2019版高中数学北师大版选修2-3教学案:第一章 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 Word版含解析

2019 版数学精品资料(北师大版)
§ 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

[对应学生用书P2]

分类加法计数原理

1.李娜为了备战 2014 年澳大利亚网球会开赛,需要从北京到 A 地进行封闭式训练, 每天有 7 次航班,5 列动车. 问题 1:李娜从北京到 A 城的方法可分几类? 提示:两类,即乘飞机、乘动车. 问题 2:这几类方法都能完成“从北京到 A 城”这件事吗? 提示:都能. 问题 3:李娜从北京到 A 城共有多少种不同的方法? 提示:7+5=12(种). 2.若你班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一名同学担任班长. 问题 4:不同的选法的种数为多少? 提示:26+24=50.

分类加法计数原理(加法原理) 完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方法,在第二类办法中有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种方法. 分步乘法计数原理

1.李娜从北京到 A 城需在 B 城停留,若从北京到 B 城有 7 次航班,从 B 城到 A 城有 5 列动车. 问题 1:李娜从北京到 A 城需要经历几个步骤?

提示:两个,即从北京到 B 城,从 B 城到 A 城. 问题 2:这几个步骤中的某一步能完成“从北京到 A 城”这件事吗? 提示:不能.必须“从北京到 B 城”“从 B 城到 A 城”这两步都完成后才能完成“从 北京到 A 城”这件事. 问题 3:李娜从北京到 A 城共有多少种不同的方法? 提示:7×5=35(种). 2.若你班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一名男生和一名女生担任班长. 问题 4:不同的选法的种数为多少? 提示:26×24=624.

分步乘法计数原理(乘法原理) 完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 m1 种方法,做第二步有 m2 种方 法,……,做第 n 步有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种方法.

1.分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情,而分步乘法计数原理的每 一个步骤都是完成这件事情的中间环节,都不能独立完成这件事情. 2.分类加法计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别,求各类方法之 和; 而分步乘法计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤, 求各步骤方法之 积.

[对应学生用书P3]

分类加法计数原理 [例 1] 高二· 一班有学生 50 人,男生 30 人;高二· 二班有学生 60 人,女生 30 人;高 二· 三班有学生 55 人,男生 35 人. (1)从中选一名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高二· 一班、二班男生中,或从高二· 三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有 多少种不同的选法? [思路点拨] (1)完成的一件事是从三个班级中选一名学生任学生会主席; (2)完成的一件 事是从一班、二班男生中,或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长,因而可按当选学 生来自不同班级分类,利用分类加法计数原理求解. [精解详析] (1)选一名学生任学生会主席有 3 类不同的选法: 第一类,从高二· 一班选一名,有 50 种不同的方法; 第二类,从高二· 二班选一名,有 60 种不同的方法; 第三类,从高二· 三班选一名,有 55 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50+60+55=165 种不同的方法. (2)选一名学生任学生会体育部长有 3 类不同的选法: 第一类,从高二· 一班男生中选,有 30 种不同的方法; 第二类,从高二· 二班男生中选,有 30 种不同的方法; 第三类,从高二· 三班女生中选,有 20 种不同的方法. 故选一名学生任学生会体育部长共有 30+30+20=80 种不同的方法. [一点通] 如果完成一件事有 n 类不同的办法,而且这 n 类办法是相互独立的,无论用 哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事, 那么求完成这件事的方法种数就用分类 加法计数原理.分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加 法计数原理求和,得到总种数.

1.上海世博会期间,一志愿者带一客人去预订房间,宾馆有上等房 10 间,中等房 20 间,一般房 25 间,则客人选一间房的选法有( )

A.500 种 C.55 种 解析:选法为 10+20+25=55 种. 答案:C

B.5 000 种 D.10 种

2.(福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序 数对(a,b)的个数为( A.14 C.12 ) B.13 D.10

解析:因为 a,b∈{-1,0,1,2},可分为两类:①当 a=0 时,b 可能为-1 或 0 或 1 或 2, 即 b 有 4 种不同的选法;②当 a≠0 时,依题意得 Δ=4-4ab≥0,所以 ab≤1.当 a=-1 时, b 有 4 种不同的选法,当 a=1 时,b 可能为-1 或 0 或 1,即 b 有 3 种不同的选法,当 a=2 时,b 可能为-1 或 0,即 b 有 2 种不同的选法.根据分类加法计数原理,(a,b)的个数共有 4+4+3+2=13. 答案:B 3.在所有的两位数中,十位数字大于个位数字的两位数共有多少个? 解:依据“十位数字大于个位数字”进行分类,令十位数字为 m,个位数字为 n,则有 当 m=1 时,n=0,有 1 个; 当 m=2 时,n=0,1,有 2 个;当 m=3 时,n=0,1,2,有 3 个;…… 当 m=9 时,n=0,1,2,3…8,有 9 个. 所有这样的两位数共有 1+2+3+…+9=45 个. 分步乘法计数原理 [例 2] (1)(山东高考)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( A.243 C.261 B.252 D.279 )

(2)有三个盒子,分别装有不同编号的红色小球 6 个,白色小球 5 个,黄色小球 4 个, 现从盒子里任取红、白、黄小球各一个,有不同的取法________种. [思路点拨] (1)先排百位,然后排十位,最后排个位.注意百位数字不能为 0. (2)要从盒子里任取红、白、黄小球各一个,应分三个步骤,并且这三个步骤均完成时,

才完成这件事,故须采用乘法原理. [精解详析] (1)十个数字组成三位数的个数为 9× 10× 10=900.没有重复数字的三位数有 9× 9× 8=648,所以有重复数字的三位数的个数为 900-648=252. (2)完成这件事可分三步: 第一步:取红球,有 6 种不同的取法; 第二步:取白球,有 5 种不同的取法; 第三步:取黄球,有 4 种不同的取法. 根据分步乘法计数原理,共有 N=6× 5× 4=120 种不同的取法. [答案] (1)B (2)120 [一点通] 利用分步乘法计数原理计数的一般思路:首先将完成这件事的过程分步,然 后再找出每一步中的方法有多少种,求其积,注意各步之间的相互联系,每步都完成后,才 能完成这件事.

4.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一 套,则不同配法的种数为( A.7 C.64 ) B.12 D.81

解析:要完成长裤与上衣配成一套,分两步: 第一步:选上衣,从 4 件中任选一件,有 4 种不同选法; 第二步:选长裤,从 3 条长裤中任选一条,有 3 种不同选法. 故共有 4×3=12 种不同的配法. 答案:B 5.将 3 封信投到 4 个邮筒,所有投法有( A.24 种 C.64 种 ) B.4 种 D.81 种

解析:分三步完成投信这件事.第一步投第 1 封信有 4 种方法,第二步投第 2 封信有 4 种方法,第三步投第 3 封信有 4 种方法,故共有 N=4×4×4=64 种方法. 答案:C

6.从 1,2,3,4 中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位数的偶数. 解:(1)三位数有三个数位:百位,十位,个位,故可分三步完成: 第一步,排个位,从 1,2,3,4 中选 1 个数字,有 4 种方法; 第二步,排十位,从剩下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法; 第三步,排百位,从剩下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 依据分步乘法计数原理,共有 4×3×2=24 个满足要求的三位数. (2)分三步完成: 第一步,排个位,从 2,4 中选 1 个,有 2 种方法; 第二步,排十位,从余下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法; 第三步,排百位,只能从余下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 故共有 2×3×2=12 个三位数的偶数. 两个计数原理的应用

[例 3]

(12 分)如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块.现有 4 种不同

的花供选种,要求在每块地里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,问共有 多少种不同的种植方法. [思路点拨] 本题可以先分类,由 A,C 是否种相同的花分为两类,也可以先分步,在 考虑 C 时再分类. [精解详析] 法一:分为两类: 第一类:当花坛 A,C 中种的花相同时有 4×3×1×3=36 种; 第二类:当花坛 A,C 中种的花不同时有 4×3×2×2=48 种. 共有 36+48=84 种. 法二:分为四步: 第一步:考虑 A,有 4 种; 第二步:考虑 B,有 3 种; 第三步:考虑 C,有两类:一是 A 与 C 同,C 的选法有 1 种,这样第四步 D 的选法有 3 种;二是 A 与 C 不同,C 的选法有 2 种,此时第四步 D 的选法也有 2 种. 共有 4×3×(1×3+2×2)=84 种.

[一点通] 综合应用两个原理时,一定要把握好分类与分步.分类是根据完成方法的不 同类别,分步是根据一种方法进程的不同步骤.

7.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点 的坐标,则在直角坐标系中,第一、二象限不同点的个数为( A.18 C.14 解析:分为两大类: 第一类,以集合 M 中的元素为点的横坐标,集合 N 中的元素为点的纵坐标. 由分步乘法计数原理,有 3×2=6 个不同的点. 第二类,以集合 N 中的元素为点的横坐标,集合 M 中的元素为点的纵坐标. 由分步乘法计数原理,有 4×2=8 个不同的点. 由分类加法计数原理,第一、二象限内不同的点共有 N=6+8=14 个. 答案:C 8.有不同的中文书 7 本,不同的英文书 5 本,不同的法文书 3 本.若从中选出不属于 同一种文字的 2 本书,共有________种不同的选法. 解析:分为三类,每一类再分两步. 第一类选中文、 英文书各一本有 7×5=35 种选法, 第二类选中文、 法文书各一本有 7×3 =21 种选法,第三类选英文、法文书各一本有 5×3=15 种选法,所以总共有 35+21+15 =71 种不同的选法. 答案:71 9.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀 的群众来信,甲信箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确 定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? 解:确定幸运观众可分两类: 第一类:幸运之星在甲箱中抽,再在两箱中各定一名幸运伙伴,有 30×29×20=17 400 种结果; 第二类:幸运之星在乙箱中抽,再在两箱中各定一名幸运伙伴,有 20×30×19=11 400 B.16 D.10 )

种结果. 根据分类加法计数原理,共有 17 400+11 400=28 800 种不同的结果.

1.两个计数原理的区别 分类加法计数原理 区别一 完成一件事有 n 类不同的办法,关键词 是“分类” 每类办法都能独立地完成这件事,它是 区别二 独立的、一次的且每次得到的是最后结 果,只需一种方法就可完成这件事 各类办法之间是互斥的、并列的、独立 的 分步乘法计数原理 完成一件事需要 n 个步骤,关键词是 “分步” 每一步得到的只是中间结果,任何一步 都不能独立完成这件事,即缺少任何一 步都不能完成这件事,只有各个步骤都 完成了,才能完成这件事 各步之间是关联的、独立的,“关联” 确保不遗漏,“独立”确保不重复

区别三

2.“分类”“分步”应注意 (1)分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数 原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”.完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相 互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法 数相乘,得到总数.

[对应课时跟踪训练?一?]

1.一个三层书架,分别放置语文书 12 本,数学书 14 本,英语书 11 本,从中任取一本, 则不同的取法共有( A.37 种 C.3 种 ) B.1 848 种 D.6 种

解析:根据分类加法计数原理,得不同的取法为 N=12+14+11=37(种). 答案:A 2.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中虚数有 ( A.30 个 B.42 个 )

C.36 个

D.35 个

解析:完成这件事分为两个步骤:第一步,虚部 b 有 6 种选法;第二步,实部 a 有 6 种选法.由分步乘法计数原理知,共有虚数 6×6=36 个. 答案:C 3.现有高一学生 9 人,高二学生 12 人,高三学生 7 人,自发组织参加数学课外活动小 组,从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人,不同的选法共有( A.756 种 C.28 种 B.56 种 D.255 种 )

解析:推选两名来自不同年级的两名学生,有 N=9×12+12×7+9×7=255(种). 答案:D

4.用 4 种不同的颜色给矩形 A,B,C,D 涂色,要求相邻的矩形涂不同的 颜色,则不同的涂色方法共有( A.12 种 C.48 种 ) B.24 种 D.72 种

A C D

B

解析:先涂 C,有 4 种涂法,涂 D 有 3 种涂法,涂 A 有 3 种涂法,涂 B 有 2 种涂法. 由分步乘法计数原理,共有 4×3×3×2=72 种涂法. 答案:D 5.为了对某农作物新品种选择最佳生产条件,在分别有 3 种不同土质,2 种不同施肥 量,4 种不同的种植密度,3 种不同的种植时间的因素下进行种植试验,则不同的实验方案 共有________种. 解析:根据分步乘法计数原理,不同的方案有 N=3×2×4×3=72(种). 答案:72 6.如图,A→C,有________种不同走法.

解析:A→C 的走法可分两类: 第一类:A→C,有 2 种不同走法; 第二类:A→B→C,有 2×2=4 种不同走法.

根据分类加法计数原理,得共有 2+4=6 种不同走法. 答案:6 x2 y2 7.设椭圆 2+ 2=1,其中 a,b∈{1,2,3,4,5}. a b (1)求满足条件的椭圆的个数; (2)如果椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的个数. 解:(1)由椭圆的标准方程知 a≠b,要确定一个椭圆,只要把 a,b 一一确定下来这个椭 圆就确定了. ∴要确定一个椭圆共分两步:第一步确定 a,有 5 种方法;第二步确定 b,有 4 种方法, 共有 5×4=20 个椭圆. (2)要使焦点在 x 轴上,必须 a>b,故可以分类:a=2,3,4,5 时,b 的取值列表如下: a b 2 1 3 1,2 4 1,2,3 5 1,2,3,4

故共有 1+2+3+4=10 个椭圆. 8.某艺术小组有 9 人,每人至少会钢琴和小号中的 1 种乐器,其中 7 人会钢琴,3 人 会小号,从中选出会钢琴和会小号的各 1 人,有多少种不同的选法? 解: 由题意可知, 在艺术小组 9 人中, 有且仅有 1 人既会钢琴又会小号(把该人称为“多 面手”),只会钢琴的有 6 人,只会小号的有 2 人,把选出会钢琴、小号各 1 人的方法分为 两类: 第一类:多面手入选,另 1 人只需从其他 8 人中任选一个,故这类选法共有 8 种. 第二类:多面手不入选,则会钢琴者只能从 6 个只会钢琴的人中选出,会小号者也只能 从只会小号的 2 人中选出,故这类选法共有 6×2=12 种. 因此有 N=8+12=20 种不同的选法.


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