专题3-1 不等关系与不等式讲-2017-2018学年高二数学同步课堂必修五 含解析 精品

3.1 不等关系与不等式 ☆学习目标☆ 1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系,掌握用不等式(组)表示实际问题中的不等 关系的方法。 2.掌握不等式的有关性质。 3.会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小;会利用不等式的性质证明简单的不等 式。 ☆学习重点☆ 1.熟练掌握不等式的性质,并会正确理解和应用; 2.对含参数的不等式,要把握分类讨论的标准和技巧. ☆学习难点☆ 1 .合理正确地应用不等式性质比较大小、求代数式的范围。 2.对含参数的不等式,要把握分类讨论的标准和技巧. ☆基础回扣☆ 1.比较两个实数大小的法则,若 a,b∈R,则(1)a>b?a-b>0;(2)a=b?a-b=0;(3)a <b?a-b<0. 2.不等式的基本性质 (1)a>b?b<a;(2)a>b,b>c? a>c;(3)a>b?a+c>b+c; (4)a>b,c>0? ac>bc;a>b,c<0? ac<bc;(5)a>b,c>d? a+c>b+d; (6)a>b>0,c>d>0? ac>bd;(7)a>b>0? a ? b (n∈N,且 n≥2); n n (8)a>b>0? n a ? n b (n∈N,且 n≥2). 3.不等式的一些常用性质 1 1 a b (1)a>b,ab>0? < . (2)a>b>0,0<c<d? > . a b c d 1 1 1 (3)0<a<x<b,或 a<x<b<0? < < . b x a 【教学过程】 在日常生活中,我们经常看到下列标志: 问题 1:你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗? 提示:①最低限速:限制行驶时速 v 不得低于 50 公里; ②限制质量:装载总质量 G 不得超过 10 t; ③限制高度:装载高度 h 不得超过 3.5 米; ④限制宽度:装载宽度 a 不得超过 3 米; ⑤时间范围:t∈[7.5,10]. 问题 2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示? 提示:①v≥50;②G≤10;③h≤3.5;④a≤3;⑤7.5≤t≤10. 【自主学习】 不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表 示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. [化解疑难] 1.不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式 则是表示两者的不等关系,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示, 不等关系是可以通过不等式来体现的。 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 符号语言 大于,高于,超过 > 小于,低于,少于 < 大于等于,至少, 小于等于,至多, 不低于 ≥ 不多于,不超过 ≤ [提出问题] 实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一个实数,且右边的点表示的实数 总比左边的点表示的实数大.学— 问题 1:怎样判断两个实数 a、b 的大小? 提示:若 a-b 是正数,则 a>b;若 a-b 是负数,则 a<b;若 a-b 是零,则 a=b. 问题 2:你能否由问题 1 得出两个实数比较大小的方法? 提示:能.通过两个实数作差,判断差的正负比较大小. 比较两个实数 a、b 大小的依据 文字语言 如果 a>b,那么 a-b 是正数; 如果 a<b,那么 a-b 是负数; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0, 反之亦然 符号表示 a>b?a-b>0 a<b?a-b<0 a=b?a-b=0 [化解疑难] 1.上面的“?”表示“等价于”,即可以互相推出. 2.“?”右边的式子反映了实数的运算性质,左边的式子反映的是实数的大小顺序,二 者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 知识点三 不等式的基本性质 [提出问题] 问题 1:若 a>b,b>c,则 a>c,对吗?为什么? 提示:正确.∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0. ∴(a-b)+(b-c)>0.即 a-c>0.∴a>c. 问题 2:若 a>b,则 a+c>b+c,对吗?为什么? 提示:正确.∵a>b,∴a-b>0,∴a+c-b-c>0 即 a+c>b+c. 问题 3:若 a>b,则 ac>bc,对吗?试举例说明. 提示:不一定正确,若 a=2,b=1,c=2 正确.c=-2 时不正确. 不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c? a>c; (3)可加性:a>b? a+c>b+c. 推论(同向可加性): a>b? ? ? c>d? ?? a+c>b+d; (4)可乘性: ?? ac>bc; ? c>0? a>b? ? a>b? ? ? c<0? ?? ac<bc; 推论(同向同正可乘性): n ? a>b>0? ? c>d>0? n ?? ac>bd; * (5)正数乘方性:a>b>0? a >b (n∈N ,n≥1); (6)正数开方性:a>b>0? [化解疑难] n n a> b(n∈N*,n≥2). 1.在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件. 2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性. [例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次, 乙型卡车每辆每天可往返 8 次,写出满足上述所有不等关系的不等式. [ 解 ] 设 每 天 派 出 甲 型 卡 车 x 辆 , 乙 型 卡 车 y 辆 . 由 题 意 得 ? ?10×6x+6×8y≥360, 0≤x≤4, ?0≤ y≤7, ? ?x∈N,y∈N, x+y≤9, x+y≤9, ? ?5x+4y≥30, 即? 0≤x≤4,0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N. [例 2] 比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x +3 与

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