高考数学基础题题库(立体几何101--200)


高考数学基础题题库
上犹中学数学教研组收集整理 立体几何(101—200)
101. ?A?B ?C ? 是△ABC 在平面 α 上的射影,那么 ?A?B ?C ? 和∠ABC 的大小关系是 (A) ?A?B ?C ? <∠ABC (C) ?A?B ?C ? ≥∠ABC 解析:D 一个直角,当有一条直角边平行于平面时,则射影角可以等于原角大小,但一般情况不等. 102. 已知: 如图, △ABC 中, ?ACB = 90?, CD?平面 ? , AD, BD 和平面 ? 所成的角分别为 30?和 45?, CD = h, 求: D 点到直线 AB 的距离。 解析:1、先找出点 D 到直线 AB 的距离, 即过 D 点作 DE?AB, 从图形以及条件可知, 若把 DE 放在△ ABD 中不易求解。 2、由于 CD?平面 ? , 把 DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求 DE 在平面 ? 内的射影长。 (B) ?A?B ?C ? >∠ABC (D) 不能确定 ( )

解: 连 AC, BC, 过 D 作 DE?AB, 连 CE, 则 DE 为 D 到直线 AB 的距离。 ∵CD? ? ∴AC, BC 分别是 AD, BD 在 ? 内的射影。 ∴?DAC, ?DBC 分别是 AD 和 BD 与平面 ? 所成的角 ∴?DAC = 30?, ?DBC = 45? 在 Rt△ACD 中, ∵CD = h, ?DAC = 30? ∴AC =
3h

在 Rt△BCD 中

∵CD = h, ?DBC = 45?

∴BC = h ∵CD? ? , DE?AB ∴CE?AB 在 Rt△ACB 中

AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2h

S?

1 1 AC ? BC ? AB·CE 2 2
AC ? BC ? AB 3h·h 3 ? h 2h 2

∴ CE ?

∴在 Rt△DCE 中,
DE ? DC 2 ? CE 2 ? h 2 ? ( 3 2 7 h) ? h 2 2

∴点 D 到直线 AB 的距离为

7 h。 2

103. 已知 a、b、c 是平面 α 内相交于一点 O 的三条直线,而直线 l 和 α 相交,并且和 a、b、c 三条直 线成等角. 求证:l⊥α 证法一:分别在 a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO = BO = CO.设 l 经过 O,在 l 上取一点 P,在△POA、 △POB、△POC 中, ∵ PO 公用,AO = BO = CO,∠POA =∠POB=∠POC, ∴ △POA≌△POB≌△POC ∴ PA = PB = PC.取 AB 中点 D.连结 OD、PD,则 OD⊥AB,PD⊥AB, ∵ PD ? OD ? D

∴ AB⊥平面 POD ∵ PO ? 平面 POD. ∴ PO⊥AB. 同理可证 PO⊥BC

∵ AB ? ? , BC ? ? , AB ? BC ? B ∴ PO⊥α,即 l⊥α 若 l 不经过 O 时,可经过 O 作 l ? ∥l.用上述方法证明 l ? ⊥α, ∴ l⊥α. 证法二:采用反证法 假设 l 不和 α 垂直,则 l 和 α 斜交于 O. 同证法一,得到 PA = PB = PC. 过 P 作 PO ? ? ? 于 O ? ,则 AO ? ? BO ? ? CO ? ,O 是△ABC 的外心.因为 O 也是△ABC 的外心,这样, △ABC 有两个外心,这是不可能的. ∴ 假设 l 不和 α 垂直是不成立的. ∴ l⊥α 若 l 不经过 O 点时,过 O 作 l ? ∥l,用上述同样的方法可证 l ? ⊥α, ∴ l⊥α 评述: (1)证明线面垂直时,一般都采用直接证法(如证法一) ,有时也采用反证法(如证法二)或同 一法. 104. P 是△ABC 所在平面外一点,O 是点 P 在平面 α 上的射影. (1)若 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (2)若点 P 到△ABC 的三边的距离相等,则 O 是△ABC_________心. (3)若 PA 、PB、PC 两两垂直,则 O 是△ABC_________心. (4)若△ABC 是直角三角形,且 PA = PB = PC 则 O 是△ABC 的____________心. (5)若△ABC 是等腰三角形,且 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (6)若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等,则 O 是△ABC 的________心;

解析: (1)外心.∵ PA=PB=PC,∴ OA=OB=OC,∴ O 是△ABC 的外心. (2)内心(或旁心) .作 OD⊥AB 于 D,OE⊥BC 于 E,OF⊥AC 于 F,连结 PD、PE、PF.∵ PO ⊥平面 ABC,∴ OD、OE、OF 分别为 PD、PE、PF 在平面 ABC 内的射影,由三垂线定理可知,PD ⊥AB, PE⊥BC, PF⊥AC. 由已知 PD=PE=PF, 得 OD=OE=OF, ∴ O 是△ABC 的内心. (如图答 9-23) (3)垂心. (4)外心. (5)外心 (6)外心.PA 与平面 ABC 所成的角为∠PAO,在△PAO、△PBO、△PCO 中,PO 是公共边,∠POA= ∠POB=∠POC=90°, ∠PAO=∠PBO=∠PCO, ∴ △PAO≌△PBO≌△PCO, ∴ OA=OB=OC, ∴ O 为△ABC 的外心.

(此外心又在等腰三角形的底边高线上) .

105. 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起来,使点 C 的新位置 C ? 在面 ABC 上的射影 E 恰在 AB 上. 求证: AC ? ? BC ? 分析: 欲证 AC ? ? BC ? , 只须证 BC ? 与 AC ? 所在平面 AC ?D 垂直; 而要证 BC ? ⊥平面 AC ?D , 只须证 BC ? ⊥ C ?D 且 BC ? ⊥AD.因此,如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了. 证明:由题意, BC ? ⊥ C ?D ,又斜线 BC ? 在平面 ABCD 上的射影是 BA, ∵ BA⊥AD,由三垂线定理,得 C ?B ? AD , C ?D ? DA ? D . ∴ BC ? ⊥平面 C ?AD ,而 C ?A ? 平面 C ?AD ∴ BC ? ⊥ AC ? 106. 已知异面直线 l1 和 l2,l1⊥l2,MN 是 l1 和 l2 的公垂线,MN = 4,A∈l1,B∈l2,AM = BN = 2,O 是 MN 中点.① 求 l1 与 OB 的成角.②求 A 点到 OB 距离.

分析:本题若将条件放入立方体的“原型”中,抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平 面垂直”的关键性条件,问题就显得简单明了. 解析: (1)如图,画两个相连的正方体,将题目条件一一标 OB 在底面上射影 NB⊥CD,由三垂线定理,OB⊥CD,又 CD ∴ OB⊥MA 即 OB 与 l1 成 90° (2)连结 BO 并延长交上底面于 E 点. ME = BN, ∥ ∴ ME = 2,又 ON = 2 ∴ OB ? OE ? 2 2 . 作 AQ⊥BE,连结 MQ. 对于平面 EMO 而言,AM、AQ、MQ 分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影,由三垂线逆定理得 MQ ⊥EO. 在 Rt△MEO 中, MQ ? 在图中. ∥MA,

ME ? MO 2 ? 2 ? ? 2. EO 2 2

评述:又在 Rt△AMQ 中, AQ ? AM 2 ? MQ 2 ? 4 ? 2 ? 6 ,本题通过补形法使较困难的问题变得 明显易解;求点到直线的距离,仍然是利用直线与平面 关键条件,抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的. 107. 已知各棱长均为 a 的正四面体 ABCD, E 是 AD 边的 连结 CE.求 CE 与底面 BCD 所成角的正弦值. 解析:作 AH⊥底面 BCD,垂足 H 是正△BCD 中心, 连 DH 延长交 BC 于 F,则平面 AHD⊥平面 BCD, 作 EO⊥HD 于 O,连结 EC, 则∠ECO 是 EC 与底面 BCD 所成的角 则 EO⊥底面 BCD. 垂直的

中点,

HD ?

2 2 3 3 DF ? ? a? a 3 3 2 3

AH ? AD 2 ? HD 2 ? a 2 ?

a2 6 ? a 3 3

EO ?

1 1 6 6 3 AH ? ? a? a , CE ? a 2 2 3 6 2

6 a EO 2 ∴ sin ?ECO ? ? 6 ? 3 EC 3 a 2
108. 已知四面体 S-ABC 中, SA⊥底面 ABC, △ABC 是锐角三角形, H 是点 A 在面 SBC 上的射影. 求证: H 不可能是△SBC 的垂心. 分析:本题因不易直接证明,故采用反证法. 证明:假设 H 是△SBC 的垂心,连结 BH,并延长交 SC 于 D 点,则 BH⊥SC ∵ AH⊥平面 SBC, ∴ BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影 ∴ SC⊥AB(三垂线定理)
A S D H

C

又∵ SA⊥底面 ABC,AC 是 SC 在面内的射影
B

∴ AB⊥AC(三垂线定理的逆定理) ∴ △ABC 是 Rt△与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾,于是假设不成立. 故 H 不可能是△SBC 的垂心. 109. 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC =2.求点B到平面EFG的距离.

解析:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别 为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点. BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾. 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距 离. ——4分 ∵ BD⊥AC, ∴ EF⊥HC. ∵ GC⊥平面ABCD,

∴ EF⊥GC, ∴ EF⊥平面HCG. ∴ 平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线. ——6分

作OK⊥HG交HG于点K, 由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG, 所以线段OK的长就是点B到平面EFG 的距离. ——8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4,GC=2, ∴ AC=4 2 ,HO= 2 ,HC=3 2 . ∴ 在Rt△HCG中,HG=

?3 2 ?

2

? 2 2 ? 22 .

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG.

∴ OK=

HO ? GC 2 ? 2 2 11 . ? ? HG 11 22
2 11 . 11
——10分

即点B到平面EFG的距离为

注:未证明“BD 不在平面 EFG 上”不扣分. 110. 已知:AB 与 CD 为异面直线,AC=BC,AD=BD. 求证:AB⊥CD. 说明: (1)应用判定定理,掌握线线垂直的一般思路. (2)思路:欲证线线垂直,只需证线面垂直,再证线线垂直,而由已知构造线线垂直是关键. (3)教学方法,引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形,找到证明方法. 证明:如图,取 AB 中点 E,连结 CE、DE ∵AC=BC,E 为 AB 中点. ∴CE⊥AB 同理 DE⊥AB,又 CE∩DE=E, 且 CE ? 平面 CDE,DE ? 平面 CDE.

∴AB⊥平面 CDE 又 CD ? 平面 CDE ∴AB⊥CD. 111. 两个相交平面?、??都垂直于第三个平面??,那么它们的交线 a 一定和第三个平面垂直. 证明:在??内取一点 P,过 P 作 PA 垂直??与?? P 作 PB 垂直??与??的交线. ∵ ?⊥???且?⊥? ∴ PA⊥?且 PB⊥? ∴ PA⊥a 且 PB⊥a ∴ a⊥? 的交线; 过

112. 在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB,Q 是 PC 中点. AC,BD 交于 O 点. (Ⅰ)求二面角 Q-BD-C 的大小: (Ⅱ)求二面角 B-QD-C 的大小. 解析: (Ⅰ)解:连 QO,则 QO∥PA 且 QO= ∵ PA⊥面 ABCD ∴ QO⊥面 ABCD 面 QBD 过 QO, ∴ 面 QBD⊥面 ABCD 故二面角 Q-BD-C 等于 90°. (Ⅱ)解:过 O 作 OH⊥QD,垂足为 H,连 CH.
Q

1 PA= 2

1 AB 2

∵ 面 QBD⊥面 BCD,
B

H D C

又∵ CO⊥BD

O

CO⊥面 QBD CH 在面 QBD 内的射影是 OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC 是二面角的平面角. 设正方形 ABCD 边长 2, 则 OQ=1,OD= 2 ,QD= 3 . ∵ OH·QD=OQ·OD

∴ OH=

2 3



又 OC= 2

在 Rt△COH 中:tan∠OHC=

OC 2 = 2· = 3 OH 3

∴ ∠OHC=60° 故二面角 B-QD-C 等于 60°. 113. 如图在Δ ABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, 且将Δ AFG 沿 FG 折起, 使∠A'ED=60°, 求证:A'E⊥平面 A'BC

解析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解: ∵FG∥BC,AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC 设 A'E=a,则 ED=2a 由余弦定理得: A'D =A'E +ED -2?A'E?EDcos60°
2 2 2

A' G A E F

C D B

=3a
2 2

2

∴ED =A'D +A'E ∴A'D⊥A'E

2

∴A'E⊥平面 A'BC 114. α、β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n,② α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一 个命题,并证明它. 解析:m⊥α,n⊥β,α⊥β ? m⊥n(或 m⊥n,m⊥α,n⊥β ? α⊥β) 证明如下:过不在 α、β 内的任一点 P,作 PM∥m,PN∥n 过 PM、PN 作平面 r 交 α 于 MQ,交 β 于 NQ.

m ?? ? ? ? PM ? ? ? PM ? MQ , PM // m?
同理 PN⊥NQ. 因此∠MPN+∠MQN = 180°, 故∠MQN = 90° ? ∠MPN = 90° 即 α⊥β ? m⊥n. 115. 已知: ? ? ? ? a ,α⊥γ ,β⊥γ ,b∥α,b∥β. 求证:a⊥γ 且 b⊥γ .

解析:在 a 上任取一点 P,过 P 作 PQ⊥r. ∵ β⊥r, ∵ α⊥r, ∴ PQ ? ? , ∴ PQ ? ? ,

∴ PQ 与 a 重合,故 a⊥r. 过 b 和点 P 作平面 S, 则 S 和 α 交于 PQ1,S 和 β 交于 PQ2, ∵ b∥α,b∥β

∴ b∥PQ1,且 b∥PQ2. 于是 PQ1 和 PQ2 与 a 重合, 故 b∥a, 而 a⊥r, ∴ b⊥r. 求点 P 到

116. 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,且 AB=3,BC=4,PA=3, CD 和 BD 的距离. 解析:∵ PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 CD ? 平面 ABCD. ∴ PD⊥CD (三垂线定理) . 在 Rt△PAD 中, PD= PA2 ? AD2 =

32 ? 42 =5.
又作 PH⊥BD 于 H,连结 AH,由三垂线定理的逆定理, 有 AH⊥BD.这里,PH 为点 P 到 BD 的距离. 在 Rt△ABD 中,AH=

AB ? AD 12 = BD 5
2

369 ? 12 ? 在 Rt△PAH 中,PH= PA ? AH = 3 ? ? ? = 5 ?5?
2 2
2

117. 点 P 在平面 ABC 的射影为 O,且 PA、PB、PC 两两垂直,那么 O 是△ABC 的( (A) 内心 (C) 垂心 (B) 外心 (D) 重心

)

解析:由于 PC⊥PA,PC⊥PB,所以 PC⊥平面 PAB, ∴ PC⊥AB. 又 P 在平面 ABC 的射影为 O,连 CO,则 CO 是 PC 在平面 ABC 的 三垂线定理的逆定理,得:CO⊥AB, 同理可证 AO⊥BC,O 是△ABC 的垂心,答案选 C. 118. 如图 02,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是棱 AA1、BB1、BC 上的点,PQ∥AB,C1Q ⊥PR,求证:∠D1QR=90°. 证明:∵ PQ∥AB,AB⊥平面 BC1, ∴ PQ⊥平面 BC1,QR 是 PR 在平面 BC1 的射影. 射影, 根据

根据三垂线定理的逆定理,由 C1Q⊥PR 得 C1Q⊥QR. 又因 D1C1⊥平面 BC1,则 C1Q 是 D1Q 在平面 B1C 的射影,根据三垂线定理,由 C1Q⊥QR 得 QR⊥D1Q. ∴ ∠D1QR=90° 119. 在空间四边形 ABCD 中, 已知 AC?BD, AD?BC, 求证: AB?CD。 解析: 1、条件 AC?BD, AD?BC, 可以看作斜线 AD, AC 与平面 BCD 内的直线的位置关系, 从而联想到 用三垂线定理或其逆定理证明命题。 2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过 A 点作直线垂直于平面 BCD, 这样斜线与直线的位置关 系, 通过射影与直线的位置关系判定。 证明: 过 A 点作 AO 垂直于平面 BCD 于 O

连 BO, CO, DO ∵AO?平面 BCD, AC?BD ∴CO?BD

∵AO?平面 BCD, AD?BC

∴DO?BC ∴O 为△BCD 的垂心 ∴BO?CD ∴AB?CD 120. 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。 求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM 解析: ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。 要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明:

①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC

又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A

∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM 121. 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证 与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 明直线 可

在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a BC= 2 a

∴PD= 在Δ ABC 中 AD=

2 a 2

AB2 ? BD2
2 a 2
2 2
2

=

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?
2

=a =AP

2

2

∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于这个平面。 已知:β⊥α ,γ ⊥α ,β ? γ =a 求证:a⊥α 解析:利用线面垂直的性质定理 证明:设α ? β =AB,α ? γ =CD 在平面β 内作 L1⊥AB, 在平面γ 内作 L1⊥CD, ∵α ⊥β ∴L1⊥α 同理 L2⊥α

? ? a ? L ? L2 1 D ? ? A C B

∴L1//L2 ∴L1//β ∴L1//a ∴a⊥α 113. 已知 SA、 SB、 SC 是共点于 S 的且不共面的三条射线, ∠BSA= ASC=45°,∠BSC=60°,求证:平面 BSA⊥平面 SAC 解析:先作二面角 B-SA-C 的平面角,根据给定的条件,在棱 S 取一点 P,分别是在两个平面内作直线与棱垂直 证明:在 SA 上取一点 P 过 P 作 PR⊥SA 交 SC 于 R 过 P 作 PQ⊥SA 交 SB 于 Q ∴∠QPR 为二面角 B-SA-C 的平面角设 PS=a ∵∠PSQ=45°,∠SPQ=90° ∴PQ=a,SQ= 2 a 同理 PR= a,SR= ∠



2a

∵∠PSQ=60°,SR=SQ= 2 a ∴Δ RSQ 为正三角形则 RQ= 2 a ∵PR +PQ =2a =QR ∴∠QPQ=90° ∴二面角 B-SA-C 为 90° ∴平面 BSA⊥平面 SAC 114. 设 S 为 ?ABC 平面外的一点,SA=SB=SC, ?ASB ? 2? , ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? ,若
2 2 2 2

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。
解析: (1)把角的关系转化为边的关系 (2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)

证明:设 D 为 AB 的中点

? SA ? SB

? ?A S D? ?

sin ? ?

AD AB ? SA 2 SA

同理 sin ? ?

BC AC , sin ? ? 2SB 2 SC

? SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?

? AB2 ? BC2 ? AC2
即 ?ABC 为 Rt ?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。

? SO ? 平面 ABC

? SO ? 平面 SAC

? 平面 ASC ? 平面 ABC
115. 两个正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面互相垂直,求异面直线 AC 和 BF 所成角的大小. 解析:作 BP∥AC 交 DC 延长线于 P,则∠FBP(或补角)就是异面直线 BF 和 AC 所成的角,设正方形边长 为 a, PF ?

6a 在△BPF 中,由余弦定理得 cos ?FBP ?

1 ,异面直线 AC 和 BF 成 60°角. 2

116. 二面角α -a-β 的值为θ (0°<θ <180°),直线 l⊥α ,判断直线 l 与平面β 的位置关系,并证明你 的结论. 解析: 分两种情况,θ =90°,θ ≠90°.

当θ =90°时,l∥β 或 l ? β ,这个结论可用反证法证明; 当θ ≠90°时,l 必与β 相交,也可用反证法证明. 117. 已知平面α ⊥平面β ,交线为 AB,C∈ ? ,D∈ ? , AB ? AC ? BC ? 4 3 ,E 为 BC 的中点, AC⊥BD,BD=8. ①求证:BD⊥平面 ? ; ②求证:平面 AED⊥平面 BCD;

③求二面角 B-AC-D 的正切值. 解析:①AB 是 AC 在平面β 上的射影,由 AC⊥BD 得 AB⊥BD.∵ α ⊥β .∴ DB⊥α . ②由 AB=AC,且 E 是 BC 中点,得 AE⊥BC,又 AE⊥DB,故 AE⊥平面 BCD,因此可证得平面 AED⊥平面 BCD. ③设 F 是 AC 中点,连 BF,DF.由于△ABC 是正三角形,故 BF⊥AC.又由 DB⊥平面α ,则 DF⊥AC, ∠BFD 是二面角 B-AC-D 的平面角, 在 Rt△BFD 中, tg?BFD ?

BD 4 ? . BF 3

118. 如图,△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC= ∠DBC=120°,求 (1) A、D 连线和直线 BC 所成角的大小; (2) 二面角 A-BD-C 的大小
D B C A

解析: 在平面 ADC 内作 AH⊥BC, H 是垂足, 连 HD. 因为平面 ABC⊥平面 BDC. 所以 AH⊥平面 BDC. HD 是 AD 在平面 BDC 的射影.依题设条件可证得 HD⊥BC,由三垂线定理得 AD⊥BC,即异面直线 AD 和 BC 形成的角为 90°. 在平面 BDC 内作 HR⊥BD,R 是垂足,连 AR.HR 是 AR 在平面 BDC 的射影,∴ AR⊥BD,∠ARH 是二 面角 A-BD-C 的平面角的补角,设 AB=a,可得,

AH ?

3 3 3 BH ? a, a , HR ? 2 4 2
AH ? 2. HR

∴ tg?ARH ?

∴ 二面角 A-BD-C 的大小为π -arctg2. 119. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1,CC1 的中点,求异面直线 AE 和 BF 所成 角的大小. 解析:取 DD1 的中点 G,可证四边形 ABFG 是平行四边形,得出 BF∥AG, 则∠GAE 是异面直线 AE 与 BF 所成的角.连 GF,设正方体棱长
D1 C1 B1

为 a,

GE ? B1 D1 ? 2a , AE ? AG ?

5 a. 2

A1

G

F

D A

E C B

在△AEG 中,由余弦定理得

5 5 ? ?2 AG ? AE ? GE 1 4 4 cos?GAE ? ? ? 2 ? AG ? AE 5 5 5 2? ? 2 2
2 2 2

∴ ?GAE ? arccos

1 . 5

120. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上,求二面角 A-BD-C 的大小的余弦值.

在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°,

121. 已知:如图 12,P 是正方形 ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a. 求:平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值.

分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的交线. 解:因为 AB∥CD,CD 所以 AB∥平面 CPD. 又 P∈平面 APB,且 P∈平面 CPD, 因此 平面 APB∩平面 CPD=l,且 P∈l. 所以 二面角 B-l-C 就是平面 APB 和平面 CPD 相交所得到的一个二面角. 因为 AB∥平面 CPD,AB 所以 AB∥l. 过 P 作 PE⊥AB,PE⊥CD. 因为 l∥AB∥CD, 因此 PE⊥l,PF⊥l, 所以 ∠EPF 是二面角 B-l-C 的平面角. 因为 PE 是正三角形 APB 的一条高线,且 AB=a, 平面 APB,平面 CPD∩平面 APB=l, 平面 CPD,AB 平面 CPD.

因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点, 所以 EF=BC=a. 在△EFP 中,

122. 在四面体 ABCD 中,AB=AD=BD=2,BC=DC=4,二面角 A-BD-C 的大小为 60°,求 AC 的长. 解析:作出二面角 A-BD-C 的平面角

在棱 BD 上选取恰当的点

AB=AD,BC=DC 解:取 BD 中点 E,连结 AE,EC ∵ AB=AD,BC=DC ∴ AE⊥BD,EC⊥BD ∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角 ∴ ∠AEC=60° ∵ AD=2,DC=4 ∴ AE= 3 ,EC= 15 ∴ 据余弦定理得:AC= 18 ? 3 5 . 123. 河堤斜面与水平面所成角为 60°,堤面上有一条直道 CD,它与堤角的水平线 AB 的夹角为 30°, 沿着这条直道从堤角向上行走到 10 米时,人升高了多少(精确到 0.1 米)? 解析: 已知 所求

河堤斜面与水平面所成角为 60°

E 到地面的距离

利用 E 或 G 构造棱上一点 F

以 EG 为边构造三角形

解:取 CD 上一点 E,设 CE=10 m,过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG,垂足为 G,则线段 EG 的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作 EF⊥AB.垂足为 F,连接 FG,由三垂线定理的逆定理,知 FG⊥AB.因此,∠EFG 就 是河堤斜面与水平面 ABG 所成的二面角的平面角,∠EFG=60°. 由此得: EG=EFsin60° =CE sin30°sin60°

=10×

1 3 × ≈4.3(m) 2 2

答:沿着直道向上行走到 10 米时,人升高了约 4.3 米. 124. 二面角 α—a—β 是 120°的二面角,P 是该角内的一点.P 到 α、β 的距离分别为 a,b.求:P 到 棱 a 的距离. 解析:设 PA⊥α 于 A,PB⊥β 于 B.过 PA 与 PB 作平面 r 与 α 交于 AO,与 β 交于 OB, ∵ PA⊥α,PB⊥β,∴ a⊥PA,且 a⊥PB ∴ a⊥面 r,∴ a⊥PO,PO 的长为 P 到棱 a 的距离. 且∠AOB 是二面角之平面角,∠AOB =120° ∴ ∠APB = 60°,PA = a,PB = b.

AB ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? ? a 2 ? ab ? b 2



AB sin ?APB

? PO ,

∴ PO ?

2 3 ? a 2 ? ab ? b 2 . 3

125. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角的 余弦值是 ( )

(A)

3 3

(B)

2 3

(C)

1 3

(D)

1 6
上选一 平面 O, 连结 EF 所成

解析:选哪一点,如何作平行线是解决本题的关键,显然在 EF 点作 AC 的平行线要简单易行,观察图形,看出 F 与 A1C 确定的 A1CC1 恰是正方体的对角面,在这个面内,只要找出 A1C1 的中点 OF,这条平行线就作出了,这样,∠EFO 即为异面直线 A1C 与 的角.容易算出这个角的余弦值是

2 ,答案选 B. 3
面N的

126.在 60°的二面角 M-a-N 内有一点 P,P 到平面 M、平 距离分别为 1 和 2,求 P 点到直线 a 的距离.

解析:本题涉及点到平面的距离,点到直线的距离,二面角的 平面角 等概念, 图中都没有表示, 按怎样的顺序先后作出相应的图形 是解决 本题的关键.可以有不同的作法,下面仅以一个作法为例,说 明这些 概念的特点,分别作 PA⊥M,M 是垂足,PB⊥N,N 是垂足, 先作了 两条垂线, 找出 P 点到两个平面的距离, 其余概念要通过推理 得出: 于是 PA、PB 确定平面α ,设α ∩M=AC,α ∩N=BC,c∈a.由 于 PA⊥ M,则 PA⊥a,同理 PB⊥a,因此 a⊥平面α ,得 a⊥PC.这样,∠ACB 是二面角的平面角,PC 是 P 点 到直线 a 的距离,下面只要在四边形 ACBP 内,利用平面几何的知识在△PAB 中求出 AB,再在△ABC 中利用正弦定理求外接圆直径 2R=

2 21 2 21 ,即为 P 点到直线 a 的距离,为 . 3 3

127. 已知空间四边形 ABCD 中,AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F 分别为 AB、CD 的中点, (1)求证:EF 为 AB 和 CD 的公垂线 (2)求异面直线 AB 和 CD 的距离 解析:构造等腰三角形证明 EF 与 AB、CD 垂直,然后在等腰三角形中求 EF 解;①连接 BD 和 AC,AF 和 BF,DE 和 CE 设四边形的边长为 a ∵ AD = CD = AC = a ∴ △ABC 为正三角形 ∵ DF = FC

∴ AF ? DC 且 AF =

3 a 2

同理 BF =

3 A 2

? BF ? FA
即△ AFB 为等腰三角形 在△ AFB 中, ∵ AE = BE ∴ FE ? AB 同理在 △ DEC 中 EF ? DC ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线

②在 △ AFB 中 ∵ EF ? AB 且 AF ?

3 1 1 a, AE ? AB ? a a 2 2

∴ EF ?

AF 2 ? AE 2 ?

2 a 2

∵ EF ? DC, EF ? AB ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离

∴ AB 和 CD 的距离为

2 a 2
使二面

128. 正方形 ABCD 中, 以对角线 BD 为折线, 把Δ ABD 折起, 角 Aˊ-BD-C 为 60°,求二面角 B-AˊC-D 的余弦值 解析:要求二面角 B-AˊC-D 的余弦值,先作出二面角的 角,抓住图形中 AˊB=BC,AˊD=DC 的关系,采用定义法

平面 作出平

面角∠BED(E 为 AC 的中点)然后利用余弦定理求解 解:连 BD、AC 交于 O 点 则 AˊO⊥BD,CO⊥BD ∴∠AˊOC 为二面角 Aˊ-BD-C 的平面角 ∴∠AˊOC=60° 设正方形 ABCD 的边长为 a

∵A′O=OC=1/2AC= ∠A′OC=60°

2 a 2

∴Δ A′OC 为正三角形则 A′C= 取 A′C 的中点,连 DE、BE ∵A′B=BC ∴BE⊥A′C 同理 DE⊥A′C

2 a 2

∴∠DEB 为二面角 B-A′C-D 的平面角在Δ BA′C 中

BE= BA2 ? AE 2 ?

a2 ? (

2 2 14 a) ? a 4 4

同理 DE=

14 a 4

在Δ BED 中,BD= 2a ∴ cos∠BED=

BE 2 ? DE 2 ? BD 2 2 BE ? DE
2 2

? 14 ? ? 14 ? ? ? ? ? ? 4 a ? ? ? 4 a ? ? 2a ? ? ? ? = 14 14 2? a? a 4 4

? ?

2

=--

1 7 1 7
Δ 的余

∴二面角 B-A′C-D 的余弦值为-

129. 如图平面 SAC⊥平面 ACB, Δ SAC 是边长为 4 的等边三角形, ACB 为直角三角形,∠ACB=90°,BC= 4 2 ,求二面角 S-AB-C 弦值。 解析:先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直,作 平面 ACB,然后利用三垂线定理作出二面角的平面角 解:过 S 点作 SD⊥AC 于 D,过 D 作 DM⊥AB 于 M,连 SM ∵平面 SAC⊥平面 ACB ∴SD⊥平面 ACB ∴SM⊥AB 又∵DM⊥AB ∴∠DMS 为二面角 S-AB-C 的平面角

SD⊥

在Δ SAC 中 SD=4×

3 ?2 3 2

在Δ ACB 中过 C 作 CH⊥AB 于 H ∵AC=4,BC= 4 2 ∴AB= 4 3 ∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC

∴CH=

AC ? BC 4 ? 4 2 4 2 ? ? AB 4 3 3

∵DM∥CH 且 AD=DC

∴DM=1/2CH=

2 2 3

∵SD⊥平面 ACB ∴SD⊥DM 在 RTΔ SDM 中 SM= SD2 ? DM 2

DM?平面 ACB

=

? ?
11 3

?2 2? ? 2 3 ?? ? 3 ? ? ?
2

2

=2

∴cos∠DMS=

DM SM

2 2
=

3 11 2 3
22 11

=

130. 已知等腰?ABC 中,AC = BC = 2, ? ACB = 120?,?ABC 所在平面外的一点 P 到三角形三顶点的距离 都等于 4,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角。 解析:解:设点 P 在底面上的射影为 O,连 OB、OC, 则 OC 是 PC 在平面 ABC 内的射影,

∴ ? PCO 是 PC 与面 ABC 所成的角。

∵ PA = PB = PC,

∴点 P 在底面的射影是?ABC 的外心, 注意到?ABC 为钝角三角形, ∴点 O 在?ABC 的外部, ∵AC = BC,O 是?ABC 的外心, ∴OC⊥AB 在?OBC 中,OC = OB, ? OCB = 60?, ∴?OBC 为等边三角形,∴OC = 2 在 Rt?POC 中, cos ?PCO ? ∴ ? PCO = 60? 。 131. 如图在二面角α - l-β 中,A、B∈α ,C、D∈l,ABCD P∈β ,PA⊥α ,且 PA=AD,MN 依次是 AB、PC 的中点 ⑴ 求二面角α - l-β 的大小 ⑵ 求证明:MN⊥AB ⑶ 求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小 解析:⑴ 用垂线法作二面角的平面角 ⑵ 只要证明 AB 垂直于过 MN 的一个平面即可 ⑶ 过点 A 作 MN 的平行线,转化为平面角求解 解: ⑴ 连 PD ∵PA⊥α ,AD⊥l ∴PD⊥l ∴∠PDA 为二面角α - l-β 的平面角 在 RTΔ PAD 中 ∵PA=PD 为矩形,

OC 1 ? PC 2

∴∠PDA=45° ∴二面角α - l-β 为 45° ⑵ 设 E 是 DC 的中点,连 ME、NE ∵M、N、E 分别为 AB、PC、D 的中点 ∴ME∥AD,NE∥PD ∴ME⊥l,NE⊥l ∴l⊥平面 MEN ∵AB∥l ∴AB⊥平面 MEN ∵MN?平面 MNE ∴MN?AB ⑶ 设 Q 是 DP 听中点,连 NQ、AQ 则 NQ∥DC,且 NQ=1/2DC ∵AM∥DC,且 AM=1/2AB=1/2DC ∴QN∥AM,QN=AM ∴QNMQ 为平行四边形 ∴AQ∥MN ∴∠PAQ 为 PA 与 MN 所成的角 ∵Δ PAQ 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成角的大小为 45° 132. 如图: △ABC 的?ABC= 90?, V 是平面 ABC 外的一点, VA = VB = VC = AC, 求 VB 与平面 ABC 所成的角。 解析:1、要求 VB 与平面 ABC 所成的角, 应作出它们所成的角。 2、要作出 VB 与平面 ABC 所成的角, 只要找出 VB 在平 面 ABC 内的射影就可以了。 3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然

找 V 点, V 点在平面内的射影在何处?由条件可知, 射影为△ABC 的外心。 解: 作 VO?平面 ABC 于 O, 则 OB 为 VB 在平面 ABC 内的射影, ∴?VBO 为 VB 与平面 ABC 所成的角。 连 OA、OB、OC, 则 OA、OB、OC 分别为斜线段 VA、VB、VC 在平面 ABC 内的射影。 ∵VA = VB = VC ∴OA = OB = OC ∴O 为△ABC 为外心 ∵△ABC 为直角三角形, 且 AC 为斜边 ∴O 为 AC 的中点

设 VA = a, 则 VA = VC = AC = a,

VO ?

3 a 2

3 a VO 3 2 在 Rt△VOB 中, sin ?VBO ? ? ? VB a 2

∴?VBO = 60? ∴VB 与平面 ABC 所成的角为 60?。 133. 已知:平面α ∩平面β =直线 a. α ,β 同垂直于平面γ ,又同平行于直线 b. 求证:(Ⅰ)a⊥γ ; (Ⅱ)b⊥γ .

证明:

证法一(Ⅰ)设α ∩γ =AB,β ∩γ =AC.在γ 内任取一点 P 并于γ 内作直线 PM⊥AB,PN⊥ AC. ——1 分 ∵ γ ⊥α , ∴ PM⊥α . 而 a?α , ∴ PM⊥a. 同理 PN⊥a. 又 PM ? γ ,PN ? γ , ∴ a⊥γ . ——6 分 ——7 分 ——4 分

(Ⅱ)于 a 上任取点 Q,过 b 与 Q 作一平面交α 于直线 a1,交β 于直线 a2. ∵ b∥α ,∴ b∥a1. 同理 b∥a2. ∵ a1,a2 同过 Q 且平行于 b, ∵ a1,a2 重合. 又 a1 ? α ,a2 ? β , ∴ a1,a2 都是α 、β 的交线,即都重合于 a. ∵ b∥a1,∴ b∥a. 而 a⊥γ , ∴ b⊥γ . 注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分. 证法二(Ⅰ)在 a 上任取一点 P,过 P 作直线 a′⊥γ . ∵ α ⊥γ ,P∈α , ∴ a′ ? α . 同理 a′ ? β . 可见 a′是α ,β 的交线. ——3 分

——8 分

——10 分

——12 分

——1 分

因而 a′重合于 a. 又 a′⊥γ , ∴ a⊥γ .

——5 分

——6 分

(Ⅱ)于α 内任取不在 a 上的一点,过 b 和该点作平面与α 交于直线 c.同法过 b 作平面与β 交于直线 d. ——7 分 ∵ b∥α ,b∥β . ∴ b∥c,b∥d. 又 c ? β ,d ? β ,可见 c 与 d 不重合.因而 c∥d. 于是 c∥β . ∵ c∥β ,c ? α ,α ∩β =a, ∴ c∥a. ∵ b∥c,a∥c,b 与 a 不重合(b ? α ,a ? α ), ∴ b∥a. 而 a⊥γ , ∴ b⊥γ . 注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分. 134. 设 S 为 ?ABC 平面外的一点,SA=SB=SC, ?ASB ? 2? , ?BSC ? 2? , ?ASC ? 2? ,若 ——12 分 ——11 分 ——10 分 ——9 分 ——8 分

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。
解析: (1)把角的关系转化为边的关系 (2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心) 证明:设 D 为 AB 的中点

? SA ? SB

? ?A S D? ?

sin ? ?

AD AB ? SA 2 SA

同理 sin ? ?

BC AC , sin ? ? 2SB 2 SC

? SA ? SB ? SC 且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ?

? AB2 ? BC2 ? AC2
即 ?ABC 为 Rt ?ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ?ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。

? SO ? 平面 ABC
? SO ? 平面 SAC

? 平面 ASC ? 平面 ABC
135. 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证 与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a BC= 2 a 明直线 可

∴PD= 在Δ ABC 中 AD=

2 a 2

AB2 ? BD2
2 a 2
2 2
2

=

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?
2

=a =AP

2

2

∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 136. 如图,正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面 成 60°的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值 是 解析: .

?DAF为二面角60 , 可设AD长为a, 则DF 长为a又 根据余弦定理可得.

AB ? 平面CDF

? CD ? 平面CDF , CD ? DF ,? CF ? 2a, 又在 BCF中, BC ? a, BF ? 2a

137. 如图,M、N、P 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个侧面 ABCD、CC1D1D、BCC1B1 的中心,则 A1M 与 NP 所成的角是( )

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

解析:D 如图所示

138. 相交成 90°的两条直线和一个平面所成的角分别是 30°和 45°,则这两条直线在该平面内的射 影所成的锐角是( )

?? (A) arccos
(C) ? ? arcsin

? ? ?

3? ? 3 ? ?

(B)

?
2

? arcsin 6 3

6 3

6 3

(D) arcsin

解析:分析:设直角顶点到平面的距离是 1,所求的角为 θ,则 cos ? ? 139. 在三棱锥 P-ABC 中, ? APB= ? BPC= ? CPA=600, 求二面角 A-PB-C 的 解析: 在二面角的棱 PB 上任取一点 Q, 在半平面 PBA 面 PBC 上作 QM ? PB,QN ? PB,则由定义可知 即为二面角的平面角。 设 PM=a,则在 Rt ? PQM 和 Rt ? PQN 中可求得 QM=QN= B Q

12 ?

? 3? ? ? 6 ?
2

2

2? 3



P

余弦值。 和半平 ? MQN

M N A

3 a; 2

?

A CG

又由 ? PQN ? ? PQM 得 PN=a,故在正 ? PMN 中 MN=a,在

? MQN

?

H

中由余弦定理得 cos ? MQN=

1 1 ,即二面角的余弦值为 。 3 3

140. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ? BAC=900,AB=BB1=1,直线 B1C 与平面 ABC 成 300 角,求二面 角 B-B1C-A 的正弦值。 解析:可以知道,平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直,故 直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂 解:由直三棱柱性质得平面 ABC ? 平面 BCC1B1,过 面 BCC1B1,垂足为 N,则 AN ? 平面 BCC1B1, (AN 找的垂线)在平面 BCB1 内过 N 作 NQ ? 棱 B1C,垂 QA,则 ? NQA 即为二面角的平面角。 B ∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB,CA ? AB,∴ AB=BB1=1,得 AB1= 2 。∵直线 B1C 与平面 ABC B1 A1 Q N C CA ? B1A, A 成 300 角,∴ AC= 2 ,∴ C1 可由面面垂 线。 A 作 AN ? 平 即为我们要 足为 Q,连

? B1CB=300,B1C=2,Rt△B1AC 中,由勾股定理得
AQ=1。在 Rt△BAC 中,AB=1,AC= 2 ,得 AN=

6 。 3

sin ? AQN= AN

AQ

=

6 6 。即二面角 B-B1C-A 的正弦值为 。 3 3

141. 已知菱形 ABCD 边长为 a,且其一条对角线 BD=a,沿对角线 BD 将 ?ABD 折起 与?BCD 所在平 面成直二面角,点 E、F 分别是 BC、CD 的中点。 (1)求 AC 与平面 AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角 A-EF-B 的正切值。 (1) 解析: :菱形 ABCD 的对角线 AC?BD,因此BD?AO , BD?OC ? BD?面AOC ,中位线 EF//BD,可知 EF ? 面 AOC, EF ? 面AEF ,故面 AEF?面AOC ,这样 AC 在面 AEF 内的射 影就是 AG, ? CAG 就是 AC 与平面 AEF 的成角,解三角形 AOC 可得

AC ?

6 3 15 a,CG ? a,AG ? a。 2 4 4 3 10 10

? cos ?CAG ?

(2)分析:由前一小问的分析可知 EF?平面AOC ,? EF?AG,EF?OG,故?AGO 就是二面角 A-EF-B 的平面角,在 Rt?AOG 中, ?AOG ? 90? , AO ?

3 3 a , OG ? a。 2 4

3 a AO ? tg?AGO ? ? 2 ?2 OG 3 a 4

142. 如图,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,E 是 CC1 的中点,求二面角 B-B1E-D 的余弦值。 解析:图中二面角的二个半平面分别为△DEB1 所在的半平面和△BEB1 所在的半平面,即正方体 的右侧面,它们的交线即二面角的棱 B1E。不难找到 DC 即为从其中的一个半平面出发,并且垂直 于另一个半平面的直线。 解: 由题意可得直线 DC ? 平面 BEB1,且垂足为 C,过 C 作 CF ? B1E 于 F(如图,F 在 B1E 的 延长线上) ,连 DF,则由三垂线定理可得 ? DFC 即二面角的平面角。 △B1C1E~△CFE,∴ B1 D1 A1 B D C B B1 C1 E

B C ? CE 5 CF= 1 1 ? a; B1 E 5
DF= a ?
2

C1 E F FC

1 2 30 a ? a. 5 5

5 a ∴cos ? DFC= 5

30 a 5

?

6 。 6

A

即二面角的平面角的余弦值为

6 。 6

143. 如图,在平面角为 600 的二面角 ? -l- ? 内有一点 P,P 到 ? 、 ? 分别为 PC=2cm,PD=3cm,则 垂足的连线 CD 等于多少?(2)P 到棱 l 的距离为多 少? 解析:对于本题若这么做:过 C 在平面 ? 内作棱 l 的 E,连 DE,则 ? CED 即为二面角的平面角。这么作 单,实际上在证明 ? CED 为二面角的平面角时会有 问题,需要证明 P、D、E、C 四点共面。这儿,可以 方法来作二面角的平面角。

?
P C

垂线,垂足为 辅助线看似简 一个很麻烦的 通过作垂面的 E l

D

?

解:∵PC、PD 是两条相交直线, ∴PC、PD 确定一个平面 ? ,设 ? 交棱 l 于 E,连 CE、DE。 ∵PC⊥ ? , ∴PC⊥l,

又∵PD⊥ ? ,∴PD⊥l。 ∴l⊥平面 ? ,则 l⊥CE、DE,故 ? CED 即为二面角的平面角,即 ? CED=600。 ∴ ? CPD=1200,△PCD 中,PD=3,PC=2,由余弦定理得 CD= 19 cm。由 PD⊥DE,PC⊥CE 可得 P、 D、 E、 C 四点共圆, 且 PE 为直径, 由正弦定理得 PE=2R=

CD 2 19 57 cm。 = = 0 sin ?CED sin 60 3

说明:三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法,要引起重视。 144. 如图, 梯形 ABCD 中, BA⊥AD, CD⊥AD, AB=2, CD=4, P 为平面 ABCD 外一点, 平面 PAD⊥平面 ABCD, △PBC 是边长为 10 的正三角形,求平面 PAD 与面 PBC 所成的角. 解法一:如图,延长 DA、CB 交于 E,

AB 2 1 = = ,∴AB 是△ECD 的中位线,CB=BE=10.又△PCB CD 4 2

为正△, 易证△PCE 为直角三角形, PE⊥PC.又平面 PDA⊥平面 ABCD, 且 CD⊥交线 DA, ∴CD⊥平面 PDE.PE 是 PC 在平面 PDE 内的射影, ∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD 是 D-PE-C 的平面角.在 Rt△CDP 中,sin∠DPC=

4 2 2 = ,故二面角大小为 arcsin . 10 5 5

解法二:利用 Scosθ =S′.如右图, 平面 PAD⊥平面 ABCD

?
CD⊥AD,BA⊥AD BA⊥平面 PAD

?
CD⊥平面 PAD △PAD 是△PBC 在平面 PDA 内的射影.设面 PDA 与面 PCB 所成的二面角为θ ,则 S△PDA=S△PCB·cosθ .Rt △PAB 中,PA=4 6 =AD;Rt△PDC 中,PD=2 21 . ∴△PAD 为等腰三角形且 S△PAD=

1 PD·AH=15 7 . 2

cosθ =

S ?PAD 15 7 21 = = , 5 S ?PBC 25 3
21 . 5
D1 A1 B1 D A O
1

θ =arccos=

C1 在底面 求二面

145. 如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面为正方形,点 A1 的射影 O 在 AB 上, 已知侧棱 A1A 与底面 ABCD 成 450 角, A1A=a。 角 A1-AC-B 的平面角的正切值。 (答案: 2 )

C B

作OE ? AC , 连接A1E , 根据三垂线定理EO ? AC , A1E ? AC , ??A1EO为A1 -AC-B的平面角.

146. 如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC, ? ABC=900,

P 角 P-CD-A A A B B C D

5 ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=a,求二面 5 5 的大小。 (答案:arctg ) 3
AB=a,AD=3a,sin ? ADC=

作AE ? CD, 连接PE,则?PEA为P-CD-A的平面角,又 5 AE ,在RT ADE中,sin ?ADC= , 可求AE. 5 AD 又PA ? a, 可求出二面角?PEA的正切值来. sin ?ADC=
147. 已知 Rt△ ABC 的两直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边上一 点,沿 CP 将此直角三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB=71/2 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

作法一:∵ A—CP—B 为直角二面角, ∴ 过 B 作 BD⊥ CP 交 CP 的延长线于 D,则 BD⊥ DM APC。 ∴ 过 D 作 DE ⊥ AC,垂足为 E,连 BE。 ∴ ∠ DEB 为二面角 A—CP—B 的平面角。 作法二:过 P 点作 PD′ ⊥ PC 交 BC 于 D′ ,则 PD′ ⊥ 面 APC。 ∴ 过 D′ 作 D′ E′ ⊥ AC,垂足为 E′ ,边 PE′ , ∴ ∠ D′ E′ P 为二面角 P—AC—B 的平面角。 148. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ ABD 折起, 使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′ 落在 BC 上,求二面角 A—BC-—C 的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过 A 作 AE⊥ BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E,则折叠 后 OA、OE 与 BD 的垂直关系不变。但 OA 与 OE 此时变成相交两线段并确定一平面,此平面必与 棱垂直。由特征Ⅱ 可知,面 AOE 与面 ABD、面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角,即为所求二面角的 平面角。另外,A 在面 BCD 上的射影必在 OE 所在的直线上,又题设射影落在 BC 上,所以 E 点就是 A′ ,这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上,AO=AB· AD/BD=3*4/5=12/5, OA′ =OE=BO· tgc∠ CBD,而 BO=AB2/BD=9/5, tg∠ CBD,故 OA′ =27/20。在 Rt△ AA′ O 中,∠ AA′ O=90°所以 cos∠ AOA′ =A′ O/AO=9/16,ty∠ AOA′ =arccos9/16 即所求的二面 arccos9/16。 149. 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD ? a ,则三棱锥 D — ABC 的体积 为 ( )

a3 A. 6
D

a3 B. 12

C.

3 3 a 12

D.

2 3 a 12

解析:取 BD 的中点为 O,BD⊥平面 OAC, S?AOC ?

1 1 2 2 ? 2a ? a ? a ,则 2 2 4

VD? ABC ? 2VB? AOC =

2 3 a 。选 D 12

150. 在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=2b,a<b,E、F 分别是 AD、BC 的中点,以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起, 当 ?CEB ? 90 时,二面角 C—EF—B 的平面角的余
?
E a b F D C

弦值等于




B A

A. 0

a2 B. 2 b

a2 C. ? 2 b
CE=BE= a 2 ? b 2

a D. ? b

解析:由图可知

2 2 ? 当 ?CEB ? 90 时,CB= 2( a ? b ) 。 ?CFB 为所

求平面角,由余弦定理得 cos ?CFB ?

2b 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) a2 ? ? 。 选(C) 。 2b 2 b2

151. .已知 E、F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC,CC1 的中点,则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是 ( )

A.

2 3

B.

2 3

C. 解析:C

5 2 2 D. 3 3

D ?

C

G

用求 cos? 求出 DG 的长度,则所求函数值可求。

如图, ?D1GD 为所求的二面角的平面角。

A

?

B

可利

152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________.

解析:如图中,截面 ACD1 和截面 ACB1 均符合题意要求,这样的截面共有 8 个; D1 A1 B1 D A B C C1

153. 已知矩形 ABCD 的边 AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,PA=1,问 BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ⊥QD,并说明理由.
P

A

D

B

Q

C

解析:连接 AQ,因 PA⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥QD

AQ⊥QD,即以 AD 为直经的圆与 BC 有交点.

当 AD=BC=a ? AB=1,即 a ? 1 时,在 BC 边上存在点 Q,使得 PQ⊥QD; . . . . . . . . .5 分 当 0<a<1 时,在 BC 边上不存在点 Q,使得 PQ⊥QD. . .

154. 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长的 3,侧棱 AA1= (Ⅰ)求证:直线 BC1//平面 AB1D; (Ⅱ)求二面角 B1—AD—B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 C1—ABB1 的体积.

3 3 , D 是 CB 延长线上一点,且 BD=BC. 2
C1 B1 A1

C

A

B

D

(Ⅰ)证明:CD//C1B1,又 BD=BC=B1C1, ∴ 四边形 BDB1C1 是平行四边形, ∴BC1//DB1. 又 DB1 ? 平面 AB1D,BC1 ? 平面 AB1D,∴直线 BC1//平面 AB1D.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (Ⅱ)解:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连结 EB1, ∵B1B⊥平面 ABD,∴B1E⊥AD ,

∴∠B1EB 是二面角 B1—AD—B 的平面角, ∵BD=BC=AB, ∴E 是 AD 的中点, BE ? 1 AC ? 3 .
2 2

3 3 B B 在 Rt△B1BE 中, tg?B BE ? 1 ? 2 ? 3. ∴∠B1EB=60°。即二面角 B1—AD—B 的大小为 1 3 BE 2 60°????10 分

(Ⅲ)解法一:过 A 作 AF⊥BC 于 F,∵B1B⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C,

∴AF⊥平面 BB1C1C,且 AF=

3 3 ?3 ? 3,? VC ? ABB ? V A ? BB C ? 1 S ? B B C ? AF 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 3 3 3 3 27 即三棱锥 C1—ABB1 的体积为 27 ????15 分 . ? ( ? ? 3) ? ? . 8 3 2 2 2 8

解法二:在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,? S

?ABB1

? S ?AA B ?VC1 ? ABB1 ? VC1 ? AA1B1 ? VA? A1B1C1
1 1

1 1 3 2 3 3 27 即为三棱锥 C1—ABB1 的体积. ? S?A1 B1C1 ? AA (4 ? ?3 )? ? . 1 ? 3 3 4 2 8

155. 已知空间四边形 ABCD 的边长都是 1,又 BD= 3 ,当三棱锥 A—BCD 的体积最大时,求二面 角 B—AC—D 的余弦值. 解析:如图,取 AC 中点 E,BD 中点 F,由题设条件知道 (1) ? BED 即二面角 B—AC—D 的平面角. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 (2)当 AF ? 面 BCD 时,VA—BCD 达到最大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 这时 ED2=AD2-AE2=1-AE2=1- (

AC 2 AF 2 ? FC 2 ) =12 4

=1-

AF 2 1 1 BD 2 1 3 7 ? 1 ? ( AD2 ? FD2 ) ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? , 2 2 2 4 2 4 8

又 BE2=ED2, ∴ cos ?BED ?

2 ED 2 ? BD 2 5 ?? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 2 ED ? BE 7
A

E

B

F C

D

156. 有一矩形纸片 ABCD,AB=5,BC=2,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且 BE=CF=1,把纸片沿 EF 折成直 二面角. (1)求 BD 的距离; (2)求证 AC,BD 交于一点且被这点平分.

解析:将平面 BF 折起后所补形成长方体 AEFD-A1BCD1,则 BD 恰好是长方体的一条对角线. (1)解:因为 AE,EF,EB 两两垂直, 所以 BD 恰好是以 AE,EF,EB 为长、宽、高的长方体的对角线,

. . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)证明:因为 AD EF,EF BC,所以 AD BC.

所以 ACBD 在同一平面内,

且四边形 ABCD 为平行四边形. 所以 AC、BD 交于一点且被这点平分

157.已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且 AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1).
AC AD

(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC.????????????3 分 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC.??????8 分

∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ?

2, AB ? 2 tan60? ? 6,

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

7

AC

7

故当 ? ?

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD.??????????????????12 分 7

158. 设△ABC 内接于⊙O,其中 AB 为⊙O 的直径,PA⊥平面 ABC。 如图 cos ?ABC ?

5 , PA : PB ? 4 : 3, 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小 6
5 x 2

设PA ? 4 x, AB ? 3x, 则PB ? 5 x, BC ? 3x cos?ABC ? ? AB是?O的直径 ? ?ACB ? 90? ,即BC ? AC 又 ? PA ? 面ABC,? PA ? BC ? BC ? 面PAC ? ?BPC是PB和面PAC所成的角 5x 1 在Rt?BPC中, sin ?BPC ? 2 ? ,? ?BPC ? 30? 5x 2 即直线PB和平面PAC所成的角为 30?

159. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 P,Q,R,S 分别为棱 A1D1,A1B1,AB,BB1 的中 点,求证:平面 PQS⊥平面 B1RC.(12 分) 证明:连结 BC1 交 B1C 于 O,则 O 为 BC1 的中点 连结 RO,AC1,∵R 是 AB 的中点 ∴RO∥AC1 ∵P,Q 分别为 A1D1,A1B1 的中点,易知 A1C1⊥PQ ∴AC1⊥PQ(三垂线定理)
同理证OS ? AC1 ? AC1 ? 面PQS ? RO ? 面PQS 又 ? RO ? 面B1 RC ? 面PQS ? 面B1 RC

160. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 B—AC—D,E、F 分别为 AD、BC 的中点,O 为正方形 的中心,求折起后∠EOF 的大小 证明:过 F 作 FM⊥AC 于 M,过 E 作 EN⊥AC 于 N,则 M,N 分别为 OC、AO 的中点

解析:
? AN ? 1 2 AC ? a ? EN (设正方形的边长为 a) 4 4 2 2 3 FM ? a, MN ? a, EF 2 ? EN 2 ? FM 2 ? MN 2 ? a 2 4 2 4 2 2 2 在?EOF中, EF ? EO ? FO ? 2 EO ? FO cos?EOF

1 ? cos?EOF ? ? , ?EOF ? 120? 2 另证 : ? EO // CD, 延长FO交AD ?于G, OG // CD ? ? ?EOG ? ?DCD ? ? B ? AC ? D为直二面角 , DO ? AC ? DO ? 平面ABC ? DC ? DD ? ? CD ? ? a 即?DCD ?为正三角形,? ?DCD ? ? 60? ? ?EOF ? 180? ? ?EDG ? 120?

161. 如图,正方体 AC1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点。 (1)求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小。 (2)求二面角 B1—MA—C 的正切值。 (14 分) 解析:
方法一 : BO ? AC,? B1O ? AC, 设正方体的棱长为 a, 则 6 3 3 a, MO ? a, MB1 ? a 2 2 2 2 MB1 ? B1D 2 ? MO2 ,? MO ? B1O B1O ? ? B1O ? 面MAO ? B1O ? AM

方法二:取 AD 中点 N,连结 A1N,则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影. 易证 AM⊥A1N ∴AM⊥B1O(三垂线定理) (2)连结 MB1,AB1,MC,过 O 作 OH⊥AM 于 H 点,连结 B1H, ∵B1O 平面 MAC,∴∠B1HO 就是所求二面角 B1—MA—C 的平面角.
? 2 HO ? AM ? AC ? MO,? HO ? 30 10 BO 在Rt?BHO中,? tan?B1 HO ? 1 ? 5 HO

162. 在正方体 AC1 中,E 为 BC 中点(1)求证:BD1∥平面 C1DE;

(2)在棱 CC1 上求一点 P,使平面 A1B1P⊥平面 C1DE; (3)求二面角 B—C1D—E 的余弦值。 (14 分) 解析:
(1)连C1D交CD1于F , 则EF // BD1 , ? BD1 ? 面C1DE, EF ? 面C1DE, ? BD1 // 面C1DE. (2) ? A1B1 ? 面BCC1B1 , C1E ? 平面BCC1B1 , ? A1B1 ? C1E 故保要过B1作B1P ? C1E交C1C于P点即可 此时P为CC1的中点. 事实上, 当P为CC1的中点时, B1P ? C1E
从而C1 E ? 平面A1 B1 P, ? 平面A1 B1 P ? 平面C1 DE. (3)连结BD, BC1 , 则BD ? BC1 , ED ? EC1 , 连结BF , 则BF ? DC1 , EF ? DC1 ? ?EFB即为二面角B ? C1 D ? E的平面角 . 在?BEF中,? EF ? CE 2 ? CF 2 ? BE ? 1 2 2 2 即为所求 3 3 6 , BF ? CF 2 ? BC 2 ? 2 2

由余弦定理: cos?EFB ?

163.如图,立体图形 V-ABCD 中,底面是正方形 ABCD,其他四个侧面都是全等的正三角形,画出二面 角 V-AB-C 的平面角,并求它的度数.

解:设底面边长为 a,则侧面三角形的边长也为 a. 取 AB 的中点 E,DC 中点 F,连 VE、EF. ∵ 侧面△VAB 是正三角形, ∴ VE⊥AB. 又 EF∥BC,BC⊥AB,∴ EF⊥AB.

∠VEF 就是 V-AB-C 的平面角.

a2 ? (

cos∠VEF=

3 2 3 2 a) ? ( a) 3 2 2 ? 3 3 2a ? a 2 .

164. 已知二面角?-l-?是 45°角,点 P 在半平面?内,点 P 到半平面?的距离是 h,求点 P 到棱 l 的距离.

解:经 P 作 PB⊥?于 B, 经 P 在平面?内作 PA⊥l 于 A. 连 AB,则 AB⊥l. ∠PAB 就是二面角的平面角,∠PAB=45°. 那么在 Rt△PAB 中,PB=h,PA= 2 h. 165. 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证:它们所成的角与这个二面角的平面角 互补.

证明:如图 PQ⊥?,PQ⊥AB, PR⊥?,PR⊥AB, 则 AB⊥面 PQR. 经 PQR 的平面交?、?于 SR、SQ, 那么 AB⊥SR,AB⊥SQ. ∠QSR 就是二面角的平面角. 因四边形 SRPQ 中,∠PQS=∠PRS=90°,

因此∠P+∠QSR=180°. 166. 一张菱形硬纸板 ABCD 的中心是点 O, 沿它的一条对角线 AC 对折, 使 BO⊥DO, 这时二面角 B-AC-D 是多少度?要使二面角 B-AC-D 为 60°,点 B 和 D 间的距离应是线段 BO 的几倍?

解:因 ABCD 是菱形,故 AC⊥BD. 沿对角线 AC 折为空间图形后 BO⊥AC,DO⊥AC. ∠BOD 就是二面角 B-AC-D 的平面角. 因 BO⊥OD,故∠BOD=90°, 即二面角 B-AC-D 是 90°. 要使二面角 B-AC-D 为 60°. 因 BO=OD,故△BOD 是等边三角形, 此时 BD=BO. 167.四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB 垂直面 ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化,面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°. 解析::注意到题目中所给的二面角,面 PAD 与面 PCD 的棱为 PD,围绕 PD 而考虑问题解决途径.

证法一:利用定义法 经 A 在 PDA 平面内作 AE⊥PD 于 E,连 CE. 因底是正方形,故 CD=DA.

△CED≌△AED,AE=EC,∠CED=∠AED=90°, 则 CE⊥PD. 故∠CEA 是面 PAD 与面 PCD 所成二面角的平面角. 设 AC 与 BD 交于 O,连 EO,则 EO⊥AC.

2 因 2 OA= 2 × 2 =a,AE<AD<a.

AE 2 ? EC 2 ? (2OA) 2 ( AE ? 2OA)( AE ? 2OA) 2 AE ? EC AE 2 cos∠AEC= = <0.
所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°. 证法二:运用三垂线法 ∵ PB⊥面 ABCD,则 PB⊥AD,又 AD⊥AB, ∴ AD⊥面 PAB,即面 PAB⊥面 PAD. 过 B 作 BE⊥PA,则 BE⊥面 PAD. 在面 PBC 内作 PG BC,连 GD.

经 C 作 CF⊥面 PAD 于 F, 那么连结 EF,有 EF AD.

经 F 作 FH⊥PD 于 H,连 CH, 则∠FHC 是所求二面角平面角的补角. 因 CF⊥FH,故∠FHC 是锐角. 则面 PAD 与面 PCD 所成二面角大于 90°. 此结论证明过程中与棱锥高无关.

证法三:利用垂面法找平面角. 在证法一所给图形中 连 AC、BD,因 AC⊥BD,PB⊥面 ABCD, ∴ AC⊥PD. 经 A 作 AE⊥PD 于 E,那么有 PD⊥面 AEC,连 CE, 即 PD⊥CE. 故 PD 与平面 AEC 垂直后,面 AEC 与面 ADC 及面 ADP 的交线 EA、EC 构成角∠CEA 就是二面角的 平面角. 以下同证法一. 168. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,求平面 EB1C 和平面 ABCD 所成二面角的大小. 解:△EB1C 在底面 ABCD 内的射影三角形为 Rt△ABC. 因 E 点射影为 A,B1 点射影为 B.

设正方体棱长为 a,

1 则 S△ABC= 2 a2.
又在△EB1C 中,

3 5 B1E= 2 a,B1C= 2 a,EC= 2 a,

5 2 9 2 a ? a ? 2a 2 5 4 4 ? 5 5 3 2? a? a 2 2 故 cos∠B1EC= .

2 5 ∴ sin∠B1EC= 5 .
1 5 3 2 5 3 ∴ S ?B1EC = 2 × 2 a·2 a· 5 = 4 a2.
设面EB1C 和面 ABCD 所成的二面角为?,

则 cos?=

S ?ABC S ?B1EC

a2 ? 2 3 2 2 a 4 =3 .

2 那么所求二面角的大小为 arccos 3 .
评述:此题属无棱二面角问题,图中没有二面角的棱,我们也可以去找到棱来解决,但这里通过 射影而直接求角更方便.S′ =S△ABC,S= S ?B1EC . 169. 一个平面将空间分成几部分?二个平面将空间分成几部分?三个平面将空间分成几部分? 解析:2 部分,3或4部分,4或6或7或8部分

170. 如图:已知直线 l 与平行直线 a、b、c 都相交, 求证:l 与 a、b、c 共面。 设 L∩a=A, α l c

b

a

l∩b=A,L∩c=C,∵a∥b,∴a、b可确定一个平面α ,∵A∈a,B∈b,∴A∈α ,B∈α , ∴AB ? α ,即 L ? α .∵b∥c,∴b、c可确定一个平面β , 同理l ? β .∵α 、β 均过相交直线b、l,∴α 、β 重合,∴a、b、c、l共面; 7.提示:只需证明 P、Q、R 为平面 ABC 与α 的公共点; 171. 如图:已知△ABC 在平面α 外,AB∩α =P,AC∩α =R,BC∩α =Q。

求证:P、Q、R 三点共线。

A

B

C 解析:点在线上,线在面内,可得点在面内,证明 P,Q,R 三个点是平面

? 与平面 ABC 的公共点,即可。

Q

R

P

α

172. 如图:已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、AD、CB、CD 上的点,且直线 EF 和 HG 交于点 P,求证:点 B、D、P 在同一条直线上。 A 解析:∵直线EF∩直线,HG=P,∴P∈直线 EF,又 EF ? 平面 ABD, E ∴P∈平面 ABD,同理 P∈平面 CBD,由公理2,点 B、D、P 在同一条直线上。 B F D H G C

P

173. 如果把两条异面直线称作“一对” ,则在正方体十二条棱中,共有异面直线( )对 A.12 解析:B
D' A' B' C'

B.24

C.36

D.48

D A B

C

如图,棱 AA ' 有 4 条与之异面,所有所有棱能组成 4 ? 12=48 对,但每一对都重

复计算一次,所以有 48 对 ?

1 =24 对。 2

174. 已知正方形 ABCD 所在的平面和正方形 ABEF 所在的平面相交于 AB,M、N 分别是对角线 AC、BF 上 的点,且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE. 解析:作 NP∥AB 交 BE 于点 P,作 MQ∥AB 交 BC 于点 Q, 证 MNPQ 是平行四边形,再证 MN∥面 BCE. F A D M C N E B

175. 棱长为1的的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求证:平面 A1BD∥平面 CB1D1. 解析:过a和直线b上任意一点 P 作一平面γ 和平面β 交于 a ,∵α ∥β ,∴a∥ a ,∵ a ' ?
' '

?,

a ? ? , a ? ? ,∴ a ? ? ,∵ a ? b ? P , b ? ? ,b∥β ,
' '

'

∴α ∥β ;8.∵A1B∥D1C,∴A1B∥平面 CD1B1,同理 BD∥平面 CD1B1, ∵A1B ? 面 A1BD,BD ? 面 A1BD,∴面 A1BD∥面 CD1B1. 176. 已知(如图) :平面α ∥平面β , A、C∈α ,B、D∈β ,AB 与 CD 是异面直线,E、F 分别是线段 AB、 CD 的中点,求证:EF∥β . α A C α F αE β B D

解析:
0

如图作辅助线,可得中线平行。 A

D B D1

C

177. 如图:在△ABC 中,∠ACB=90 ,M 是 AB 的中点,PM⊥平面 ABC, C1 B1 求证:PA=PB=PC. 解析:连结 MC,由∠ACB= 90 ,M 为 AB 的中点,MB=MC=MA, ∴PM⊥面 ABC,∴∠PMA=∠PMB=∠PMC= 90 ,又 PM 公用,∴△PMA≌△PMB≌△PMC,∴PA=PB=PC; 178. 四边形 ABCD 是距形,AB=2,BC=1,PC⊥平面 AC,PC=2,求点 P 到 BD 的距离.
0 0

A1

解析:作 CE⊥BD 于 E,连结 PE,

2 30 5

179. 如图:在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过点 A 作 PA⊥平面 ABC,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F, (1)求 证:BC⊥平面 PAC; (2)求证:PB⊥平面 AEF. P E F A C B

解析: (1)PA⊥面 ACB,∴PA⊥BC,BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC.(2)(1)知 BC⊥AF,

又 AF⊥PC,∴AF⊥面 PBC,∴AF⊥PB,又 PB⊥AE,∴PB⊥面 AEF. 180. 如图:ABCD—A1B1C1D1 是正方体.求证: (1)A1C⊥D1B1; (2)A1C⊥BC1 解析: (1)连 A1C1,则 A1C1⊥B1D1, 又 CC1⊥面 A1C1,由三垂线定理可知 A1C⊥B1D1, (2)连 B1C, 仿(1)可证; D A B A1 B1 C

D1

C1

181. 如图:PA⊥平面 PBC,AB=AC,M 是 BC 的中点,求证:BC⊥PM. 解析:由 AB=AC 得AAM⊥BC,又 PA⊥面 PBC,BC ? 面 PBC,∴BC⊥AP, A ∴BC⊥面 AMP,∴BC⊥PM

P

C M B

182. 如图:Rt△ABC 中,∠B=90 ,P 为三角形所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,指出四面 P 体 P—ABC 中有哪些三角形是直角三角形,说明理由. 由 PA⊥面 ABC 得 PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC;又 BC⊥AB, ∴BC⊥面 PBA,∴△PAB,△PBC,△PAC,△ABC 都是直角三角形 A B C

0

183. 已知直线 a∥直线 b,a⊥平面α ,求证 b⊥α . 解析:过a与α 的交点作两相交直线m、n,由a⊥α ,则a⊥m,a⊥n,又b∥a,∴ b⊥m,b⊥n,

∴b⊥α 184. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 CC1 中点,F 为 AC 和 BD 的交点. 求证:A1F⊥平面 BED. 解析:∵AA1⊥面 ABCD,AF 是 A1F 在 ABCD 上的射影,由 AC⊥BD 得 A1F⊥BD,取 BC 的中点 G,连 FG,B1G,由 AB⊥BC1,∴FG⊥面 BC1, ∴B1G 是 A1F 在面 BC1 上的射影,又 B1G⊥BE,∴BE⊥A1F,∴A1F⊥面 BED; 185. P 是 ?ABC 所在平面外一点,若 ?PBC 和 ?ABC 都是边长为 2 的正三角形,PA= 6 , 求二面角 P-BC-A 的大小。

900 解析:取BC的中点D,连结 PD、AD,易证∠PDA 为二面角的平面角
186. 如图, ?ABC 是等腰直角三角形,AC=BC=a,P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA=PB=PC= 2a 。 (1)求证:平面 PAB ? 平面 ABC; (2)求 PC 与 ?ABC 所在平面所成的角。 P
A

A
A

A


A

C 解析:
0

A

A A

A

(1)取 AB 的中点O,连 PO,证明 PO⊥面 ABC,(2) 60

187. 如图,A 是直二面角 ? ? EF ? ? 的棱 EF 上的点,AB、CD 分别是 ? 、 ? 内的射线,

?EAB ? ?EAC ? 45 ,求 ?BAC 的大小.
E 解析: 60
0

B A C

α F
A A

βA
A A A

作 BO ? DF,可得 BO ? 平面 ? ,解三角形 ABC,根据余弦定理 可得。 188. (如图)已知正方形 ABCD 的边长为 1,过 D 作 PD ? 平面 ABCD,且 PD=1,E、F 分别是 AB 和 CD 的中点。 (1)求 D 点到平面 PEF 的距离; (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离。

P

D F A E B

C

解析: ?1?

3 17 17 , ?2? 17 17

1.作 DG ? 直线 PF, 则可得 AC ? 平面 PDB, 所以 EF ? 平面 PDB? EF ? DG ?DG ? 平面 PEF。 DG 为 D 点到平面 PEF 的距离 2.过点 O 作平行于 DG 的直线,则为所求。 189. 在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC 和 SC 于 D 和 E,又 SA=AB,SB=BC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角度数. ∵E 为 SC 的中点 ∴BE⊥SC ∴SC⊥面 BDE SC⊥BD 面 SA⊥BD ∴BD⊥面 SAC 即 BD⊥ AC BD⊥DE ∴∠EDC 为所求.

设 SA=a 则 AB=a SB=BC= 2 a SC=2a ∠ASC=60° ∠SCA=30° ∠EDC=60°

190. P 是△ABC 所在平面外一点,PA、PB、PC 两两垂直,G 为 △PAB 的重心,E、F 分别是 BC、PB 上的点,且 BE∶EC=PF∶ FB=

1 ,求证:平面 GEF⊥平面 PBC 2 GB 2 BF ? ? GN 1 PF
∴GF∥PA.

解析:∵G 为△PAB 的重心,∴

∵PA⊥PB PA⊥PC,∴PA⊥面 PBC.∴GF⊥面 PBC,∴面 GFE⊥ 面 PBC. 191. 如图 1 所示,边长 AC=3,BC=4,AB=5 的三角形简易遮阳棚,其 A、B 是地面上南北 方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成 30°角,试问:遮阳棚 ABC 与地面成多 大角度时,才能保证所遮影面 ABD 面积最大?

解析: 易知,Δ ABC 为直角三角形,由 C 点引 AB 的垂线,垂足为 Q,则应有 DQ 为 CQ 在地 面上的斜射影,且 AB 垂直于平面 CQD,如图 2 所示. 因太阳光与地面成 30°角,所以∠CDQ=30°,又知在Δ CQD 中,CQ=

12 ,由正弦定理,有 5

CQ QD = , sin 30? sin ?QCD

即 QD=

6 sin∠QCD. 5

为使面 ABD 的面积最大,需 QD 最大,这只有当∠QCD=90°时才可达到,从而∠CQD= 60°.

故当遮阳棚 ABC 与地面成 60°角时,才能保证所遮影面 ABD 面积最大. 192. 如图所示,已知三棱锥 S—ABC 中,SA=SB=SC,且 AC +BC =AB ,由此可推出怎样的 结论? 解析: 引 SO⊥平面 ABC(O 为垂足),连结 OC. ∵SA=SB=SC,∴OA=OB=OC, ∴O 是Δ ABC 的外心,(结论 1) 又∵AC +BC =AB ,
2 2 2 2 2 2

∴Δ ABC 是直角三角形,且 AB 是斜边,故 O 是斜边 AB 的中点.因而 SO ? 平面 SAB(结论 2) ∴平面 SAB⊥平面 ABC(结论 3) 193. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长均为 2,M 为 AA1 中点,N 为 BC 的中点,则在棱柱的 表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.

解析: (1)从侧面到 N,如图 1,沿棱柱的侧棱 AA1 剪开,并展开,则 MN=

AM 2 ? AN 2 =

12 ? (2 ? 1) 2 = 10
(2)从底面到 N 点,沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开,如图 2.

则 MN=

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos120?

= 1 ? ( 3 ) ? 2 ?1? 3 ?
2 2

1 = 4? 3 2

∵ 4 ? 3 < 10

∴ MN min = 4 ? 3 . 194. 已知二面角 A—BC—D 为 150°,Δ ABC 是边长为 a 的等边三角形,Δ BCD 是斜边为 BC 的等腰直角三角形.求两个顶点 A 和 D 间的距离.

解析:.取 BC 的中点 E,连 DE 和 AE,利用余弦定理 AD=

7 a 2

195. .如图,ABCDEF 为正六边形,将此正六边形沿对角线 AD 折叠.

(1)求证:AD⊥EC,且与二面角 F—AD—C 的大小无关; (2)FC 与 FE 所成的角为 30°时,求二面角 F—AD—C 的余弦值. 解析:(1)正六边形 ABCDEF,在折叠前有 AD⊥EC,设 AD 与 EC 交于 M,折叠后即有 AD⊥ME, AD⊥MC.则 AD⊥平面 EMC,无论∠EMC 的大小如何,总有 AD⊥EC.(2)利用余弦定理,有 cos ∠EMC=

7 9

196. 在直角 BVC 的角顶点 V,作直角所在平面的斜线 VA,使二面角 A—VB—C 与二面角 A —VC—B 都等于 45°,求二面角 B—VA—C 的度数. 解析:在 VA 上取 A′作平面 VCB 的垂线,垂足为 O,作 OC′⊥VC,OB′⊥VB,连 A′C′、 A′B′,则∠A′C′O 和∠A′B′O 分别为二面角 A-VC—B 与二面角 A—VB—C 的平面角. 易证 VB′OC′为正方形.设 VB′=a,可求得 A′B′= 2 a.VA′= 3 a.过 B′作 B′D⊥ VA,

连结 C′D.则∠B′DC′为二面角 B—VA—C 的平面角.在 RtΔ B′VA′中, 可求 B′D=

6 a, 3

又 DE⊥B′C′,B′E= 为 120°.

2 a,则在 RtΔ B′DE 中可求得∠B′DE=60°.二面角 B—VA—C 2

197. 已知直线 l 与平面α 内交于一点 O 的三条直线 OA、OB、OC 成等角,求证:l⊥α

解析:若 l 过 O 点,在 l 上任取一点 P,作 PH⊥α ,垂足 H,则 H 即在∠AOB 的平分线上, 又在∠BOC 的平分线上,∴H 是它们的公共点,故 H 与 O 重合;若 l 不过 O 点,可作过 O 的 直线 l′,使 l′∥l 即可证明.

198. 空间四边形 ABCD 的各边与两条对角线的长都为 1,点 P 在 AD 上移动,点 Q 在 CB 上移 A 动,求点 P 与点 Q 的最短距离。

2 2

P B Q C D

解析: 角形 BQP 中可求得。

如图作辅助线,可得 PQ 为 AD,BC 的公垂线。在直角三

199. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( A.三棱锥 解析:D B.四棱锥 C.五棱锥



D.六棱锥

A

B O C

ABC 是正三角形,所以 OC=AC,而 AOC 是直角三角形,OC 为直
角边,AC 为斜边,矛盾,所以正棱锥不是六棱锥。 200. A、B 为球面上相异的两点,则通过 A、B 可作大圆( A.一个 解析:D 当 A,B 点在球直径上, ,这样的大圆有无数个,当不在球直径上,与球心 O 三个点唯一确定 一个平面。 B.无穷多个 C.零个 )

D.一个或无穷多个


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