高中数学 2.5特征值与特征向量导学案 理苏教版选修4-2

2.5 特征值与特征向量
教学目标 1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义。 2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量。 n 3.利用矩阵 A 的特征值、特征向量给出 A α 简单表示。 考纲要求:二阶矩阵的特征值与特征向量(B 级) 教学过程: 一、 预习 阅读教材,解答下列问题:

?1 0 ? ? , 向量 α 问题:已知伸压变换矩阵 M= ? ?0 1 ? ? 2?

= ? ? 和 β = ? ? 在 M 对应的变换作用下得到

?1 ? ?0?

?0? ?1 ?

的向量 ? ? 和 ? ? 分别与 ? , ? 有什么关系? 对伸压变压矩阵 N= ?

? 2 0? ? 呢? ? 0 1?

归纳: ①特征值与特征向量定义:设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 ? ,存在一个非零向量 ? , 使得 A? ? ?? , 那么称 ? 为 A 的一个特征值,而 ? 称为 A 的属于特征值 ? 的一个特征向 量. ②特征向量的几何意义:特征向量的方向经过变换矩阵 A 的作用后,保持在同一条直线上, 这时特征向量或者方向不变( ? ? 0 ) ,或者方向相反( ? ? 0 ) ,特别 地 ,当 ? ? 0 时, 特征向量就变成了零向量. 二、建构数学 特征值与特征向量求解 1. 特征多项式 设 ? 是二阶矩阵 A ? ?

?a b ? ? x? 的一个特征值,它的一个特征向量为 ? ? ? ? ,则 ? ?c d ? ? y?

?x ? ?x ? ?ax ? by ? ?x ?(? ? a) x ? by ? 0, ? x? ,? (*) A? ? ? ? ? ? ,即 ? ? 满足二元一次方程组 ? ? y? ? y? ?cx ? dy ? ?y ?? cx ? (? ? d ) y ? 0 ? y?
由特征向量的定义知 ? ? 因此 x , y 不全为 0, 即要上述二元一次方程组有不全为 0 的解, ? 0, 则必须有 D ? 0 ,即

? ?a
?c

?b ? ?a ?b ? 0 ,把行 列式 f (? ) ? ? ?d ?c ? ?d

? ?2 ? (a ? d )? ? ad ? bc 称为 A 的特征多项式.

2. 特征 值与特征向量求解方法 (Ⅰ)写出矩阵 A 的 特征多项式 f (? ) ;(Ⅱ)求方程 f (? ) ? 0 的根,即为矩阵特征值; (Ⅲ)将 ? 的值代入二元一次方程组 ?

?(? ? a) x ? by ? 0, ,得到特征向量. ?? cx ? (? ? d ) y ? 0

注: 如果向量 α 是属于 λ 的特征向量, 那么 tα (t∈R , t≠0)也是属于 λ 的特征向 量. 三、例题讲解 例 1.求矩阵 A= ?

?1 0 ? ? 的特征值和特征向量。怎样从几何直观的角度加以解释? ?0 ?1?

例 2.已知矩阵 M ? ? ① M ( ? ? ? )= M

? 2? ?1 0? ?1 ? ,向量 ? = ? ? , ? ? ? ? ,试验证下列等式成立: ? ?3 ? ?0 2 ? ?0 ?
1 8 1 8

? + M ? ;② M ( ? ) = M? ;

③对任意实数 ?,? ,有M( ?? ? ?? )= ? M ? + ? M ? 。

有了特征值和特征向量的知识,就有 A? ? ?? , A ………, A
n

2

? ? AA? ? A?? ? ?A? ? ?2 ? ,
?1? ?3?

? ? ?n ? 。从而可以方便计算多次变换的结果 A 50 ? ? ,

一般地, 设 ?1 、 ?2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值, ? 1 、 ? 2 是矩阵 A 的分别属于特征 值 ?1 、 ?2 的特征向量,即 A?1 ? ?1?1, A?2 ? ?2?2 ,对于平面上任意一个非零向量 ? , 设 ? ? m?1 ? n?2 ,则 A? ? A(m?1 ? n?2 ) ? A(m?1 ) ? A(n?2 ) ? mA?1 ? nA?2

? m?1?1 ? n?2?2 ; A2 ? ? A2 (m?1 ? n?2 ) ? mA2?1 ? nA2?2 ? m?12?1 ? n?22?2 ,…,
An ? ? An (m?1 ? n?2 ) ? mAn?1 ? nAn?2 ? m?1n?1 ? n?2n?2
例 3.已知 M = ?

?1 2 ? ?1? , ? ? ? ? ,试计算 M 50 ? 。 ? ?2 1 ? ?7?

四、课堂练习 1.矩阵 ?

?1 0 ? ? 的特征值_________,对应的特征向量 为________________ ?0 ? 1?

2.求下列矩阵的特征值和特征向量 (1) ?

?1 1? ?; ?0 1?

(2) ?

? 2 5? ? ? 6 1?

3.试说明矩阵 ?

?0 ? 1? ? 没有特征值和特征向量,并给出几何解释. ?1 0 ?

四、小结:

特征值与特征向量作 业 1.说明矩阵 ?

?0 ?1? ? 没有实数特征 值和特征向量. ?1 0 ?

2.求矩阵 A = ?

? 1 2? ? 的特征值和特征向量. ? ? 1 4?

3.求投影变换矩阵 M = ? 何意义。

?0 0 ? ? 2? 的特征值和特征向量,并计算 M 200 ? ? 的值,解释它的几 ? ?0 1 ? ? 3?

4.若矩阵 A 有特征向量 i = ? ? 和 j = ? ? , 且它们所对应的特征值分别为 ?1 ? 2, ?2 ? ?1 . ( 1) 求矩阵 A 及其逆矩阵 A
?1

?1 ? ?0?

?0? ?1 ?

;

(2)求逆矩阵 A 的特征值及特征向量.

?1


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