2018版高中数学人教版a版必修一学案:第二单元 2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 含答案

第 2 课时 学习目标 指数函数及其性质的应用 1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的 单调性解决一些问题(重、难点). 考查方向 方向 1 题型一 指数函数单调性的应用 比较两数的大小 (1)下列大小关系正确的是( ) 【例 1-1】 A.0.43<30.4<π0 C.30.4<0.43<π0 B.0.43<π0<30.4 D.π0<30.4<0.43 ) (2)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c 解析 D.b<c<a B.a<c<b (1)0.43<0.40=1=π0=30<30.4,故选 B. (2)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故 1.50.6>0.60.6,又函数 y=0.6x 在(-∞, +∞)上是减函数,且 1.5>0.6,所以 0.61.5<0.60.6,故 0.61.5<0.60.6<1.50.6,选 C. 答案 方向 2 (1)B (2)C 解简单的指数不等式 ?1? ? ? (1)不等式? ?3x-1≤2 的解集为________. ?2? 【例 1-2】 (2)已知 a-5x>ax+7(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围. ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)解析 ∵2=? ?-1,∴原不等式可化为? ?3x-1≤? ?-1,∵函数 y=? ?x 在 R 上 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?2? 是减函数,∴3x-1≥-1,∴x≥0,故原不等式的解集是{x|x≥0}. 答案 {x|x≥0} 7 (2)解 当 a>1 时,∵a-5x>ax+7,∴-5x>x+7,解得 x<- ; 6 7 当 0<a<1 时,∵a-5x>ax+7,∴-5x<x+7,解得 x>- . 6 7 7 综上所述,x 的取值范围是:当 a>1 时,x<- ;当 0<a<1 时,x>- . 6 6 方向 3 指数型函数的单调性 ?1? ? ? 判断 f(x)=? ?x2-2x 的单调性,并求其值域. ?3? 【例 1-3】 解 ?1? ? ? 令 u=x2-2x,则原函数变为 y=? ?u. ?3? ∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, ?1? ? ? 又∵y=? ?u 在(-∞,+∞)上递减, ?3? ?1? ? ? ∴y=? ?x2-2x 在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减. ?3? ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ?1? ? ? ∴y=? ?u,u∈[-1,+∞), ?3? ?1? ?1? ? ? ? ? ∴0<? ?u≤? ?-1=3, ?3? ?3? ∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 2.解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如 ax>ab 的不等式,借助于函数 y=ax 的单调性求解,如果 a 的取值不确 定,要对 a 分为 0<a<1 和 a>1 两种情况分类讨论. (2)形如 ax>b 的不等式,注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式,再借助 于函数 y=ax 的单调性求解. 3.函数 y=af(x)(a>0,a≠1)的单调性的处理技巧 当 a>1 时,y=af(x)与 y=f(x)的单调性相同,当 0<a<1 时,y=af(x)与 y=f(x) 的单调性相反. 题型二 【例 2】 指数函数的实际应用 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%, 1 若初始溶液含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 . 3 (1)写出杂质含量 y 与过滤次数 n 的函数关系式; (2)过滤 7 次后的杂质含量是多少?过滤 8 次后的杂质含量是多少?至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求? 解 ? 1? 2 2 ? ? (1)过滤 1 次后的杂质含量为 ×?1- ?= × ; 3? 100 3 100 ? 2 ? 2 ? ?2? 2? 1? 2 ? ? ? ? ? ? × 1 - 过滤 2 次后的杂质含量为? ×? = ×? ?2; ? ? 3? 100 ?3? ?100 3? ? ? 2 ? 2? ? ? ?2? 1? 2 ? ?2? ? ? ? ? ? 1 - × 过滤 3 次后的杂质含量为? ×? = ×? ?3; ? ? ? ? 3? 100 ?3? ?100 ?3? ? ? … ?2? ? ? 过滤 n 次后的杂质含量为 ×? ?n(n∈N*). 100 ?3? 2 故 y 与 n 的函数关系式为 y= 2 ?2? ? ? ×? ?n(n∈N*). 100 ?3? 2 ?2? 64 1 ? ? (2)由(1)知当 n=7 时,y= ×? ?7= > , 100 ?3? 54 675 1 000 ?2? 2 128 1 ? ? 当 n=8 时,y= ×? ?8= < , 100 ?3? 164 025 1 000 所以至少应过滤 8 次才能使产品达到市场要求. 规律方法 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题,求解时应准确读懂题意,从实际问题中提取出模 型转化为数学问题. (2)在实际问题中,经常会遇到指数增长模型:设基数为 N,平均增长率为 p, 则对于经过时间 x 后的总量 y 可以用 y=N(1+p)x 来表示, 这是非常有用的函数模 型. 【训练 1】 春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆 盖水面面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆 盖水面面积一半时,荷叶已生长了________天. 解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为 1,则荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关系为 y=2x-1,当 x=20 时,长满水面,所以生长 19 天时,荷叶布

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