广东省10大市2013届高三数学(文)一模试题分类汇编8:立体几何

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广东省 10 大市 2013 届高三数学(文)一模试题分类汇编
立体几何
一、选择题 1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一) )某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何 体的体积是 2 A. 2 B. 1 1 1 C.

2 3

D.

1 3

正视图

侧视图

答案: 2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)设 m 、 n 是两条不同的直
2

2

线, 、 、 ? ?
俯视图 图1

? 是三个不同的平面。给出下列四个命题:
①若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ?

②若 m 、 n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ?

③若 m ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 n ? ? 答案:B

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)已知 ?、 ? 是两不同的平面,m、n 是两不同直线,下列命 题中不正确的是: ... A.若 m∥n,m⊥ ? ,则 n⊥ ? C.若 m⊥ ? ,m⊥ ? ,则 ? ∥ ? 答案:B 4、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a= B.若 m∥ ? , ? ∩ ? = n,则 m∥n D.若 m⊥ ? ,m∥ ? ,则 ? ⊥ ?

A、 2 答案:C

B、

2 2

C、 3

D、

3 2

5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)某几何
右图所示,则该几何体的表面积等于_______ 答案:

体的三视图如

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6、 深 市 ( 圳 2013届 三 第 次 研 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视 高 2月 一 调 )

图为

答案:B 7、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)若一个底面是正三角 的正视图如图 2 所示,则其表面积等于__▲__. ... 答案: 24 ? 8 3 8、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) )一个长方体被一 一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图可以为 个平面截去 形的三棱柱

正视图

A. 答案:B

B.

C.

D.

9、 (茂名市 2013 届高三第一次高考模拟)若某一几何体的正视图与侧视图均为 的正方 形,且其体积为

俯视图 第 9 题图

边长是 1

1 ,则该几何体的俯视图可以是( 2

)

答案:C 10、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )一个几何体的三视图如 视图和左视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图为圆,那么该几 A、6 ? B、4 ? C、3 ? D、2 ? 答案:C

图所示,其中主 何体的表面积为

三、解答题 1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一) )如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是

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平行四边形, ?BCD ? 60 ,

?

AB ? 2 AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB ;

P

M

D

(3)若 AB ? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD 的距离.
A 图4 B

C

(1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO , ∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ∵ M 为 PC 的中点, ∴ MO // AP . ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ∴ PA // 平面 BMD . (2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ PD ? AD . ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD , ∴ BD
2 ?

……………1 分

……………2 分

……………3 分

……………4 分
P

? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?
? AB 2 ? AD 2 ? 2 AD 2
? AB 2 ? AD 2 .
……………5 分
A D N O

M

C

∴ AB

2

? AD ? BD .
2 2

B

∴ AD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD ,

……………6 分

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∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AD ? PB . (3)解:取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN // PD 且 MN ? ∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 2 , ∴ MN ? 平面 ABCD , MN ? 1 . 在 Rt△ PCD 中, CD ? AB ? PD ? 2 , DM ? ∵ BC // AD , AD ? PB , ∴ BC ? PB . 在 Rt△ PBC 中, BM ?

……………7 分

……………8 分

1 PD . 2

……………9 分

1 1 PC ? 2 2

PD 2 ? CD 2 ?

2,

1 PC ? 2

2.

在△ BMD 中, BM ? DM , O 为 BD 的中点, ∴ MO ? BD . 在 Rt△ ABD 中, BD ? AB ? sin 60 ? 2 ?
?

3 ? 2

3.

在 Rt△ MOB 中, MO ?

BM 2 ? OB 2 ?

5 . 2 15 .…………11 分 4

∴ S ΔABD ?

1 3 1 ? AD?BD ? ? BD?MO ? , S ΔMBD ? 2 2 2

设点 A 到平面 BMD 的距离为 h , ∵ VM ? ABD ? VA ? MBD , ∴ ?MN ? S ΔABD ?

1 3

1 ?h? S ΔMBD . 3

……………12 分

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1 3 15 2 5 1 ?1 ? ? ?h? , 解得 h ? . 3 3 2 4 5
2 5 . 5
D

……………13 分

∴点 A 到平面 BMD 的距离为

……………14 分

2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟) 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上除 A 、B 外的一点,?AED 在平面 ABC 的投影恰好是 ?ABC .已知 CD ? BE , AB ? 4 , ⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求三棱锥 C ? ADE
A

tan ?EAB ?
C
E

1 . 4

的高.

证明与求解:⑴因为 AB 是直径,所以 BC ? AC ……1 分,因

O

?

B



?ABC



?AED 的投影,所以 CD ? 平面 ABC , CD ? BC ……2 分,
因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD ……3 分 因为 CD ? 平面 ABC , BE ? 平面 ABC ,所以 CD // BE ……4 分,又因为 CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE , DE ? 平面 ACD ……5 分,因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面

ACD ……6 分

1 ? 1 ……7 分, 4 1 1 1 由⑴知 VC ? ADE ? VE ? ACD ? ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE ……8 分, 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC ……9 分, ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? ,等号当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时成 6 12 12 3
⑵依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? 立……11 分, 此时, AD ? 1 ? (2 2 ) ? 3 , S ?ADE ?
2 2

1 ? AD ? DE ? 3 2 ……12 分,设三棱锥 C ? ADE 的高 2

为 h ,则 VC ? ADE ?

1 4 2 2 ? S ?ADE ? h ? ……13 分, h ? ……14 分. 3 3 3

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)如图(3) ,在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高,

AE ? BF ? 2 , AB ? 2 2 ,现将梯形沿 CB、DA 折起,使 EF//AB 且 EF ? 2 AB ,得一简单组合体

ABCDEF 如图(4)示,已知 M , N , P 分别为 AF , BD, EF 的中点. C
D

C N B A M P 图(4)

D

(1)求证: MN // 平面 BCF ; (2)求证: AP ? 平面 DAE ; (3)若 AD ? 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积.F

图(3) B

A

E

F

E

(1)证明:连结 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点,--------------------------------------------------------------1 分

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在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF --------------------------3 分 ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,? MN // 平面 BCF ;---4 分 (2)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB I AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ,∴ AP ? AD ,------------------5 分 ∵ P 为 EF 中点,∴ FP ? AB ? 2 2
F C N B A M P E D

结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 ∴ AP // BF , AP ? BF ? 2 ----------------------------------------------------7 分 而 AE ? 2, PE ? 2 2 ,∴ AP 2 ? AE 2 ? PE 2 ∴ ?EAP ? 90? ,即 AP ? AE -----8 分 又 AD I AE ? A ∴ AP ? 平面 ADE ,----------------------------------9 分

(3)解法一:过 F 点作 FQ ? AB 交 AB 于 Q 点,由(2)知△PAE 为等腰直角三角形, ∴ ?APE ? 45o ,从而 ?FBQ ? ?BFE ? 45 ,------------------------------------------10 分
o

∴ FQ ? BF sin 450 ?

2 ,-------------------------------------------------------------------11 分

又由(2)可知 AD ? FQ,? FQ ? 平面 ABCD,-----------------------------------------12 分 ∴ VF ? ABCD ?

1 1 8 FQ ? S四边形ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ,--------------------------------------14 分 3 3 3

【解法 2:∵三棱锥 F-CBD 与 F-ABD 等底等高,∴ VF ? BCD ? VF ? ABD ,-----------10 分 ∴ VF ? ABCD ? 2VF ? ABD ? 2VD ? ABF ,-----------------------------------------------11 分 由(2)知△PAE 为等腰直角三角形,∴ ?APE ? 45o ,从而 ?FBA ? ?APF ? 135o ---12 分 故 S ?ABF ?

1 1 2 AB ? BF sin ?ABF ? ? 2 2 ? 2 ? ?2 2 2 2

∴ VD ? ABF ? ∴ VF ? ABCD

1 1 4 S ?ABF ? DA ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3 8 ? 2VD ? AEF ? ---------------------------------------------------------------14 分】 3

4、 梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检) ( 已知在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AB=2,E,F 分别是 AB、PD 的中点。 (1)求证:AF⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 B-PEC 的体积; (3)求证:AF∥平面 PEC。

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5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)如图所示的几何体为一简单组合体,其底面 ABCD 为
矩形,PD 丄平面 ABCD, EC//PD ,且 PD = 2EC. (1)若 N 为线段 PB 的中点,求证:NE PD

(2)若矩形 ABCD 的周长为 10,PD = 2,求该简单组合体的 体积的最大值.

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6、 (深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研)如图甲,⊙O 的直径 AB ? 2 ,圆上两点 C、 D 在直径 AB 的

? ? , ?DAB ? .沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) F 为 BC , 4 3 的中点, E 为 AO 的中点.根据图乙解答下列各题:
两侧,使 ?CAB ? (1)求三棱锥 C ? BOD 的体积; (2)求证: CB ? DE ;

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? (3)在 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG // 平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

C
·

F

A

·

O

B

A D

·

E

O G

B

D

(第 18 题图乙)

(第 18 题图甲) 解:(1)? C 为圆周上一点,且 AB 为直径,??C ? 90?

? ?CAB ?

?
4

, ? AC ? BC ,

∵ O 为 AB 中点,? CO ? AB ,

? AB ? 2,?CO ? 1 .
∵ 两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ∴ CO ? 平面 ABD ,? CO ? 平面 BOD . ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离, 在 Rt ?ABD 中, S?BOD ?

1 1 1 3 , S?ABD ? ? ?1? 3 ? 2 2 2 4

1 1 3 3 . ………………………………………4 分 ?VC ? BOD ? S?BOD ? CO ? ? ?1 ? 3 3 4 12
(2)在 ?AOD 中,? ?OAD ? 60?, OA ? OD,

? ?AOD 为正三角形, 又? E 为 OA 的中点,? DE ? AO , ∵ 两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ? DE ? 平面 ABC . ∴ CB ? DE . ………………………………………9 分

? (3)存在, G 为 BD 的中点.证明如下:
连接 OG, OF , FG , ∴OG ? BD , ∵ AB 为⊙O 的直径, ∴ AD ? BD ∴ OG // AD , ? OG ? 平面 ACD , AD ? 平面 ACD , ∴OG // 平面 ACD .

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在 ?ABC 中, O, F 分别为 AB, BC 的中点,

? OF // AC , OF ? 平面 ACD ,? OF // 平面 ACD ,

? OG ? OF ? O,
∴ 平面 OFG // 平面 ACD , 又 FG ? 平面 OFG ,? FG // 平面 ACD .………………………………………14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力. 7、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)如图 4,PA 垂直于⊙O 所在平面 AB 为⊙O 的直径,PA=AB=2, BF ? (1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP; (3)求四棱锥 C—AOFP 的体积. (1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ?ACB ? 90o ,即 BC?AC. 又∵ PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . (2 分) (3 分) (1 分)
1 BP ,C 是弧 AB 的中点. 4

ABC,

(2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分)

∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. (5 分)

又∵ PA ? AB ? A ,∴ OC ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ BP ? OC . (6 分)

设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 OF // AE , AE ? BP ∴ BP ? OF . (7 分)

∵ OC ? OF ? O ,∴ BP ? 平面 CFO . 又 CF ? 平面 CFO ,∴ CF ? BP . (8 分) (3)解:由(2)知 OC ? 平面 PAB ,∴ CO 是三棱锥 C ? BFO 的高,且 CO ? 1 . (9 分) 又∵ BF ?
1 1 1 2 2 1 1 1 2 BP ? PA2 ? AB 2 ? 2 ? 22 ? , FO ? AE ? ? PB ? 4 4 4 2 2 2 2 2

(10 分)

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∴ VC ? BFO ? S BOF ? CO ? ? BF ? FO ? 1 ? ?
1 3 1 1 3 2

1 3

1 1 3 2

1 6

2 2 1 ? ? 2 2 12
1 1 3 2 2 3

(11 分) (12 分) (13 分)

又∵ VP ? ABC ? S?ABC ? AP ? ? AB ? CO ? AP ? ? ? 2 ? 1? 2 ? ∴四棱锥 C ? AOFP 的体积 V ? VP ? ABC ? VC ? BFO ?
2 1 7 ? ? 3 12 12

8、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) ) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为 线段 AB 上一点,且 AD ?

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3

P

且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为 点 D , PD ? BD . (1)求证: CD ? 平面 PAB ; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离. A D 解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, O 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , C ? 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 , ∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 (注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. ) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , ∵ Rt?ABC 中, AB ? 4 , 在 ∴ 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 , 由 B



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

∴?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分

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法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

∵ AB ? 4 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ? 2 2 2 ∴CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .-----------------3 分

∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 (Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,--------7 分 (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要求出线段的长度,酌情给分. ) ∴VP ? BDC ? 又 PB ?

1 1 1 1 1 3 3 .--------10 分 S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 , PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 , BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 .--------12 分 ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2

∴?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d , 由 VP? BDC ? VD?PBC 得, S?PBC ? d ?

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? .--------14 分 2 5
P

法 2:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,

过点 D 作 DE ? CB ,垂足为 E ,连接 PE ,再过点 D 作 DF ? PE ,垂足为 F .-----------------8 分 ∵PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∴PD ? CB ,又 PD ? DE ? D , ∴CB ? 平面 PDE ,又 DF ? 平面 PDE , ∴CB ? DF ,又 CB ? PE ? E , ∴DF ? 平面 PBC ,故 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离.--------10 分 A D F O E C B

3 3 5 2 2 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ? , PE ? PD ? DE ? , 2 2
?

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3 3? PD ? DE 2 ? 3 5 ,即点 D 到平面 PBC 的距离为 3 5 .-------14 分 在 Rt?PDE 中, DF ? ? 5 PE 5 3 5 2
9、 (茂名市 2013 届高三第一次高考模拟)在如图所示的多面体 ABCDE 中, AB ? 平面 ACD, DE ? 平 面 ACD,

A B? C D 1 , AC ? 3 ,AD=DE=2,G 为 AD 的中点。 ?
(1)求证: AC ? DE ; (2)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF//平面 ACD 并证明; (3)求三棱锥 VG ? BCE 的体积。

10、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 的交点为 G,AD⊥平 面 ABE,AE⊥EB,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥CE。 (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD; (3)求三棱锥 C-GBF 的体积。

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