山东省高中数学《3.3.1几何概型》课件 新人教A版必修3_图文

3.3

几何概型

3.3.1 几何概型
【课标要求】 1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率. 【核心扫描】 1.几何概型的特点及概念.(重点) 2.应用几何概型的概率公式求概率.(难点) 3.应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过 程.(易错点)

自学导引
几何概型 1. 长度 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______ 面积 或______) 体积 成比例,则称这样的概率模型为几何概率 (_____ 模型,简称_________ 几何概型 . 概率公式 2. 在几何概型中,事件 A 的概率计算公式如下:P(A)=
构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? ____________________________________________.

几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗? 提示 几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关, 而与构成事件的区域形状无关.

名师点睛
1. 几何概型概率的适用情况和计算步骤 (1)适用情况: 几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验 结果的情况,每种结果的出现也要求必须是等可能的.而 且事件发生在一个有明确范围的区域中,其概率与构成该 事件区域的长度(面积或体积)成比例. (2)计算步骤: ①判断是否是几何概型,尤其是判断等可能性,比古典概 型更难于判断. ②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域 的几何度量(长度、面积或体积).这是计算的难点. ③利用概率公式计算.

特别提示

在使用几何概型中,事件 A 的概率计算公式

构成事件 A的区域长度?面积或体积? P(A)= 时,公式中 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 分子和分母涉及的几何度量一定要对等.即若一个是长度,则另 一个也是长度.一个若是面积,则另一个也必然是面积,同样, 一个若是体积,另一个也必然是体积.

几何概型的处理方法 2. 有关几何概型的计算的首要任务是计算事件A包含的基本 事件对应的区域的长度、角度、面积或体积,而这往往很 困难,这是本节难点之一,实际上本节的重点不在于计算, 而在于如何利用几何概型,把问题转化为各种几何概型问 题,为此可以参考以下办法:①适当选择观察角度(原则 是基本事件无限性、等可能性);②把基本事件转化为与 之对应的区域;③把随机事件A转化为与之对应的区域; ④利用概率公式给出计算;⑤如果事件A的对应区域不好 处理,可以用对立事件概率公式逆向思考.

题型一

与长度有关的几何概型

【例1】如图A,B两盏路灯之间的距离是30米, 由于光线较暗,想在其间再随意安 装两盏路灯C、D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10 米的概率是多少?

[思路探索] 在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个 基本事件,基本事件有无限多个,且每一个基本事件的发 生都是等可能的,因此事件发生的概率只与长度有关,符 合几何概型条件.

解 记 E: “A 与 C, B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”, 1 把 AB 三等分, 由于中间长度为 30× =10(米), 所以 P(E) 3 10 1 = = . 30 3

规律方法 将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随 机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一 个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求 解.

【变式1】取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得的两段长度都不小于1 m的概率为多大?
解 如图所示,记 A= {剪得的两段绳

长都不小于 1 m},把绳子三等分,于

是当剪断点处在中间一段时,事件 A 发生.由于中间一段 1 的长度为 3× =1(m),所以事件 A 发生的概率为:P( A) 3 1 = . 3

题型二

与面积有关的几何概型

【例2】一只海豚在水池中自由游弋,水池为长30 m,宽20 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. [思路探索] 海豚在水池中自由游弋,其位置有无限个,且 在每个位置是等可能的,故这是几何概型问题,海豚游弋 区域的面积与水池面积之比就是所求的概率.

解 如图所示,区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A: “海豚嘴尖离岸边不超过2 m”,问题可以 理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分 的概率. 由于区域Ω的面积为30×20=600(m2),阴影部分的面积为 30×20-26×16=184(m2). 184 23 所以 P(A)= = ≈0.31. 600 75
即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率约为 0.31.

规律方法 此类几何概型题,关键是要构造出随机事件对 应的几何图形,利用图形的几何特征找出两个“面积”,套 用几何概型公式,从而求得随机事件的概率.

【变式2】已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y),求当x,y∈R 时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.

解 如图,点P所在的区域为正方形 ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y -2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心,2为 半径的圆面(含边界). 1 π×22 4 π ∴所求的概率 P1= = . 4×4 16

题型三

与体积、角度有关的几何概型

【例3】已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a,在正方体内 随机取一点M. (1)求点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率;
a (2)求点 M 与平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于 的 3 概率; 1 3 (3)求使四棱锥 M -ABCD 的体积小于 a 的概率. 6 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间 的度量关系,再利用相关公式求出其概率.

[规范解答] (1)棱长为 a 的正方体的体积 V= a3. 1 由正方体的性质可知 VB1- A1BC1= a3. 6 ∴点 M 落在三棱锥 B1-A1BC1 内的概率为 VB1- A1BC1 1 P= = . (4 分 ) V 6 (2)∵两平行平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离为 a,∴点 M a 1 距离平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于 的概率为 . 3 3 (8 分 ) 1 2 1 3 (3)设点 M 到平面 ABCD 的距离为 h,由题意,得 a h< a , 3 6 a ∴ h< . 2 1 3 1 ∴使四棱锥 M- ABCD 的体积小于 a 的概率为 . (12 分 ) 6 2

【题后反思】 分清题中的条件,提炼出几何体的形状, 并找出总体积是多少.以及所求的事件占有的几何体是什 么几何体并计算出体积.

【变式3】在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM 交线段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率. 解 如图所示,因为过一点作射线是均匀 的,因而应把在∠ACB内作射线CM看做 是等可能的,基本事件是射线CM落在 ∠ACB内任一处,使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大小 有关,这符合几何概型的条件. 设事件D为“作射线CM,使|AM|>|AC|”. 在 AB 上取点 C′使 |AC′|= |AC|,因为△ ACC′是等腰 180° -30° 三角形,所以∠ ACC′= =75° , 2 15 1 μA=90-75= 15,μΩ=90,所以 P(D)= = . 90 6

方法技巧

数形结合思想

数形结合的思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系 和直观的图形结合起来.包含“以形助数”和“以数辅形”两 个方面.在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形 问题(或符合条件的点集问题)去解决.

【示例】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定 先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能 会面的概率. [思路分析] 甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6 时到7时之间的任一时刻,如果在平面直角坐标系内用x轴 表示甲到达约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的 时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60 与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲乙两 人分别在6时到7时时间段内到达的时间,而能会面的时间 由|x-y|≤15所对应的图中阴影部分表示.由于每人到达的 时间都是随机的,所以正方形内每个点都是等可能被取到 的(即基本事件等可能发生),所以两人能会面的概率只与 阴影部分的面积有关,这就转化成与面积有关的几何概型 问题.



以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到

达约定地点的时间,则两人能够会面的充 要条件是 |x - y|≤15. 如图平面直角坐标 系下, (x,y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形, 而事件 A“两人能够会面”的可 能结果由图中的阴影部分表示,由几何概

SA 602-452 7 型的概率公式得 P(A )= = = . 2 S 60 16

方法点评 本题的难点是把两个时间分别用x、y两个坐标 轴表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间这一个一维 长度问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积型 几何概型问题,这种方法是解决这类问题的常用手法,不 失为一种好方法.


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