高考数学一轮复习单元练习--常用逻辑用语


高考数学一轮复习单元练习--常用逻辑用语 I 卷 一、选择题 1.由下列各组命题组合而成的“ p ? q ” , “ p ? q ”都是真命题的是( ①命题 p :实数 x 的倒数是 ②命题 p :函数 y ? )

1 ,命题 q :x 的相反数是-x; x

1 是奇函数,命题 q :函数 y=cosx 是偶函数; x

③命题 p :经过直线外一点有且只有一条直线垂直于这条直线;命题 q :经过平面外一条直线有且只有 一个平面垂直于这个平面; ④命题 p :等差数列的公差可以为任意实数,命题 q :等比数列的公比只能是正数或负数. A. ①② 【答案】D 2.已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“α ⊥β ”是“m⊥β ”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C 3.命题“存在 x0 ? R, 2
x0

B.③④

C.①③

D.②④

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 0”的否定是(

) B.存在 x0 ? R, 2
x0

A.不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x

?0
D.对任意的 x

C.对任意的 x ?R, 2

x

?0
)

? R, 2 x >0

【答案】D 4.已知命题 p:对任意 x∈R,有 cosx≤1,则( A.綈 p:存在 x0∈R,使 cosx0≥1 B.綈 p:对任意 x∈R,有 cosx≥1 C.綈 p:存在 x0∈R,使 cosx0>1 D.綈 p:对任意 x∈R,有 cosx>1 【答案】C 5.判断下列命题的真假,其中为真命题的是 ( A. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

) B. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, sin x ? tan x

D. ?x ? R, sin x ? tan x

【答案】D 6.下列四个命题中是真命题的是( ) (1)存在 x∈(0,+∞),使不等式 2x<3x 成立; (2)不存在 x∈(0,1),使不等式 log2x<log3x 成立; (3)任意的 x∈(0,+∞)使不等式 log2x<2x 成立; 1 (4)任意的 x∈(0,+∞)使不等式 log2x< 成立. x A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4)
·1 ·

【答案】A 7. “x>1”是“

1 ? 1 ”的( x

)条件 B.必要不充分 D.既不充分也不必要

A.充分不必要 C.充要条件 【答案】A 8.若 a, b ? R ,则

1 1 ? 3 成立的一个充分不必要的条件是( 3 a b A. a ? b ? 0 B. b ? a C. ab ? 0


) D. ab(a ? b) ? 0

【答案】A 9.下列命题中的假命题是(

A.存在实数α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对任意α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β ,使 cos(α +β ) ≠cosα cosβ -sinα sinβ 【答案】B 10.以下有关命题的说法错误的是( A.命题“若 x
2



? 3x ? 2 ? 0, 则x=1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
2

B. “x=2”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x 【答案】C 11.命题 p : a
2 2

? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x2 ? x ? 1 ? 0

? b2 ? 0( a,b ? R ) ,命题 q : a2 ? b2 ? 0( a,b ? R ) .下列结论正确的是(



A. “ p ? q ”为真 B. “ p ? q ”为假. C. “ p ? q ”为真 D. “ p ? q ”不能判断真假 【答案】A 12. 已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? ,那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A. 充要条件 C. 充分而不必要条件 【答案】C B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

·2 ·

II 卷 二、填空题 13.下列命题中为真命题的是________. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A ? B” ; ②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 【答案】②④ 14.复合命题“非 p”为假命题是复合命题“p 或 q”为真命题的 【答案】充分而不必要条件
3 2 15.命题“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是

.

.

【答案】对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

16.用“或” “且” “非”填空,使命题成为真命题: (1)x∈A∪B,则 x∈A__________x∈B; (2)x∈A∩B,则 x∈A__________x∈B; (3)a、b∈R,a>0__________b>0,则 ab>0. 【答案】 (1)或 (2)且 (3)且

·3 ·

三、解答题 17.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)矩形的对角线相等且互相平分; (2)正偶数不是质数. 答案: (1)逆命题:若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(假命题) . 否命题:若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(假命题) . 逆否命题:若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形(真命题) . (2)逆命题:如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题) . 否命题:如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题) . 逆否命题:如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题) . 18.已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足不等式
2 2

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
(12 分) 【答案】由 a x ? ax ? 2 ? 0 得 (ax ? 2)(ax ? 1) ? 0 ,由题意: a ? 0,? x ? ?
2 2

2 1 ,x ? a a

? x ? [?1,1],?

2 1 ? 1或 ? 1,? a ? 1, a a 2 2 由只有一个实数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 可得: (2a) ? 8a ? 0,? a ? 0或a ? 2,
命题“p 或 q”是假命题即为:命题 p 为假命题或 q 为假命题,所以,

a ? 1或(a ? 0且a ? 2)

所以,a 的取值范围是 a ? 2 . 19.已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a ≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 【答案】由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0, 2 1 显然 a≠0,∴x=- 或 x= . a a 2 1 ∵x∈[-1,1],故| |≤1 或| |≤1,∴|a|≥1. a a “只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0” , 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ =4a2-8a=0,∴a=0 或 2, ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≥1 或 a=0. ∵命题“p 或 q”为假命题, ∴a 的取值范围为{a|-1<a<0 或 0<a<1}. 20.已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足不等式
2 2

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“ p 或 q ”是假命题,求 a 的取值范围。
【答案】由题意 a ? 0 . 若

p 正确, a 2 x 2 ? ax ? 2 ? (ax ? 2)(ax ?1) ? 0 的解为
若方程在[-1,1]上有解, 只需满足-1 ?

1 2 或? a a

1 ?1 a
·4 ·

即 a ? (??,?1] ? [1,??) 若 q 正确,即只有一个实数 x 满足 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,
2

则有 ? ? 0, 即 a ? 0 或 2 若

p 或 q 是假命题,则 p 和 q 都是命题,
?? 1 ? a ? 1 所以 a 的取值范围是 (1,0) ? (0,1) ?a ? 0且a ? 2

有?

21.已知命题 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,命题 q :4 x
2

2

? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,P

且 q 为真命题,求实数 m 的取值范围. 【答案】由已知可知, p : ?

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? m?0

,解得 m ? 2 ,

q : ? ? 16 ? m ? 2 ? ? 16 ? 16 ? m2 ? 4m ? 3? ? 0 ,解得 1 ? m ? 3
2

? m?2 , ? P 且 q 为真,? p, q 同时为真,则 ? ?1 ? m ? 3
? 2 ? m ? 3 ,? 实数 m 的取值范围是 2 ? m ? 3 . ax ? 5 22.设函数 f ( x ) ? lg 2 的定义域为 A ,若命题 p : 3 ? A 与命题 q : 5 ? A 有且只有一个为真命题, x ?a
求实数 a 的取值范围. 【答案】 A ? ? x | 若 3 ? A ,则

? ?

ax ? 5 ? ? 0? . 2 x ?a ?

3a ? 5 5 ? 0 ,即 ? a ? 9 ; 9?a 3 5a ? 5 ? 0 ,即 1 ? a ? 25 . 若 5 ? A ,则 25 ? a

?5 ? ? a ? 9, 若 p 真 q 假,则 ? 3 a 无解; ? ?a ≤1或a ≥ 25, 5 ? ?a ≤ 或a ≥ 9, 若 p 假 q 真,则 ? 3 ? ?1 ? a ? 25,
·5 ·

解得 1 ? a ≤

5 或 9 ≤ a ? 25 . 3

综上, a ? ?1 , ? ? 9, 25? .

? 5? ? 3?

?

·6 ·


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