2015届高考理科数学一轮-第九章-计数原理、概率复习题及答案解析9.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. [对应学生用书 P167] 【梳理自测】 一、分类加法计数原理 1.(教材改编)从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会,则不同的选法种数 为( ) A.6 B.5 C.3 D.2 2.设 x,y∈N 且 x+y≤3,则直角坐标系中满足条件的点 M(x,y)共有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.10 个 答案:1.B 2.D ◆以上题目主要考查了以下内容: 完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1 种不同的方法,在第二类方案中 有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情共有 N= m1+m2+…+mn 种不同的方法. 二、分步乘法计数原理 1.(教材改编)由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有( ) A.238 个 B.232 个 C.174 个 D.168 个 2.(教材改编)有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带,如果一条领带与一件衬 衣配成一套.则不同的配法种数是________. 3.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报 名方法共有________种. 答案:1.C 2.12 3.32 ◆以上题目主要考查了以下内容: 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步 有 m2 种不同的方法,……,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事情共有 N= m1· m2· …· mn 种不同的方法. 【指点迷津】 1.两个特点 分类加法计数原理的特点是独立、互斥;分步乘法计数原理的特点是关联、连续.解题 时经常是两个原理交叉在一起使用,两个原理综合使用时,一般先分类,再分步,分类要标 准明确,分步要步骤连续,有的题目也可能出现先分步,在“步”里面再分类. 2.两个关键 分类的关键在于要做到“不重不漏”, 分步的关键在于要正确设计分步的步骤, 既要合 理分类,又要准确分步. [对应学生用书 P167] 考向一 分类加法计数原理 (2014· 浙江省名校联考)如果正整数 a 的各位数字之和等于 6,那么称 a 为“好 数”(如:6,24,2 013 等均为“好数”),将所有“好数”从小到大排成一列 a1,a2,a3,…, 若 an=2 013,则 n=( ) A.50 B.51 C.52 D.53 【审题视点】 2 013 是四位数,故“好数”按四位数,按三大类分首位为 0、1、2 每 一类再分,采用加法原理. 【典例精讲】 本题可以把数归为“四位数”(含 0 006 等), 因此比 2 013 小的“好数” 为 0×××,1×××,2 004,共三类数,其中第一类可分为:00××,01××,…,0 600, 共 7 类,共有 7+6+…+2+1=28 个数;第二类可分为:10××,11××,…,1 500,共 6 类,共有 6+5+4+3+2+1=21 个数,故 2 013 为第 51 个数,故 n=51,选 B. 【答案】 B 【类题通法】 (1)分类加法计数原理的特点 ①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准; ②完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类. (2)使用分类加法计数原理应注意的问题 分类时标准要明确,分类应做到不重不漏. 1.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的 等比数列的个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 解析:选 D.当公比为 2 时,等比数列可为 1,2,4 或 2,4,8;当公比为 3 时,等比数列可为 3 1 1 2 1,3,9;当公比为 时,等比数列可为 4,6,9.同理,公比为 , , 时,也有 4 个. 2 2 3 3 考向二 分步乘法原理 (2012· 高考辽宁卷)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不 同的坐法种数为( ) A.3×3 B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! 【审题视点】 一家人视为一个整体,采用捆绑法,先排三个家庭,再排每个家庭的三 口人. 【典例精讲】 第 1 步:3 个家庭的全排列,方法数为 3! , 第 2 步:家庭内部 3 个人全排列,方法数为 3! ,共 3 个家庭,方法数为(3!)3; ∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选 C. 【答案】 C 【类题通法】 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,必须要经过几步才能 完成这件事;(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了才算完成这件事, 缺少任何一步,这件事都不可能完成;(3)解决分步问题时要合理设计步骤、顺序,使各步 互不干扰,还要注意元素是否可以重复选取. 2.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有________ 个(用数字作答). 解析:法一:用 2,3 组成四位数共有 2×2×2×2=16(个),其中不出现 2 或不出现 3 的 共 2 个,因此满足条件的四位数共有 16-2=14(个). 法二:满足条件的四位数可分为三类:第一类含有一个 2,三个 3,共有 4 个;第二类 2 含有三个 2,一个 3 共有 4 个;第三类含有二个 2,二个 3 共有 C4 =6(个),因此满足条件的 四位数共有 2×4+C2 4=14(个). 答案:14 考向三 两个原理的综合应用 (2014· 石家庄市模拟)为举办校园文化节,某班推荐 2 名男生、3 名女生参加文 艺技能培训,培训项目及人数分别为:乐器 1 人,舞蹈 2 人,演唱 2 人,每人只参加一个项 目,并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同的推荐方案的种数为________.(用数字 作答) 【审题

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