山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题

高三复习阶段性检测试题 文 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分, 5 页. 共 满分 150 分. 考试用时 120 分钟, 考试结束后, 将试卷和答题卡一并上交. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂 改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

如 果 事 件 A,B 互 斥 , 那 么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? ; 如 果 事 件 A,B 独 立 , 那 么

P ? AB ? ? P ? A ? ? P ? B ? .
第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? ??1, 0,1? , B ? y y ? e x , x ? A ,则 A ? B = A. ?0? 2.复数 A. ?1 B. ?1? C. ?0,1? D. ??1, 0,1?

?

?

1? i (i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 1? i
B.0 C.1 D.2

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3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? A. ?14 B. ?13 C. ?12 D. ?11 4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ?

? ? ?? , ? 上的图象大致为 ? 2 2?

6.在 ?ABC 中, sin A ? “

3 ? ”是“ ?A ? ”的 2 3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,

AB ? 2, AD ? 1, ? A ? 60? , 点 M 在 AB 边 上 , 且
AM ?
A. ?

???? ??? ? ? 1 AB,则DM ? DB 等于 3
B.

3 2

3 2

C. ?1

D.1

2 8.设 p在 ? 0,5? 上随机地取值,则关于 x 的方程 x ? px ? 1 ? 0 有实数根的概率为

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

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?x ? 0 ? 9.已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k= ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A. ?16 B. ?6 C. ?

10.已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 ?ABC 的面积为 S,且

8 3

D.6

2 S ? ? a ? b ? ? c 2 , 则 tan C 等于
2

A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4
2 2

11.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 A. ?

4 3

B. ?

5 4

C. ?

3 5

D. ?

5 3

12.定义域为 ? a, b ? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x, y ? 是f ? x ? 图象上任意一 点,其中 x ? ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? R ? ,向量ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB ,若不等式 MN ? k 恒成 立,则称函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 则实数 k 的取值范围为

????

??? ?

??? ?

???? ?

1 , 在 ?1,? 上“k 阶线性近似” 2 x

? A. ? 0, ? ?

? B. ?1, ? ?

C. ? ? 2, ? ? ?

?3 ?2

? ?

D. ? ? 2, ? ? ?

?3 ?2

? ?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 ______.

x2 y 2 14.若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2, a b
线段 F1F2 被抛物线 y ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线
2

的离心率为______. 15.已知函数 f ? x ? 在实数集 R 上具有下列性质: ①直线 x ? 1 是函 数

f ? x ? 的 一 条 对 称 轴 ; ② f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ; ③ 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时 ,
2 1 2

? f ? x ? ? f ? x ?? ? ? x

? x1 ? ? 0, 则

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f ? 2012 ? 、 f ? 2013? 从大到小的顺序为_______.
16.在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为___________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x? ? x ? cos 2 ? x ? cos 周期为

?
2

1 ?? ? 0 ? ,其最小正 2

.

(I)求 f ? x ? 的表达式; (II) 将函数 f ? x ? 的图象向右平移

?
8

个单位, 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵

坐标不变) ,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 ,在区间 ? 0, 且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生, 将他们的期中考试数 学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: 得到如图所示的频率分布直方图. ? 40,50 ? , ?50, 60 ? , ???, ?90,100? , (I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分 的人数; (II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名 学生中成立“二帮一”小组,即从成绩 ?90,100? 中选两位同学, 共同帮助 ? 40,50 ? 中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分, 乙 同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 19.(本小题满分 12 分)

? ?? 上有 ? 2? ?

? 在如图所示的几何体中, ABC 是边长为 2 的正三角形, ? 1, AE ? 平面 ABC, 平面 BCD ? AE
平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD. (I)AE//平面 BCD; (II)平面 BDE ? 平面 CDE. 20.(本小题满分 12 分)

等比数列 ?cn ? 满足 cn ?1 ? cn ? 10 ? 4n ?1 n ? N * , 数列?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 an ? log 2 cn . ....

?

?

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第 19 题图

(I)求 an , S n ; (II)数列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,是否存在正整数 m, ? m ? 1? ,

使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 13 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ? 22.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为
2

? ?

1? 3?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围. x ?1

T) ,与抛物线交于不同的两点 P、Q 且 F1 P ? F2Q ? ?5 . (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程;

???? ???? ?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB 的 取值范围.

???? ?

???? ?

??? ???

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高三复习阶段性检测试题

文科数学参考答案及评分标准
一、 选择题 1-5 B A D B C 6-10 A D C B C 11-12 A C 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)

2,? 2 2

(14)

2 3 3

(15) f (2013) , f (2012) , f (2011) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x ) ?

(16)66

3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ?

1 2

3 cos 2? x ? 1 1 ? sin 2? x ? ? ? sin(2? x ? ) ?????3 分 2 2 2 6 ? 2? ? ? 由题意知 f (x) 的最小正周期 T ? , T ? ? ? 2 2? ? 2 所以 ? ? 2 ??????????????????????????5 分 ?
所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

? ?

?? ? 6?

??????????????????6 分

(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个

?
8

个单位后,得到 y ? sin( 4 x ?

?
3

) 的图象,再将所得图

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象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?

?
3

) 的图象.

?
3

)

??????????9 分

?
2

,所以 ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

? ?? g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2? ? ?? 3 3 或 ?k ? 1 ? ?k ? ?0, 2 ? 上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? ? ? 2 2
所以 ?

2? 3

3 3 或 k ? ?1 . ?k? 2 2

??????????12 分

(18)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.004 ? 0.010) ? 0.86 . ????2 分 由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数 学成绩不低于 60 分的人数为 1000 ? 0.86 ? 860 人. ???????????????????5 分 (Ⅱ)成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 50 ? 0.1 ? 5 人,??????????7 分 [40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC, 甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD, ABE , ACD, ACE, ADE ????????10 分 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ?

4 1 ? . ????12 分 20 5
E

(19)(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,由已知可得 DM ? 1 , DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC ????2 分 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM ????4 分 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD 所以 AE ∥平面 BCD . ????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1 , 所以四边形 DMAE 是平行四边形, 则有 DE ∥ AM . 因为 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD . ????8 分 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD 由已知 BD ? CD ,

D A C M B

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则 CD ? 平面 BDE ????????????????????10 分 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE . ????????????????????12 分 (也可利用勾股定理证明题中的垂直关系.) (20)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) c1 ? c 2 ? 10, c 2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 ????????2 分 得 c1 ? 2 c1 ? 4c1 ? 10 n ?1 2 n ?1 cn ? 2 ? 4 ? 2 所以 an ? log 2 2 2 n ?1 ? 2n ? 1 ????????4 分 ????????5 分 ????????6 分

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2 1 1? 1 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? ? ? ? 2 4n ? 1 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? Sn ?
于是 Tn ?

假设存在正整数 m ? m ? 1? ,使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列,则

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ?????8 分 2 ?? ? ? ? ? ??
2

6m ? m ? 1 , ? ? ? ? 3 12m ? 1 ? 2m ? 1 ? 整理得 4m 2 ? 7 m ? 2 ? 0 , 1 解得 m ? ? 或 m ? 2 4 ? 由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 , 因此,存在正整数 m ? 2 ,使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列
(21)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ?

????????10 分

????????12 分 ……………………1 分

1 ? ln x ,x?0 x

所以 f ? ? x ? ? ?

ln x ? 1 ? ln x ?? ? ?? 2 x ? x ?

……………………2 分

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. 因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ……………………4 分

? ?

1? ? ( m ? 0 )上存在极值, 3?

?0 ? m ? 1 2 ? 所以 ? 得 ? m ?1, 1 ?m ? 3 ? 1 3 ?
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即实数 m 的取值范围是 ? , . 1? (Ⅱ)由 f ? x ? ? 令 g ? x? ? 则 g? ? x ? ?

?2 ? ?3 ?

……………………6 分

? x ? 1??1 ? ln x ? t 得t ? x x ?1
x

……………………7 分

? x ? 1??1 ? ln x ?
x ? ln x . x2
则 h? ? x ? ? 1 ? ……………………9 分

令 h ? x ? ? x ? ln x

1 x ?1 = x x

+? 因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,
所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g ? ? x ? ? 0 ,

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, +? g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数 t 的取值范围是 ? ??, 2? . (22)(本小题满分 13 分)

……………………11 分

……………………13 分

解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q ( x0 ,? y0 ) 则 F1P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 由 F1P ? F2Q ? ?5 , 得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,①
2 2 2 2

???????2 分

又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,②
2

联立① 易得 x0 ? 2 、② (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为

????????4 分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1 1 则 2 ? 2 ?1 a b2 a 2 ? b2 ? 1

③ ④ ???????5 分

1 将④代入③,解得 b 2 ? 1 或 b 2 ? ? (舍去) 2 所以 a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的标准方程为 2
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????????6 分 ????????7 分

(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

x2 ? y 2 ? 1 中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 .??????8 分 2 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 2k 可得: y1 ? y2 ? ? 2 ⑤ k ?2 1 ⑥ ???????9 分 y1 y2 ? ? 2 k ?2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将直线 l 的方程代入 将⑤ 式平方除以⑥ 式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

1 4k 2 5 1 1 1 ?0 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 2 k ?2 2 ? 2 ?

2 ???????????????????????11 分 0 ? k2 ? 7 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,

4(k 2 ? 1) 2k ,所以 x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 2 , k ?2 k2 ? 2 ??? ??? 2 16(k 2 ? 1) 2 4k 2 2 2 ? 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2
又 y1 ? y2 ? ?

16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 ? 16 ? 2 ? 2 , 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2) 2 1 2 7 1 1 7 1 令t ? 2 ,因为 0 ? k 2 ? 所以 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , k ?2 7 16 k ? 2 2 16 2 ??? ??? 2 7 17 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] ,所以 f (t ) ? [4, ]. 16 2 32 ??? ??? 13 2 所以 | TA ? TB |? [2, ] .????????????????????13 分 8 ?
方法二: 1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1, 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2
????8 分

???

???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

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? y ? kx ? k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? k2 y1 ? y2 ? k 2 ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
可得: x1 ? x2 ? 将⑤ 式平方除以⑥ 式得:

????????9 分 ⑤ ⑥

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2
1

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ?4 7 故? ? ???????????????10 分 ? 0 ,解得 k 2 ? 2 2 1 ? 2k 2 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,
由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ? 又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2
2 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?

16(1 ? k 2 ) 2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 ) 2 (1 ? 2k 2 ) 2

4(1 ? 2k 2 ) 2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? 4? ? ???????11 分 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 ) 2 1 7 1 1 ? 1? 令t ? ,因为 k 2 ? 所以 0 ? ? ,即 t ? ? 0, ? , 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 8 ? 8? ??? ??? 2 5 17 ? 169 ? 所以 TA ? TB ? 2t 2 ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) 2 ? ? ? 4, ?. 2 2 ? 32 ? ? 13 2 ? 所以 TA ? TB ? ? 2, ????????12 分 ? ? 8 ? ? ??? ??? 13 2 综上所述: | TA ? TB |? [2, ????????13 分 ]. 8 ?

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