【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版数学选修2-2教学案:第一章4数学归纳法

§ 4 数学归纳法 [对应学生用书P10] 在学校,我们经常会看到这样一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学不小心将 第一辆自行车弄倒了,那么整排自行车就会倒下. 问题 1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件? 提示:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆 倒下. 问题 2:这种现象对你有何启发? 提示:这种现象使我们想到一些与正整数 n 有关的数学问题. 数学归纳法及其基本步骤: 数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法,它的基本步骤是: (1)验证:n=1 时,命题成立; (2)在假设当 n=k(k≥1)时命题成立的前提下,推出当 n=k+1 时,命题成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数 n 都成立. 1.数学归纳法仅适用于与正整数 n 有关的数学命题的证明. 2.应用数学归纳法时应注意: (1)验证是证明的基础,递推是证明的关键,二者缺一不可; (2)在证明 n=k+1 命题成立时,必须使用归纳假设的结论,否则就不是数学归纳法. [对应学生用书P11] 用数学归纳法证明等式 [例 1] 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - = + +…+ (n∈N+). 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 [思路点拨] 运用数学归纳法由 n=k 到 n=k+1,等式左边增加了两项.结合等式右 边的结构特点,进一步确定所需要的项及多余项,最后凑成所需要的结构形式即可. 1 1 [精解详析] (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 右边= 1 1 = . 1+1 2 左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1)时等式成立,即 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - 2 3 4 2k-1 2k = 1 1 1 + +…+ , 2k k+1 k+2 则当 n=k+1 时, ?1-1+1-1+…+ 1 - 1 ?+? 1 - 1 ? 2k-1 2k? ?2k+1 2k+2? ? 2 3 4 1 1 1 1 1 =?k+1+k+2+…+2k?+?2k+1-2k+2? ? ? ? ? = = 1 1 1 1 + +…+ + k+2 k+3 2k+1 2k+2 1 1 1 1 + +…+ + . ?k+1?+1 ?k+1?+2 ?k+1?+k 2?k+1? 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1)和(2)可知,对一切正整数 n 等式都成立. [一点通] 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题, 关键在于“看项”, 弄清 等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关,由 n=k 到 n=k+1 时,等式两边会增加多少项,增加了怎样的项. 1.用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中 n∈N+). 证明:(1)当 n=1 时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时等式成立, 即 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2, 那么,当 n=k+1 时, 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1) +1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当 n=k+1 时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N+都成立. 2.用数学归纳法证明: n2?n+1?2 当 n∈N+时,1 +2 +3 +…+n = . 4 3 3 3 3 12×22 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1,等式成立. 4 (2)假设当 n=k(k∈N+)时,等式成立,即 k2?k+1?2 1 +2 +3 +…+k = . 4 3 3 3 3 那么,当 n=k+1 时,有 13+23+33+…+k3+(k+1)3 k2?k+1?2 = +(k+1)3 4 k2 ? =(k+1)2? ? 4 +k+1? k2+4k+4 =(k+1) 4 2 ?k+1?2?k+2?2 = 4 ?k+1?2[?k+1?+1]2 = . 4 即当 n=k+1 时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知对任何 n∈N+等式都成立. 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 5 [例 2] 求证: + +…+ > (n≥2,n∈N+). 3n 6 n+1 n+2 [思路点拨] 在由 n=k 到 n=k+1 的推证过程中可考虑使用“放缩法”,使问题简单 化,这是利用数学归纳法证明不等式的常用方法之一. [精解详析] (1)当 n=2 时, 1 1 1 1 5 左边= + + + > ,不等式成立. 3 4 5 6 6 (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立,即 1 1 1 5 + +…+ > , 3k 6 k+1 k+2 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 + +…+ + + + 3k 3k+1 3k+2 3?k+1? ?k+1?+1 ?k+1?+2 = 1 1 1 1 1 1 + +…+ +?3k+1+3k+2+3k+3- 3k ? k+1 k+2 1 ? 5 ? 1 1 1 1 ? 5 ? 1 1 ? 5 + + - 3× - k+1?>6+?3k+1 3k+2 3k+3 k+1?>6+? 3k+3 k+1?=6, 所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式对一切 n≥2,n∈N+均成立. [一点通] 对于与正整数有关的不等式的证明, 如果用其他方法比较困难, 此时可考虑 使用数学归纳法证明. 使用数学归纳法的难点在第二个步骤上, 这时除了一定要运用归纳假 设外,还要较多地运用不等式证明的其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归 纳假设相联系的突破口. 1

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