2010年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理)范文

绝密★启用前

试卷类型: A

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的 学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的 贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂 的,答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉 原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、 错涂、多涂的答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。

2010.03

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.设 a ? R ,若 (a ? i) i ( i 为虚数单位)为正实数,则 a ?
2

A.2

B.1

C.0

D. ?1

2.设集合 M ? {x | x ? 1 ? 2} , N ? {x | x( x ? 3) ? 0} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的 A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

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3.如图 1,一个简单组合体的正视图和侧视图都是 由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形, 俯视图是一个半径为 3 的圆(包括圆心) .则该 组合体的表面积(各个面的面积的和)等于 A. 15 ? C. 21? B. 18 ? D. 24 ?
正视图、侧视图
俯视图

2 3
?

图1

4.曲线 y ? sin x , y ? cos x 与直线 x ? 0 , x ? A. C.

? 所围成的平面区域的面积为 2

? ?

? 2 0

(sin x ? cos x )dx (cos x ? sin x )dx

B. 2 D. 2

? ?

? 4 0 ? 4 0

(sin x ? cos x )dx (cos x ? sin x )dx

? 2 0

5.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? x ? ln x , h( x) ? x ?

x ? 1 的零点分别为 x1 , x2 ,

x3 ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系是
A. x1 ? x2 ? x3 B. x2 ? x1 ? x3 C. x1 ? x3 ? x2 D. x3 ? x2 ? x1

6.若曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a 2 ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取 值范围为 A. (?? , ? 2) B. (?? , ? 1) C. (1 , ? ?) D. ( 2 , ? ? )

7.已知三个正态分布密度函数 ?i ( x ) ? 图 2 所示,则 A. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 B. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 C. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 D. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3

? 1 e 2 ?? i

( x ??i )2 2 ?i2

( x ? R ,i ? 1 , 2 , 3 )的图象如

y

y ? ?1 ( x) y ? ? 2 ( x) y ? ? 3 ( x)

O
图2

x

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8.设 a1 , a2 , ? , an 是 1 , 2 , ? , n 的一个排列,把排在 a i 的左 边 且比 a i 小 的数的个数 . . . 称为 a i 的顺序数( i ? 1 , 2 , ? , n ) .如:在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数 为 1,3 的顺序数为 0.则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数 为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为 A.48 B.96 C.144 D.192

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 81,则 a2 ? a5 ? a8 ? 10.已知 (1 ? 2x) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? 4a 4 = 11.若双曲线 . . .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则 m ? m 3

12.若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 | ? a ? .

4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a
开始
输入m , n

13.图 3 中的程序框图所描述的算法称为欧几里得 辗转相除法.若输入 m ? 2010 , n ? 1541 , 则输出 m ? . (注:框图中的的赋值

求m除以n的余数r

符号“=”也可以写成“←”或“:=” )

m?n
n?r
r ?0?
是 否

输出m

结束
图3
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(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2t ? 1 , (参数 t ? R ) , ? y ? 4 ? 2t .

以直角坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系.在此极坐标系中,若 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则圆心 C 到直线 l 的距离为 15. (几何证明选讲选做题) 如图 4, 已知 PA 是⊙ O 的切线,A 是切点, 直线 PO 交⊙ O 于 B 、C 两点,D 是 OC 的中点, 连结 AD 并延长交⊙ O 于点 E . 若 PA ? 2 3 ,?APB ? 30? , 则 AE = . .

A D

P

B

O

?

C
E

图4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ωx ? 周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ?

? ? ) sin( ωx ? ) (其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正 6 3

BC 1 ,求 . 2 AB

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17. (本小题满分 12 分)

?BAC ? ?ACD ? 90? , 如图 5, 已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC , ?EAC ? 60? , AB ? AC ? AE .
(1)在直线 BC 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 EAB ?请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 ? 的余弦值.

E

D

A

C

B
图5

18. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) 是二次函数, f ?( x) 是它的导函数,且对任意的 x ? R ,

f ?( x) ? f ( x ? 1) ? x 2
恒成立. (1)求 f ( x) 的解析表达式; (2)设 t ? 0 ,曲线 C : y ? f ( x) 在点 P(t , f (t )) 处的切线为 l , l 与坐标轴围成的 三角形面积为 S (t ) .求 S (t ) 的最小值.

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19. (本小题满分 14 分) 某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目 供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30% ,也可 能亏损 15% ,且这两种情况发生的概率分别为

7 2 和 ; 9 9 3 1 1 、 和 . 5 3 15

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50% ,可能损 失 30% ,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为

(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由; (2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本 金继续用作投资) ,问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番? (参考数据: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 )

20. (本小题满分 14 分)

B 分别是直线 y ? 已知 A 、
P 是 AB 的中点.

3 3 线段 AB 的长为 2 3 , x和 y ? ? x 上的两个动点, 3 3

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(1 , 0) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与轨迹 C 交于 M 、N 两点,与 y 轴交 于点 R .若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值.

21. (本小题满分 14 分) 在 单 调 递 增 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成 等 差 数 列 ,

a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?.
(1)分别计算 a3 , a5 和 a4 , a6 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式(将 an 用 n 表示) ; (3)设数列 {

4n 1 , n ? N* . } 的前 n 项和为 S n ,证明: S n ? n?2 an

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2010 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A 6 D 7 D 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
9 8 . . 11. 6 . 27 12. . 10 . . -

(?? , 0) ? {2}

13. 67 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14.

2



15.

10 7 7



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ωx ? 周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ? 解: (1)∵ f ( x ) ? 2 sin(ωx ?

? ? ) sin( ωx ? ) (其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正 6 3

BC 1 ,求 . 2 AB

? ? ? ? ?? ? ) sin(ωx ? ) ? 2 sin(ωx ? ) cos?(ωx ? ) ? ? 6 3 6 3 2? ?
………………

? ? ? ? 2 sin( ωx ? ) cos( ωx ? ) ? sin( 2ωx ? ) . 6 6 3
……………4 分 而 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 ? ,

? 为正常数,∴

2? ?? ,解之,得 2ω

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? ? 1. ………………………6 分
(2)由(1)得 f ( x ) ? sin( 2 x ?

? ). 3

? ? 5? ? 2x ? ? . 3 3 3 1 ? 1 ? ? ? 5? 令 f ( x) ? ,得 sin( 2 x ? ) ? ,∴ 2 x ? ? 或 2 x ? ? , 3 2 3 6 3 6 2 ? 7? 解之,得 x ? 或 x ? . 12 4 1 由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A ? B 且 f ( A) ? f ( B ) ? , 2 ? 7? A? B? ∴ , 4 12 ? ∴C ? ? ? A ? B ? . …………………………10 分 6
若 x 是三角形的内角,则 0 ? x ? ? ,∴ ? 又 由 正 弦 定 理 ,





? 2 BC sin A 4 ? 2 ? 2. ? ? ? 1 AB sin C sin 6 2 sin
弦定理等基础知识,以及运算求解能力. 17. (本小题满分 12 分)

…………………………12 分

说明:本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正

E

D

?BAC ? ?ACD ? 90? , 如图 5, 已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC , ?EAC ? 60? , AB ? AC ? AE .
(1)在直线 BC 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 EAB ?请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 ? 的余弦值.

A
解: (1)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P . ……1 分 证明如下: 取 AB 的中点 F 连结 DP、PF、EF ,则

C

B
图5

E

D

1 FP // AC , FP ? AC , 2

…………………2 分

取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC ,

M A
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C

F

P

∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60? , ∴△ EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . ∴四边形 EMCD 为矩形, ∴ ED ? MC ?

1 AC .又∵ ED // AC ,………3 分 2
E D

∴ ED // FP 且 ED ? FP , 四边形 EFPD 是平行四边形.……………………4 分 ∴ DP // EF , 而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB , ∴ DP // 平面 EAB . ……………………6 分

(2) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG M , ∵ ED // AC ,∴ ED // l ,

A

C

P F l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱.……8 分 B ∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC ,
又∵ l ? 平面 ABC ,∴ l ? 平面 DGC ,∴ l ? DG , ∴ ?DGC 是所求二面角的平面角.………………10 分 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? ∴ GD ? GC2 ? CD2 ? 7a , ∴ cos? ? cos?DGC ? ……………12 分 (法 2)∵ ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC ,

G

3a , GC ? 2a ,

GC 2 7 . ? GD 7

…………

∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 z 轴在平面 EACD 内(如图) . 设 AB ? AC ? AE ? 2a , 由 已 知 , 得 B( 2a , 0 , 0) , E (0 , a ,

3a) ,

D(0 , 2a , 3a) .


EB ? (2a , ? a , ? 3a)

z

ED ? (0 , a , 0) ,

E



D

………………………8 分

设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,

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M A

C

y

则 n ? EB 且 n ? ED , ∴?

?n ? EB ? 0 ,

?n ? ED ? 0 . ?2ax ? ay ? 3az ? 0 , ∴? ?ay ? 0 .
解之得 ?

? ?x ?

3 z, 2 ? ?y ? 0 .

取 z ? 2 ,得平面 EBD 的一个法向量为

n ? ( 3 , 0 , 2) .
…………10 分 又∵平面 ABC 的一个法向量为 n? ? (0 , 0 , 1) .

………………

cos ? ? cos ? n , n? ? ?
………12 分

3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 ( 3 ) 2 ? 0 2 ? 2 2 ? 0 2 ? 0 2 ? 12

?

2 7 .……………… 7

说明:本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知 识,以及空间想象能力和逻辑推理能力.

18. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) 是二次函数, f ?( x) 是它的导函数,且对任意的 x ? R ,

f ?( x) ? f ( x ? 1) ? x 2
恒成立. (1)求 f ( x) 的解析表达式; (2)设 t ? 0 ,曲线 C : y ? f ( x) 在点 P(t , f (t )) 处的切线为 l , l 与坐标轴围成的 三角形面积为 S (t ) .求 S (t ) 的最小值. 解 : ( Ⅰ ) 设

f ( x) ? ax2 ? bx ? c
………………2 分







a?0

) ,



f ' ( x) ? 2ax ? b ,
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f ( x ? 1) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ? ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c .
由已知,得 2ax ? b ? (a ? 1) x2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c , ∴

?a ? 1 ? 0 ? ?2 a ? b ? 2 a ?a ? b ? c ? b ?











a ? ?1



b?0



c ?1



∴ f ( x) ? ? x 2 ? 1 .

………………5 分

(2)由(1)得, P(t , 1 ? t 2 ) ,切线 l 的斜率 k ? f ' (t ) ? ?2t , ∴ 切 线

l









y ? (1 ? t 2 ) ? ?2t ( x ? t )





y ? ?2tx ? t 2 ? 1 .
2

………………7 分

从而 l 与 x 轴的交点为 A( ∴

t ? 0) .
∴ S ' (t ) ?
2

t ?1 , 0) , l 与 y 轴的交点为 B(0 , t 2 ? 1) , 2t (t 2 ? 1) 2 S (t ) ? ( 其 4t
………………9 分



(t ? 1)( 3t ? 1)( 3t ? 1) . 4t 2



……………11 分 当0 ? t ? 当 数. ∴ [ S (t )]min ? S ?

3 时, S ' (t ) ? 0 , S (t ) 是减函数; 3 3 S ' (t ) ? 0 t? 时 , , 3
………………13 分

S (t )







? 3? 4 3 ? ? 3 ?? 9 . ? ?



……………14 分 说明:本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识,以及运算求解能力.

19. (本小题满分 14 分) 某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目 供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30% ,也可 能亏损 15% ,且

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试卷
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这两种情况发生的概率分别为

7 2 和 ; 9 9 3 1 1 、 和 . 5 3 15

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50% ,可能损 失 30% ,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为

(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由; (2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本 金继续用作投资) ,问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番? (参考数据: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ) 解: (1)若按“项目一”投资,设获利 ?1 万元,则 ?1 的分布列为

?1
P

300

?150

7 9

2 9
( 万

7 2 ? E?1 ? 300 ? ? (?150) ? ? 200 9 9
元). ………………………2 分

若按“项目二”投资,设获利 ?2 万元,则 ?2 的分布列为:

?2
P

500

?300

0

3 5

1 3

1 15
( 万

3 1 1 ? E? 2 ? 500 ? ? (?300) ? ? 0 ? ? 200 5 3 15
元). 又 ………………………4 分

7 2 D?1 ? (300 ? 200) 2 ? ? (?150 ? 200) 2 ? ? 35000 , 9 9
……5 分

…………………

3 1 1 D? 2 ? (500 ? 200)2 ? ? (?300 ? 200)2 ? ? (0 ? 200)2 ? ? 140000 ,………… 5 3 15
……………6 分 所以 E?1 ? E?2 , D?1 ? D?2 , 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综 资. 上 所 述 , 建 议 该 投 资 公 司 选 择 项 目 一 投

………………………8 分

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( 2 ) 假 设 n 年 后 总 资 产 可 以 翻 一 番 , 依 题 意 : 1000(1 ?
n 1.2 ? 2 ,………10 分

200 n ) ? 2000 , 即 1000

两边取对数得: n ? 所 以 大 约 番. 4

lg 2 0.3010 ? ? 3.8053 . 2lg 2 ? lg 3 ? 1 2 ? 0.3010 ? 0.4771 ? 1
年 后 , 即 在 2013 年 底 总 资 产 可 以 翻 一

………………………13 分

答 : 建 议 该 投 资 公 司 选 择 项 目 一 投 资 ; 大 约 在 2013 年 底 , 总 资 产 可 以 翻 一 番.…………………14 分 说明:本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识,以及运用这些知 识解决实际问题的能力. 20. (本小题满分 14 分)

B 分别是直线 y ? 已知 A 、
P 是 AB 的中点.

3 3 线段 AB 的长为 2 3 , x和 y ? ? x 上的两个动点, 3 3

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(1 , 0) 任意作直线 l (与 x 轴不垂直) ,设 l 与(1)中轨迹 C 交于 M 、N 两点,与 y 轴交于 R 点.若 RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值. 解: (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) . P AB ∵ 是 线 段









x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 ∴? y ? ? y ? 1 y2 . ? ? 2
∵ A、B 分别是直线 y ?

…………………………2 分

3 3 3 3 x和y?? x 上的点,∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? x2 . 3 3 3 3
……………

? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ?
……………4 分 又 ∴ ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 12 .
2 2

AB ? 2 3
…………………………5 分



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12 y 2 ?

4 2 x ? 12 3









P







C









x2 ? y 2 ? 1. 9

…………………………6 分

( 2 ) 依 题 意 , 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 故 可 设 直 线 l 的 方 程 为

y ? k ( x ? 1) . ………………………7 分
设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 ? y2 ? 1 . ? ?9 y 消 去 并 整







( ? k


2

1

x ?9
2

, k) ?
2

x

9分 1………………………… ? k8 ? 9
2

9


x3 ? x 4 ?


18k 1 ? 9k 2

2



9k 2 ? 9 x3 x4 ? . 1 ? 9k 2

…………………………10 分

∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? .

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 ∴ , 同 ?? 1 ? x3 x4 . …………………………12 分 ?? 1 ? x4 ( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x ∴? ? ? ? . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4
即? 将 ①② 代 入 上 式 可





9 ??? ? ? . 4

…………………………14 分

说明:本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法,以及运算求解和推理 论证能力. 21. (本小题满分 14 分) 在 单 调 递 增 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成 等 差 数 列 ,

a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?.
lqySCFv.35,bwTA'412zkx()Q jg;Pdu:EM sectionfhDparm 。 场 现 了 走 步 徒 是 硬 器 仪 着 拎 手 扛 肩 工 测 个 两 上 带 即 立 他 , 里 这 到 想

a3 a5 a 4 a 6 和 的值; , , a1 a3 a2 a4 (2)求数列 {an } 的通项公式(将 an 用 n 表示) ; 4n 1 (3)设数列 { } 的前 n 项和为 S n ,证明: S n ? , n ? N* . n?2 an
(1)分别计算 解: (1)由已知,得 a3 ? 2a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 , a 4 ?
2 a3 32 9 ? ? , a2 2 2

a 5 ? 2a 4 ? a 3 ? 2 ?

9 ?3?6 2
…………………………2 分



a6 ?

2 a5 62 ? ?8. 9 a4 2

(2) (法 1)∵ a2n?1 , a2n , a2n ?1 成等差数列,∴ a 2n ?1 ? 2a 2 n ? a 2n ?1 , n ? 1 , 2 , 3 , ? ; ∵ a2n , a2n ?1 , a2n ?2 成等比数列,∴ a 2 n ? 2 ? 又
2 a2 n ?1 , n ?1, 2 , 3,?. a2n

a 3 3 a5 4 a 7 5 a 9 a 16 a 25 ,…… ? , ? , ? ,……; 4 ? , 6 ? , 8 ? a1 1 a3 2 a5 3 a2 4 a4 9 a 6 16
猜 想



n ? N* ,

a2 n?1 n ? 2 ? a 2 n?1 n



a2n?2 ? n ? 2 ? ?? ? a2n ? n ?1 ?
2

2



…………………………4 分 以下用数学归纳法证明之. ①当 n ? 1 时,

a 2?1?1 a3 3 1 ? 2 a 2?1? 2 a 4 9 ? 1 ? 2 ? , ? ? ? ? ? ?? ? ,猜想成立; a 2?1?1 a1 1 1 a 2?1 a2 4 ? 1 ? 1 ?
2

a k ? 2 a2k ?2 ? k ? 2 ? ②假设 n ? k (k ? 1) 时,猜想成立,即 2 k ?1 ? , ?? ? , a 2 k ?1 k a2k ? k ?1 ?
2 a2 k ?1 ? a2 k ?1 a2 k ?3 2a2 k ? 2 ? a2 k ?1 a2k 2a 那么 ? ? ? 2 k ?1 ? 1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2k a k?2 4 ? 2 k ?1 4? 2a 2 k ?1 a 2 k ?1 k ?1 ? ?1 ? ?1 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 a k?2 1? 1 ? 2 k ?1 k 2 a 2 k ?1 2( k ? 2) (k ? 1) ? 2 ? ?1 ? , k ?1 k ?1

2?

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试卷
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a2k ?4 a2k ?2

2 a2 k ?3 2 2 ? 2a 2 k ? 2 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ? 2 ? a 2 k ?3 ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? a2k ?2 ? a a 2k ?2 ? 2k ?2 ? ? ?

? 2a ? a2k a2k ?2 ? ? 2k ?2 ? a2k ?2 ?
2

? ? ? ?

2

? a2k ?2 ? ?2 ?1? a2k ? ? ?? ? a2k ?2 ? ? ? ? a2k ? ?

2

k?2 ? ? 2 ?1? ? 2? ? (k ? 1) ? 2 ? k ? 1 ? ?? ?? . k?2 (k ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? k ?1 ? ?
∴ n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由 ①② , 根 据 数 学 归 纳 法 原 理 , 对 任 意 的 n ? N* , 猜 想 成 立. ∴ …………………6 分

a2 n?1 ? a1 ?

a3 a5 a 7 a a ? ? ? ?? 2 n?3 ? 2 n?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ? 3

3 4 5 n n ? 1 n(n ? 1) ? 1? ? ? ? ?? ? ? , 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 a a a a a2n ? a2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ?? 2n a 2 a 4 a6 a2n?2

(n ? 1) 2 ? 3? ? 4? ?5? ? n ? 1? . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? ? n ?
…………………8 分

2

2

2

2

a2 n

a2 n?1 n ? 2 , n ? N* , ? a 2 n?1 n n(n ? 1) a2 n ?1 ? 则 由 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? a2n?1 ? a2n?1 (n ? 1) 2 2 2 ; ? ? ? 2 2 2 2 a2n?2 ? n ? 2 ? 如果用数学归纳法仅证明 ?? ? , n ? N* , a2n ? n ?1 ?
(注:如果用数学归纳法仅证明了 则 由





a2n ?

(n ? 1) 2 2





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(n ? 1) 2 (n ? 2) 2 (n ? 1)(n ? 2) , ? ? 2 2 2 1 ? (1 ? 1) n(n ? 1) 又 a1 ? 1 ? 也适合,∴ a 2 n ?1 ? . ) 2 2 n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1)(n ? 3) ∴当 n 为奇数时, a n ? ; 2 8 2 ?n ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 2) . 当 n 为偶数时, a n ? 2 8 即 数 列 的 通 项 公 {an } a2n?1 ? a2 n a2n? 2 ?
? (n ? 1)(n ? 3) , n为奇数 ? ? 8 . an ? ? 2 ( n ? 2 ) ? , n为偶数 ? ? 8
……………………9 分





(注:通项公式也可以写成 a n ? (法 2)令 bn ?

7 ? (?1) n 1 2 1 n ? n? ) 8 2 16

a 2 n ?1 , n ? N* ,则 a 2 n ?1

2 a2 k ?1 ? a2 k ?1 a2 k ?3 2a2 k ? 2 ? a2 k ?1 a2k 2a bn?1 ? ? ? ? 2 k ?1 ? 1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2k a 4 ? 2 k ?1 2a 2 k ?1 a 2 k ?1 4bn ? ?1 ? ?1 ? ? 1. a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 a 2 k ?1 1 ? bn 1? 2 a 2 k ?1 2(bn ? 1) (b ? 1) ? 2 1 1 1 ∴ bn ?1 ? 1 ? , . ? n ? ? 1 ? bn bn?1 ? 1 2(bn ? 1) 2 bn ? 1 1 1 1 1 1 从而 , n ? N* ,又 ? ? (常数) ? , bn?1 ? 1 bn ? 1 2 b1 ? 1 2 1 1 1 1 1 1 n } 是首项为 ,公差为 的等差数列,∴ ? ? (n ? 1) ? ? , 故{ 2 2 bn ? 1 bn ? 1 2 2 2 a2 n?1 n ? 2 n?2 bn ? 解 之 , 得 , 即 , ? n a 2 n?1 n n ? N* . …………………………6 分

2?

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a3 a5 a 7 a a ? ? ? ?? 2 n?3 ? 2 n?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ? 3 3 4 5 n n ? 1 n(n ? 1) ? 1? ? ? ? ?? ? ? , 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? a2n?1 ? a2n?1 (n ? 1) 2 2 2 从 而 a2 n ? .( 余 同 法 ? ? 2 2 2
∴ a2 n?1 ? a1 ? 1)……………………8 分

a2n?2 a ,或令 bn ? 2 n ,余下解法与法 2 类似) a2n a 2 n ?1 8 ? , n为奇数 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 3) (3) (法 1)由(2) ,得 . ?? an ? 8 , n为偶数 2 ? ? (n ? 2)
(注:本小题解法中,也可以令 bn ? 显 然 , …………………………

1 4 4 ?1 ; S1 ? ?1? ? a1 3 1? 2
10 分 当 n 为偶数时,

? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? 8? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ??? ? ? 4?6 6 6?8 8 n ? (n ? 2) (n ? 2) 2 ? ?2? 4 4 ?? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ?? ? ? 8?? ? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ? ?? ? n ? (n ? 2) n(n ? 2) ?? ?? 2 ? 4 2 ? 4 ? ? 4 ? 6 4 ? 6 ? ? 6 ? 8 6 ? 8 ?
?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 8?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n n ? 2 ?? ?? 2 4 ? ? 4 6 ? ? 6 8 ? 1 ? 4n ?1 ; ? 8? ? ?? ?2 n? 2? n? 2
……………12 分 当 n 为奇数( n ? 3 )时, S n ? S n ?1 ?

……………

1 4(n ? 1) 8 ? ? an (n ? 1) ? 2 (n ? 1)(n ? 3)

? n ?1 4n 2 n ? 4n 8 4n . ? 4? ? ? ? ? ? ? n?2 n ? 1 ( n ? 1 )( n ? 3 ) n ? 2 n ? 2 ( n ? 1 )( n ? 2 )( n ? 3 ) n ? 2 ? ? 4n Sn ? 综 上 所 述 , , n?2 n ? N* . …………………………14 分 ?

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8 ? , n为奇数 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 3) (解法 2)由(2) ,得 . ?? an ? 8 , n为偶数 2 ? ? (n ? 2) 4n 以下用数学归纳法证明 S n ? , n ? N* . n?2 1 4 4 ?1 ①当 n ? 1 时, S1 ? ; ?1? ? a1 3 1? 2 1 1 1 3 4? 2 当 n ? 2 时, S 2 ? .∴ n ? 1 , 2 时,不等式成立. ? ? 1? ? ? 2 ? a1 a 2 2 2 2?2
………………………………11 分

4k ②假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 S k ? , k?2 那么,当 k 为奇数时, 1 4k 8 S k ?1 ? S k ? ? ? a k ?1 k ? 2 (k ? 3) 2

? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 ? 4? ? ? ? ?? 2 k ?3 k ? 3? k ?3 (k ? 2)(k ? 3) 2 ? k ? 2 (k ? 3) 4(k ? 1) ; ? (k ? 1) ? 2 当 k 为偶数时, 1 4k 8 S k ?1 ? S k ? ? ? a k ?1 k ? 2 (k ? 2)(k ? 4) ?
? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 ? 4? ? ? ? ? ? k ?3 k ?3 (k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) ? k ? 2 (k ? 2)(k ? 4) k ? 3 ? 4(k ? 1) ? . (k ? 1) ? 2 ?
∴ n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,不等式 S n ? 分 说明:本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念,考查归纳推理、数学归 纳法、分类讨论、不等式的放缩、差分、累积等重要数学思想方法,并对学生的创 新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查.

4n 成立.……14 n?2

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试卷
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