高中数学精品课件:23《指数函数的性质及图像》课件必修一-文档资料_图文

引例1:某种细胞分裂时,由1 个细胞分裂成2 个,2个分裂成4个,......,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样 的函数关系? 引例2:某种商品的价格从今年起每年降低 15﹪设原来的价格为1,x年后的价格为y,则y 与x的函数关系式?

引例1 细胞分裂过程 细胞个数 2=21 4=22 8=23

第一次
第二次 第三次 第 x次

表达式

y = 2 …………
……

x

2

x

细胞个数y关于分裂次数x的表达式为

引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设 原来的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的函数 关系式? 列表: x y 1 2 3 4 5 2 0.85 0.85 0.853 0.854 0.855 6 0.856

由上面的对应关系可知,函数关系是:

y ? 0.85

x

观察 y

?2

x



y ? 0.85

x

有什么共同点

一般地,函数 y ? a (a>0,且a≠1)叫做指数函数 (exponential function),其中 x是自变量,函数的定 义域是R。
x

探究1:为什么要规定a>0,且a
? ?

? 1呢?
a

0

1

①若a=0,则当x>0时,

=0; x 当x ? 0时, a 无意义. x ②若a<0,则对于x的某些数值,可使 a 无意义. 1 1 x 如 (?2) ,这时对于x= ,x= 4 2 ……等等,在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x? R,

a

x

a x=1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。

练习: 2 x 若 y ? (a ? 4) 是一个指数函数,求a的取值范围。 解:由指数函数的定义可知,底数应该是大于0 且不等于1的常量。所以,

a ? 4 ? 0, 且a ? 4 ? 1
2 2

探究2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式y= a 中,a 的系数是1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如
x

x

y ? a ?k
x

(a ? 0且a ? 1, k ? z)
(a ? 0, 且a ? 1)
x

有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如

y ? a? x

?1? 因为它可以化为 y ? ? a ? ? ?

1 1 ( ? 0, 且 ? 1) a a

练习2:
下列函数是否是指数函数:

(1) y ? 0.2x

(2) y ? ? x

(3) y ? (?2) x
(6) y

(4) y ? 3? x

(5) y ?1x

? 2?2

x

答案:(1) ,(2), (4)是指数函数。

若函数 a的值

y ? (a ? 3a ? 3)a
2

x

是指数函数,求

用描点法作函数y ? 2 和y ? 3 的图象.
x x

函 数 图 象 特 征

x
y=2x



-3
1/2 7

-2
1/4

-1
?
x

0
1

1
2

2
4

3
8




… 1/8

y=3x



1/9 1/3

1

3

9

27



yy ? 3

y ? 2x

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

函 数 图 象 特 征

1 x 1 x 用描点法作函数y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象. 2 3
x y=2-x … -3 … 8 -2 -1 4 2 0 1 1 2 3 … 1/ 1/4 1/8 … 2 1/ 1/2 … 1/9 3 7

1 x 3 y=3-x … 27 y ? 9 ( ) 1 x 3 y?( ) Y 2

1

Y=1
O X

问题一: 图象分别在哪几个象限?

1x 1 x y ? ( 3) 观察右边图象,回答下列问题: y?( ) 2

y=3X

Y

y = 2x

Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第____象限。

Y=1

问题二: 图象的上升、下降与底数a有联系吗?

O

X

a > 1 时图象上升;当底数____时图象下降 0< a<1 答:当底数__ .
问题三: 图象中有哪些特殊的点?

(0,1) 答:四个图象都经过点____.

观察右边图象,回答下列问题: 1 x y ? ( 1 ) x y=3X y?( ) 3 2 问题四: 1x Y y = 2x 指数函数 y ? ( 2 ) 图像是否具有 对称性? 答: 不关于Y轴对称不关于 Y=1 原点中心对称 X O 问题五: 1x x y ? 3 y ? ( ) 图象有 函数 与 3 什么关系 ? 当底数a (a ? 0且a ? 1) 答: 关于Y轴对称。
取任意值时,指数 函数图象是什么样?

? 当底数a>1时,底数越大,图象在第

一象限越靠近y轴,递增速度越快。 ? 当0<a <1时,底数越小,图象在第 二象限越靠近y轴,递减速度越快。
1 x 函数y ? a 与函数y ? ( ) 的图象关于y轴对称 a
x

指数函数的图象和性质
a>1
y

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1 x 0 y (0,1) x

图 象
a>1 图 象 特

y=1 0

y=ax (a>1)

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?). 2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.





征 不关于Y轴对称不关于原点中心对称

非奇非偶函数

应用示例: 例1、求下列函数的定义域:


y?2

x 2 ?1
3? x

?1? ② y ?? ? ?3?
解: ① ②

x?R

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3

例2、已知指数函数f(x)=ax (a>0,且a≠1)的图 象经过点(3,π ),求f(0)、f(1)、f(-3)的值.

例3、比较下列各题中两个值的大小: (1) 1.72.5,1.73;

(2) 0.8-0.1,0.8-0.2;
(3) 1.70.3,0.93.1.
1 3 1 2

(4) a 和a(a ? 1, a ? 0)

(4)当a

? 1时,y ? a x是R上的增函数, ?a ? a
x

1 3

1 2
1 2

当0 ? a ? 1时,y ? a 是R上的减函数, a ?a
小结比较指数大小的方法:

1 3

①、构造函数法:要点是利用函数的单调性, 数的特征是同底不同指(包括可以化为同底 的),若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数 的特征是不同底不同指。

反思:
你能说出确定一个指数函数 需要什么条件?

例3 x 0.5 ( 1 )已知3 ? 3 , 求实数x的取值范围
x

(2)已知0.2 ? 25 , 求实数x的取值范围

练习

1 设y1=a3x+1,y2=a-2x,其中a>0且a?1, 确定x为何值时,有 (1)y1=y2 (2)y1>y2
?1? 2 求函数y ? ? ? ?2?
x2 ?2x ?1

的单调递增区间。

x 小结: 1.指数函数的定义: 函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质: a>1 0<a<1
6

图 象
-4 -2

6

5

5

4

4

3
3

2
2

1

1

1
-4 -2

1

0
-1

0
-1

2

4

6

2

4

6

1.定义域:R 性 2.值域:(0,+∞) 质 3.过点(0,1),即x=0时,y=1
4.在 R上是增函数 在R上是减函数

方法:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的 方法,记忆指数函数性质时可以联想指数函数的图像。


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