四川省乐山第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

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2015—2016 第一学期高一年级期中考试

数学试题
命题人:许国行 本试卷满分 160 分, 时间 120 分钟. 一、填空题.(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上 .) ......... 1,集合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?4,2,3? ,则 A ? B ? 2, 若函数 f ?x ? ? x ? 1, x ? ?? 1,1?,则该函数的值域为
2 3, 化简: (3 ? ? ) ?

审核人:谢春韶

▲ ▲

. .





4, 函数 f ? x ? ? 5, 把根式
3

1 ? x ? 1 的定义域为 x?4
写成分数指数幂的形式为
2 ?2

▲ ▲


. .

x2

6, 已知 a ? a ?1 ? 2, 则 a ? a 7, 已知函数 f ?x ? ? ?

?



?1 ? x 2 , x ? 0 ,则 f ?? 3? ? ? f ?x ? 2?, x ? 0
2





8, 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 5 的图像关于 y 轴对称, 则实数 a 的值是





9, 对于集合 A, B ,我们把集合 {x | x ? A, 且x ? B} 叫做集合 A 与 B 的差集,记作 A ? B . 若集 合 A, B 都 是 有 限 集 , 设 集 合 A ? B 中 元 素 的 个 数 为 f ( A ? B) , 则 对 于 集 合

A?? 1,2,4?, B ? ? 1,3?, ,那么
有 f ( A ? B) ?





10, 设 集 合 A = x 1 ? x ? 2 , B = x x ? m , 若 A ? B ? ? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是

?

?

?

?




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11, 设 a ? 2 , b ? log2

2 3

2 ,则 a 3



b. (填“ ?, 或 ?, 或 ? ” )

12, 已知函数 y ? x ? 1 在区间 ?a,??? 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 13, 已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? a , 则 f ?1? ?








14, 函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 在区间 ?0, k ? 上的最小值为 1,最大值为 5,则实数 k 的取值范围 是





二、解答题.(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤) 15,(本题满分 14 分) 已知全集 U ? R , 集合 A ? x ? 2 ? x ? 4 , B ? x x ? ?1或x ? 5 . (1) 求 A ? B ; (2) A ? ?CU B ? .

?

?

?

?

16,(本题满分 14 分) (1)化简求值:

5 0 ? 27 ? 2

1 3

?

2 3

y ? 1 ?3 ? ? ? ; (2)已知 2 x ? 3,8 3 ? 9 ,求 ? 16 ?

1

2 x?2 y .

17, (本题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? ? 出 函数 f ?x ? 的单调区间;

? ? x ?1 2 ?? x ? 1

( x ? 0) . ( x ? 0)

(1) 画出函数 f ?x ? 的图像, 并写

(2 ) 若 f (1 ? a) ? f (2a) ? 0, 求实数 a 的取值范围.

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18,(本题满分 16 分)

“一带一路”是 “丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的

简 称 , 在 我 国 的 “ 一 带 一 路 ” 规 划 中 , 某 省 在 四 个 城 市 A, B, C , D 之 间 按

A ? B ? C ? D ? A 的布局加快高铁建设,且四个城市 A, B, C , D 的高铁站点依次相连,
km ) 近似一个长宽不等 的矩形, 该矩形的面积为 3.6 ? 10 km ,设高铁道路总长为 l (单位: , ....
5 2

矩形的一短边 长为 x (单位: km ). .. (1) 试将 l 表示为关于 x 的函数 l ? x ? ,并指出该函数的定义域; (2) 若在铺设高铁道路时,出于利润、成本、维修及损耗的考虑,某建筑公司现估算铺设每公 里高铁道路所需费用为

1 百亿元 (40 ? x ? 50 ), 而某监理单位考虑质量与后期安全问 x

题,要求提高铺设的标准,且总费用不得低于 350 百亿元,请你帮着分析该建筑公司能否 完成任务?

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19,(本题满分 16 分) 已知函数 f ?x? ? kx 2 , g ?x? ? (k ? 1) x ? 1 . (1)若函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上是增函数, g ?x ? 在 R 上是减函数,求实数 k 的取值 范围; (2)若 k ? ?1 ,设函数 F ?x ? ? f ?x? ? 2 g ?x ? ? t ,当 x ? ?0,3? 时,函数 F ?x ? 的最大值 为 9,求函数 F ?x ? 的值域; (3)设函数 H ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ,且 H ? x ? 在区间 ?? ?,2? 上为增函数,求实数 k 的取 值范围.

20,(本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ?

x 2 ? 2x ? a . x

(1)是否存在实数 a ,使得函数 f ?x ? 为奇函数,若存在,请求出 a ,若不存在,请说明理由; (2)若 a ? 0 时,完成下面的问题:① 判断函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上的单调性,并加以证 明; 成立,求实数 ? 的取值范围. ② 对任意的 x ? ?1,??? ,不等式

x?3 x ?1

??都

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2015—2016 第一学期高一年级期中考试
装 订 线 内 不 要 答 题 装 订 线 内 不 要 答 题 ????????装?????????????????????订??????????????????线?????

数学答卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1._______________ 2.____________ 3.______________ 4.__________ 5.___________ 6.______________ 7.______________ _; ____; __; _ __ __; __ __; ___; ___; 8._______________________; 9._______________________; 10.______________________; 11.______________________; 12.______________________; 13.______________________; 14.______________________;

班级

姓名

考试号

二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写 ....... 出文字说明、证明过程或演算步骤) 15 题(本题 14 分) :

学校

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16 题(本题 14 分) :

17 题(本题 14 分) :

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18 题(本题 16 分) :

19 题(本题 16 分) :

20 题(本题 16 分) :

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2015—2016 第一学期高一年级期中考试
参考答案及评分标准
一、填空题. 1,?2,3? ;2,?0,2?;3,? ? 3 ; 4, x x ? ?1且x ? 4 ;5, x

?

?

2 3

;6, 2 ; 7,0 ;

1 8,

; 9, 2

; 10,m ? 1 ; 11, ?

; 12,a ? ?1 ; 13,

1 ; 14,2 ? k ? 4 ; 2

二、解答题. 15, 解: (1)借助数轴可得: A ? B ? ?? 2,?1? ; -------------------------7 分

(2) 借助数轴可得: A ? (CU B) ? ?? 2,5? . ---------------------------14 分 16, 解: (1)

15 ;--------------------------------------------------------7 分 4
y y

(2)因为 8 3 ? (2 3 ) 3 ? 2 y ? 9 ,---------------------------------------9 分 所以 2 2 y ? (2 y ) 2 ? 81, 即2
x?2 y

---------------------------------------11 分 ---------------------------------------14 分

? 2 x ? 22 y ?

1 27

17, 解: (1)图像略,-----------------------------------------------------4 分 其减区间为 ?? ?,???, 无增区间;-------------------------------------7 分 (2)由(1)可知函数 f ?x ? 在 R 内为减函数,----------------------------9 分 又由 f (1 ? a) ? f (2a) ? 0 可得 f (1 ? a) ? f (2a) 即 1 ? a ? 2a ,所以 a ? 1 .-----------------------------------------14 分 (使用分类讨论解答,若说理清晰,也应得分) 18, 解: (1)由题意知: l ?x ? ? 2(

3.6 ? 105 720000 ? x) ? ? 2 x ------------------5 分 x x

其 定 义 域 为 x 0 ? x ? 600 分 (2)设总费用为 y 百亿元,

?

?

-----------------------------------------7

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则 y ?l? 分

1 720000 1 720000 ?( ? 2 x) ? ? ? 2 ------------------------10 x x x x2

又因为 40 ? x ? 50 ,所以 1600? x 2 ? 2500 , 即 从而 分 即 350? ?290,452? ,从而可以完成任务 .--------------------------------14 分 19 ,解: ( 1 )由题意知: ? 分 (2) 当 k ? ?1 时, F ?x? ? ? x 2 ? 4x ? 2 ? t 轴 x ? 2 ? ?0,3?, Fmax ?x? ? F ?2? ? ?4 ? 8 ? 2 ? t ? 9, 即 t ? 3 ,-------------------------------------------------------------------------------------7 分 又由图可知 Fmin ?x ? ? F ?0? ? 5, 从而值域为 ?5,9? ; --------------------------------9 分 (3) H ?x? ? kx 2 ? ?k ? 1?x ? 1 , 由图分析可得: ①当 k ? 0 , H ?x ? ? x ? 1 成立; ----------------------------------------------------12 分

1 1 1 ? 2 ? , 2500 x 1600

2 9 0? y ? 4 5 2 -----------------------------------------------13

? k ?0 , 即 0 ? k ? 1 ; -------------------------------4 ?k ? 1 ? 0

②当 k ? 0, 即 ?

? 1? k 1 ?? ?2 ,即 ? ? k ? 0 ; --------------------------------15 分 2k 3 ? ? k?0

③当 k.>0,不可能成立。 综上得 ?

1 ? k ? 0 . ------------------------------------------------------------------16 分 3

20, 解: (1)法一: 假设存在, 在定义域 x x ? 0 内任意的 x 都满足 f ?? x ? ? f ?x ? ? 0 ,

?

?

即 分

x 2 ? 2x ? a x 2 ? 2x ? a ? ? 0 , 解 得 x ? 0 ---------------------2 ?x x
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即不存在 a 使得 f ?x ? 为奇函数; ------------------------------------------------3 分

法二:

假设存在, 在定义域 x x ? 0 内任意的 x ,

?

?

f ?? x ? ? f ?x ? ?


x 2 ? 2x ? a x 2 ? 2x ? a ? ? ?4 ? 0 ,---------------2 ?x x

即 f ?? x ? ? ? f ?x ? , 即不存在 a 使得 f ?x ? 为奇函数; -----------------------3 分

?2?

任取 x ? ?0,??? ,设 0 ? x1 ? x2 , f ? x ? ? x ?

a ?2, x

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ?

a a ? 2 ? x2 ? ?2 x1 x2
? ? ? ?

?1 1 ? x1 ? x 2 ? a? ?x ? x 2 ? 1 x ? x1 ? x1 ? x 2 ? a ? 2 x1 x 2

? ?x1 ? x2 ??

x1 x2 ? a -------------------------------------------5 分 x1 x2

又 0 ? x1 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , ① 当 0 ? x1 ? x2 ?

a , x1 x2 ? a ,

即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0, 所以 f ?x ? 在 0, a 上为减函数; ----------------------------------------7 分 ② 当 a ? x1 ? x2 , x1 x2 ? a , 即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0, 所以 f ?x ? 在

?

?

? ?

a ,?? 上为增函数; ---------------------------------------9 分

?

从而 f ?x ? 在 0, a 上为减函数 , 在 分

?

?

a ,?? 上为增函数 ;-----------------10

?

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?3? 设 g ?x ? ?

x?3 x ?1

,

令t ?

x ? 1, ?t ? 0? ,即 x ? t 2 ? 1 ,

t2 ? 4 4 ? t ? , ---------------------------------------------12 分 所以 g ?x ? ? h?t ? ? t t
由(2)可知 h?t ? 在 ?0,2? 上为减函数, 在 ?2,??? 上为增函数; 即 g min ?x? ? h?2? ? 4 , --------------------------------------------------------------14 分 又对任意的 x ? ?1,??? ,不等式 g ?x ? ? 即 ? ? g min ?x ? ? 4 .

x?3 x ?1

? ? 都成立,

----------------------------------------------------------16 分

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