高中数学 第一章 三角函数 1_6 三角函数模型的简单应用课时作业 新人教版必修4

【创新设计】 (浙江专用)2016-2017 高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课时作业 新人教版必修 4
1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系 π? ? 式为 s=6sin?100π t+ ?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( 6? ? )

1 A. s 50

1 B. s 100

C.50 s

D.100 s

2π 1 解析 T= = (s). 100π 50 答案 A 2.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口 的车流量由函数 F(t)=50+4sin (其中 0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t 的单位是 2 分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( A.[0,5] C.[10,15] )

t

B.[5,10] D.[15,20]

π t π 解析 由- +2kπ ≤ ≤ +2kπ 得-π +4kπ ≤t≤π +4kπ ,k∈Z,当 k=1 时,3π 2 2 2 ≤t≤5π . 答案 C 3.如图所示,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, ︵ 点 P 所旋转过的弧AP的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致是( )

-1-

解析 d=f(l)=2sin . 2 答案 C

l

?π ? 4.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin? x+φ ?+k,据此 ?6 ?
函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为_______.

解析 由图象可知函数的最小值为 2,故有-3+k=2, ∴k=5,∴水深的最大值为 3+k=8. 答案 8 5.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为:

s=6sin?2π t+ ?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为_______秒. 6

? ?

π?

?

π? 2π ? 解析 ∵s=6sin?2π t+ ?,∴单摆来回摆动一次所需的时间为 T= =1(s). 6? 2π ? 答案 1 6.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离 s(单位:cm)和时间 t(单位:s)的函数关 π? ? 系式为 s=6sin?2π t+ ?. 6? ? (1)作出函数的图象. (2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少? 解 (1)①列表 π 2π t+ 6 π 6 0 π 2 1 6 π 5 12 3π 2 2 3 2π 11 12 π 2π + 6 1

T

-2-

S
②描点连线

3

6

0

-6

0

3

再利用周期性将图象向右平移得 t∈[0,+∞)上的图象.

π (2)因为当 t=0 时,s=6sin =3, 6 所以此时离开平衡位置的距离是 3 cm. 7.如图所示,某地夏天从 8~14 时的用电量变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b.

(1)求这一天的最大用电量及最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解 (1)最大用电量为 50 万 kW·h,最小用电量为 30 万 kW·h. (2)观察图象可知从 8~14 时的图象是 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象, 1 1 ∴A= ×(50-30)=10,b= ×(50+30)=40. 2 2 1 2π π ∵ × =14-8,∴ω = . 2 ω 6

?π ? ∴y=10sin? x+φ ?+40. ?6 ?
π 将 x=8,y=30 代入上式,解得 φ = . 6 π? ?π ∴所求解析式为 y=10sin? x+ ?+40,x∈[8,14]. 6? ?6 8.如图,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始,按逆时针方向 以角速度 ω rad/s 做圆周运动,求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系,并求点的运动 周期和频率.

-3-



当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时,点 P 转过的角度为 ω t,则∠POx=ω t+φ .

由任意角的三角函数得点 P 的纵坐标为

y=rsin(ω t+φ ),
即为所求的函数关系式. 2π 1 ω 点 P 的运动周期为 T= ,频率为 f= = . ω T 2π 能 力 提 升 9.动点 A(x,y)在圆 x +y =1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 s 旋转一周.已知时 3? ?1 间 t=0 时,点 A 的坐标是? , ?,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: ?2 2 ? s)的函数的单调递增区间是( A.[0,1] C.[7,12] ) B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]
2 2

解析 动点 A 的纵坐标关于 t 的函数可设为

y=Asin(ω t+φ )(t≥0).
2π π 3 π 由已知可得:A=1,ω = = ,sinφ = ,故可取 φ = . 12 6 2 3 ∴y=sin?

?π t+π ?(t≥0), 3? ?6 ?

π π π π 由- +2kπ ≤ t+ ≤ +2kπ ,得-5+12k≤t≤1+12k.又∵0≤t≤12, 2 6 3 2 令 k=0,得 0≤t≤1.令 k=1 得 7≤k≤12. 答案 D 10.据市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上, 按月呈 f(x)=Asin(ω x+φ ) π +b(A>0,ω <0,|φ |< )的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,7 月份 2 价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( A.f(x)=2sin? B.f(x)=9sin? )

?π x-π ?+7(1≤x≤12,x∈N*) 4? ?4 ? ?π x-π ?(1≤x≤12,x∈N*) 4? ?4 ?

π * C.f(x)=2 2sin x+7(1≤x≤12,x∈N ) 4
-4-

D.f(x)=2sin?

?π x+π ?+7(1≤x≤12,x∈N*) 4? ?4 ?

9-5 解析 令 x=3,可排除 D,令 x=7,可排除 B,由 A= =2,可排除 C.或由题意,可得 2

A=

9-5 2π π ?π ? =2, b=7, 周期 T= =2×(7-3)=8, ∴ω = .于是 f(x)=2sin? x+φ ?+7, 2 ω 4 ?4 ?

π 再代入点(3,9),结合 φ 的范围可求得 φ =- . 4 答案 A 11.电流强度 I(安培)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ω t+φ )的图象如图所示,则 t= 秒时的电流强度为_______. 7 120

解析

1 π ω +φ = , ? ?300 2 根据图象得 A=10,由? 4 3 ω +φ = π , ? ?300 2

ω =100π , ? ? π? ? ∴? ∴I=10sin?100π t+ ?. π 6? ? φ= , ? 6 ? 当 t= 7 秒时,I=10sin 6π =0. 120

答案 0 12.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时, 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合, 将 A、 B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数, 则 d=______, 其中 t∈[0,60]. 解析 将解析式可写为 d=Asin(ω t+φ )的形式,由题意易知 A=10,当 t=0 时,d=0, 得 φ =0;当 t=30 时,d=10, π πt 可得 ω = ,所以 d=10sin . 60 60 答案 10sin πt 60

13.如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈,如 果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间.

-5-

(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间? 解 (1)如图所示建立直角坐标系,

? π ? 设角 φ ?- <φ <0?是以 Ox 为始边,OP0 为终边的角. 2 ? ?

OP 每秒钟内所转过的角为

5×2π π = . 60 6

π 则 OP 在时间 t(s)内所转过的角为 t. 6 由题意可知水轮逆时针转动,

?π ? 得 z=4sin? t+φ ?+2.当 t=0 时,z=0, ?6 ?
1 π 得 sin φ =- ,即 φ =- . 2 6 故所求的函数关系式为 z=4sin?

?π t-π ?+2. 6? ?6 ?

π? π? ?π ?π (2)令 z=4sin? t- ?+2=6,得 sin? t- ?=1, 6 6 6 6? ? ? ? π π π 令 t- = ,得 t=4, 6 6 2 故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s. 探 究 创 新 14.某港口水深 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作 y=f(t),下面是某日水 深的数据.

t/小时 y/米

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 9.9

21 7.0

24 10.0

经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Asin ω t+b 的图象.

-6-

(1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似解析式; (2)一般情况下, 船舶航行时, 船底高出海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果 该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的 时间). 解 (1)由已知数据,描出曲线如图:

易知函数 y=f(t)的周期 T=12,振幅 A=3,b=10, 2π π π ∴ω = = ,∴y=3sin t+10. T 6 6 (2)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5 米, 由 y≥11.5,得 3sin π π 1 t+10≥11.5,∴sin t≥ ,① 6 6 2

π ∵0≤t≤24,∴0≤ t≤4π ,② 6 π π 5 13 π 17 由①②得 ≤ t≤ π 或 π ≤ t≤ π . 6 6 6 6 6 6 化简得 1≤t≤5 或 13≤t≤17. ∴该船最早能在凌晨 1 时进港,下午 17 时出港,在港内最多可停留 16 小时.

-7-


相关文档

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课时作业新人教版必修4
新人教版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课时作业必修四
2019新人教版高中数学第一章三角函数1-6三角函数模型的简单应用课时作业必修四
精心整理2019新人教版高中数学第一章三角函数1-6三角函数模型的简单应用课时作业必修四
高中数学精讲优练课型第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课时提升作业新人教版必修4
2016_2017高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课时作业新人教版必修4
高中数学第一章三角函数1_6 三角函数模型的简单应用课时作业 新人教版必修4
2015-2016学年高中数学 1.6三角函数模型的简单应用课时作业 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:1.6 三角函数模型的简单应用(含答案)
高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课时提升作业 新人教版必修4
电脑版