EF∥AC

OH AE 1 得DO=AD=4.

由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB2-AO2=4.

所以 OH=1,D′H=DH=3.

于是 OD′2+OH2=(2 2)2+12=9=D′H2,

故 OD′⊥OH.

由(1)知,AC⊥HD′,又 AC⊥BD,BD∩HD′=H,

所以 AC⊥平面 BHD′,于是 AC⊥OD′.

又 OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以 OD′⊥平面 ABC.

EF DH

9

又由AC=DO得 EF=2.

五边形 ABCFE 的面积 S=12×6×8-12×92×3=649.

所以五棱锥 D′?ABCFE 的体积 V=13×649×2

2=232

2 .

[类题通法]

平面图形翻折问题的求解方法

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况 下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的

突破口.

(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要 分析折叠前的图形.

[演练冲关] (2016·开封模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,

AD=CD=12AB=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图 2 所示.

(1)求证:AD⊥平面 BCD; (2)求三棱锥 C-ABD 的高. 解:(1)证明:∵平面 ADC⊥平面 ABC,且 AC⊥BC,

∴BC⊥平面 ACD,即 AD⊥BC,

又 AD⊥CD,∴AD⊥平面 BCD.

(2)由(1)得 AD⊥BD,∴S△ADB=2 3,

∵三棱锥 B-ACD 的高 BC=2 2,S△ACD=2,

∴13×2

3h=13×2×2

2,∴可解得

h=2

3

6 .

空间几何体与其他知识的交汇

本讲在高考中主要考查空间中的线、面平行与垂直的关系,考查学生的空间想 象能力和推理能力.近几年,空间几何体与圆、概率、函数、不等式等知识的交汇 成为新的命题点.
[典例] 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于 圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1.
(1)若 D 为线段 AC 的中点,求证:AC⊥平面 PDO; (2)求三棱锥 P-ABC 体积的最大值; (3)若 BC= 2,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值. [解] (1)证明:在△AOC 中,因为 OA=OC,D 为 AC 的中点,所以 AC⊥DO. 又 PO 垂直于圆 O 所在的平面,所以 PO⊥AC. 因为 DO∩PO=O,DO,PO?平面 PDO, 所以 AC⊥平面 PDO. (2)因为点 C 在圆 O 上,所以当 CO⊥AB 时,C 到 AB 的距离最大,且最大值为 1. 又 AB=2,所以△ABC 面积的最大值为12×2×1=1. 又因为三棱锥 P-ABC 的高 PO=1, 故三棱锥 P-ABC 体积的最大值为13×1×1=13. (3)在△POB 中,PO=OB=1,∠POB=90°, 所以 PB= 12+12= 2. 同理 PC= 2,所以 PB=PC=BC. 在三棱锥 P-ABC 中,将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC′P,使之与平面 ABP 共 面,如图所示.

当 O,E,C′共线时,CE+OE 取得最小值.

又因为 OP=OB,C′P=C′B,所以 OC′垂直平分 PB,即 E 为 PB 的中点.

从而 OC′=OE+EC′= 22+ 26=

2+ 2

6 ,

2+ 6 即 CE+OE 的最小值为 2 .

[类题通法]

(1)本题是立体几何与圆的交汇问题,在解题中多利用圆的直径所对的圆周角为

直角这一性质.

(2)在求 CE+OE 的最小值时,可利用“取直”思想,即立体几何中的平展与翻

折的方法.

[演练冲关]

(2016·东北四市联考)已知底面为正方形的四棱锥 P?ABCD 内接于半径为 1

的球,顶点 P 在底面 ABCD 上的射影是 ABCD 的中心,当四棱锥 P-ABCD 的体积最

大时,四棱锥的高为( )

3 A.4

B.1

4 C.3

5 D.3

解析:选 C 依题意,四棱锥 P-ABCD 为正四棱锥,设其底面边长为 a,底面

到球心的距离等于 x,则 x2+??? 22a???2=1,而正四棱锥的高为 h=1+x,∴四棱锥的体 积 V(x)=13·a2h=13·a2(1+x)=23·(1-x2)(1+x),其中 x∈(0,1),∵23·(1-x2)(1+x)=13·(2 -2x)(1+x)(1+x)≤13·???(2-2x)+(13+x)+(1+x)???3=6841,当且仅当 x=13时取 等号.∴四棱锥的高 h=1+13=43.

一、选择题

1.已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点不共面,命题 乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B 若 E,F,G,H 四点不共面,则直线 EF 和 GH 肯定不相交,但 直线 EF 和 GH 不相交,E,F,G,H 四点可以共面,例如 EF∥GH.故选 B. 2.已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,给出四个命题: ①若 α∩β=m,n?α ,n⊥m,则 α⊥β; ②若 m⊥α,m⊥β ,则 α∥β; ③若 m⊥α,n⊥β ,m⊥n,则 α⊥β; ④若 m∥α,n∥β ,m∥n,则 α∥β. 其中正确的命题是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 解析:选 B 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交
线的情况,①不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,②正确;当两个平面与 两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故③正确;当两 个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也平行,故④不正确.
3.(2016·贵阳模拟)如图,在三棱锥 P-ABC 中,不能证明 AP⊥BC 的条件是( )
A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面 BPC⊥平面 APC,BC⊥PC D.AP⊥平面 PBC 解析:选 B A 中,因为 AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC, 又 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC,故 A 正确;C 中,因为平面 BPC⊥平面 APC,

BC⊥PC,所以 BC⊥平面 APC,AP?平面 APC,所以 AP⊥BC,故 C 正确;D 中,
由 A 知 D 正确;B 中条件不能判断出 AP⊥BC,故选 B. 4.(2016·贵州模拟)已知 α,β 表示两个不同平面,a,b 表示两条不同直线,
对于下列两个命题: ①若 b?α ,a?α ,则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件; ②若 a?α ,b?α ,则“α∥β”是“a∥β 且 b∥β”的充要条件. 判断正确的是( ) A.①,②都是真命题 B.①是真命题,②是假命题 C.①是假命题,②是真命题 D.①,②都是假命题 解析:选 B 若 b?α,a?α,a∥b,则由线面平行的判定定理可得 a∥α,反过
来,若 b?α,a?α,a∥α,则 a,b 可能平行或异面,则 b?α,a?α,则“a∥b”是
“a∥α”的充分不必要条件,①是真命题;若 a?α,b?α,α∥β,则由面面平行的
性质可得 a∥β,b∥β,反过来,若 a?α,b?α,a∥β,b∥β,则 α,β可能平行或相
交,所以,若 a?α,b?α,则“α∥β”是“a∥β,b∥β”的充分不必要条件,②是
假命题,选项 B 正确. 5.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O
的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长.其中正确的是( )

A.①② C.①

B.①②③ D.②③

解析:选 B 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.

∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC,又∵PA∩AC=A,

∴BC⊥平面 PAC, 又 PC?平面 PAC,∴BC⊥PC. 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点, ∴OM∥PA,∵PA?平面 PAC,OM?平面 PAC, ∴OM∥平面 PAC. 对于③,由①知 BC⊥平面 PAC, ∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正确. 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1=A1E,则点 P 运动形成的图形是( )
A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 解析:选 B 由 PA1=A1E 知点 P 应落在以 A1 为球心,A1E 长为半径的球面上.又 知动点 P 在底面 ABCD 内,所以点 P 的轨迹是底面 ABCD 与球面形成的交线,故 为圆弧. 二、填空题 7.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若AMMB=NAND,则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是________.
解析:由AMMB=NAND,得 MN∥BD.

而 BD?平面 BDC,MN?平面 BDC,
所以 MN∥平面 BDC. 答案:平行 8.如图,∠ACB=90°,DA⊥平面 ABC,AE⊥DB 交 DB 于 E,AF⊥DC 交 DC 于 F,且 AD=AB=2,则三棱锥 D?AEF 体积的最大值为________.

解析:因为 DA⊥平面 ABC,所以 DA⊥BC,又 BC⊥AC,DA∩AC=A,所以 BC⊥

平面 ADC,所以 BC⊥AF,又 AF⊥CD,BC∩CD=C,所以 AF⊥平面 DCB,所以

AF⊥EF,AF⊥DB,又 DB⊥AE,AE∩AF=A,所以 DB⊥平面 AEF,所以 DE 为三棱

锥 D-AEF 的高.因为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高,所以 AE= 2,设

AF=a,FE=b,则△AEF 的面积 S=12ab≤12·a2+2 b2=12×22=12,所以三棱锥 D-AEF

的体积 V≤13×12× 2= 62(当且仅当 a=b=1 时等号成立).

答案:

2 6

9.(2016·兰州模拟)α、β 是两平面,AB、CD 是两条线段,已知 α∩β=EF,AB

⊥α 于 B,CD⊥α 于 D,若增加一个条件,就能得出 BD⊥EF.现有下列条件:

①AC⊥β;②AC 与 α、β 所成的角相等;③AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上;

④AC∥EF.

其中能成为增加条件的序号是________.

解析:由题意得,AB∥CD,∴A,B,C,D 四点共面,①∵AC⊥β,EF?β,∴AC⊥EF,

又∵AB⊥α,EF?α,∴AB⊥EF,∵AB∩AC=A,∴EF⊥平面 ABCD,又∵BD?平面

ABCD,∴BD⊥EF,故①正确;②不能得到 BD⊥EF,故②错误;③由 AC 与 CD 在

β 内的射影在同一条直线上可知平面 ABCD⊥β,又 AB⊥α,AB?平面 ABCD,∴平

面 ABCD⊥α.∵平面 ABCD⊥α,平面 ABCD⊥β,α∩β=EF,∴EF⊥平面 ABCD,又

BD?平面 ABCD,∴BD⊥EF,故③正确;④由①知,若 BD⊥EF,则 EF⊥平面 ABCD, 则 EF⊥AC,故④错误,故填①③.
答案:①③ 三、解答题 10.(2016·广州五校联考)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA =PD,∠BAD=60°,E 是 AD 的中点,点 Q 在侧棱 PC 上.
(1)求证:AD⊥平面 PBE; (2)若 Q 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDQ; (3)若 VP?BCDE=2VQ?ABCD,试求CCQP的值. 解:(1)证明:由 E 是 AD 的中点,PA=PD 可得 AD⊥PE. 又底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, 所以 AB=BD,又因为 E 是 AD 的中点,所以 AD⊥BE, 又 PE∩BE=E,所以 AD⊥平面 PBE. (2)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 OQ.

因为 O 是 AC 的中点,Q 是 PC 的中点,

所以 OQ∥PA,

又 PA?平面 BDQ,OQ?平面 BDQ,

所以 PA∥平面 BDQ.

(3)设四棱锥 P-BCDE,Q?ABCD 的高分别为 h1,h2.

1

1

则 VP?BCDE=3S 四边形 BCDEh1,VQ?ABCD=3S 四边形 ABCDh2.

3 又因为 VP?BCDE=2VQ?ABCD,且 S 四边形 BCDE=4S 四边形 ABCD, 所以CCQP=hh12=83. 11.(2016·昆明七校联考)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图 如图所示,在正方体中,设 BC 的中点为 M,GH 的中点为 N. (1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)证明:直线 MN∥平面 BDH; (3)过点 M,N,H 的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比.
解:(1)点 F,G,H 的位置如图所示.
(2)证明:连接 BD,设 O 为 BD 的中点,连接 OM,OH,AC,BH,MN. ∵M,N 分别是 BC,GH 的中点, ∴OM∥CD,且 OM=12CD,NH∥CD,且 NH=12CD, ∴OM∥NH,OM=NH, 则四边形 MNHO 是平行四边形,∴MN∥OH, 又∵MN?平面 BDH,OH?平面 BDH, ∴MN∥平面 BDH. (3)由(2)知 OM∥NH,OM=NH,连接 GM,MH,过点 M,N,H 的平面就是 平面 GMH,它将正方体分割为两个同高的棱柱,高都是 GH,底面分别是四边形 BMGF 和三角形 MGC,

体积比等于底面积之比,即 3∶1. 12.在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是梯形,四边形 ADEF 是正方形,AB∥ DC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC= 5.
(1)求证:平面 EBC⊥平面 EBD; (2)设 M 为线段 EC 上一点,且 3EM=EC,试问在线段 BC 上是否存在一点 T, 使得 MT∥平面 BDE,若存在,试指出点 T 的位置;若不存在,请说明理由. 解:(1)证明:因为 AD=1,CD=2,AC= 5, 所以 AD2+CD2=AC2, 所以△ADC 为直角三角形,且 AD⊥DC. 同理,因为 ED=1,CD=2,EC= 5, 所以 ED2+CD2=EC2, 所以△EDC 为直角三角形,且 ED⊥DC. 又四边形 ADEF 是正方形,所以 AD⊥DE, 又 AD∩DC=D,所以 ED⊥平面 ABCD. 又 BC?平面 ABCD,所以 ED⊥BC. 在梯形 ABCD 中,过点 B 作 BH⊥CD 于点 H,
故四边形 ABHD 是正方形,所以∠ADB=45°,BD= 2. 在 Rt△BCH 中,BH=CH=1,所以 BC= 2, 故 BD2+BC2=DC2,所以 BC⊥BD. 因为 BD∩ED=D,BD?平面 EBD,ED?平面 EBD,

所以 BC⊥平面 EBD, 又 BC?平面 EBC,所以平面 EBC⊥平面 EBD. (2)在线段 BC 上存在一点 T,使得 MT∥平面 BDE,此时 3BT=BC. 连接 MT,在△EBC 中,因为BBCT=EEMC=13,所以 MT∥EB.
又 MT?平面 BDE,EB?平面 BDE, 所以 MT∥平面 BDE.


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