山东省淄博市博山实验中学2013届高三12月月考数学(文)试题(答案不全)

高三 12 月数学(文科)月考试题
2012/12/1 说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)共两卷.其中第 l 卷共 60 分,第 II 卷共 90 分,两卷合计 I50 分.答题时间为 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上.) 1 设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( ) A [1,2) B [1,2] C ( 2,3] D [2,3] 2. 复数 A. -1

5i 5 的虚部是( 1 ? 2i
B. 1

) C. I D . –i

3. 已知向量 a=(2,1) ,b=(-1,k) (2a-b)=0,则 k=( ) ,a· A. -12 B. -6 C. 6 D. 12

4. 设 ?、? 为两个不同的平面,m 、n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? ,有两个命题:

p :若 m // n ,则 ? // ? ; q :若 m ? ? ,则 ? ? ? ;那么(
A. p 或 q ”是假命题 “ C. “非 p 或 q ” 是假命题

)
[来源:Zxxk.Com]

B. p 且 q ”是真命题 “

D. “非 p 且 q ”是真命题

5.设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图像关于 直线 x =3 对称,则下面正确的结论是( ) A f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) C f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) B f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) D f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)

6.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A, B (如图) ,要测算 A, B
? ? 两点的距离, 测量人员在岸边定出基线 BC , 测得 BC ? 50m , ABC ? 105 , ?BCA ? 45 , ?

就可以计算出 A, B 两点的距离为( A. 50 2 m C. 25 2 m B. 50 3 m D.

)

A

25 2 m 2

C

B

7. 调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一,交通法规规定:驾驶员在驾驶机 动车时血液中酒精含量不得超过 0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速 上升到 0.8mg/ml ,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时 50%的速度减少,则他至少要 经过( A.1 )小时后才可以驾驶机动车. B.2 C.3 D.4 )

8.设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8

9. 设 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 实 数 集 R , 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数

? f ( x) f k ( x) ? ? ?k

( f ( x) ? k ) 2 , 给 出 函 数 f ( x) ? ? x ? 2 , 若 对 于 任 意 的 ( f ( x) ? k )
( )

x ? (??, ??) ,恒有 fk ( x) ? f ( x) ,则
A.k 的最大值为 2 B.k 的最小值为 2 C.k 的最大值为 1 D.k 的最小值为 1 10. 若一个螺栓的底面是正六边形,它的主视图和俯视图如图所 示,则它的体积是( ) A. 27 3 +12π C. 27 3 +3π B. D. 9 3 +12 π 54 3 +3π

?log2 x, x ? 0 ? 11 若函数 f ( x ) ? ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( 1 ? 2 ?
? ) A. (? 1,0)(0,1 ( ? )( ) D. ? ?, 1 ? 0,1
? )( ? B. ( ? ?, 1 ? 1, ?)

)

?1? C. (? 1,0)( , ?)

12.已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状, 记 A(m, n) 表示第 m 行

1 3

n

10 ) 的第 n 个数,则 A( ,12 =(
A.

)

1 92 ( ) 3

B.

1 93 ( ) 3

( C. )

1 3

94

( D. )

1 3

112

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本题共 4 个小题,每题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.

?x ? y ?1 ? 0, ? 13.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 , 则 z= 2x ? y 的最大值为___ _. ? x ? 1, ?
14.已知奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值 为___ _ 15.已知向量 a ? ?x,?2?, b ? ? y,1? ,其中 x,y 都是正实数,若 a ? b ,则 t ? x ? 2 y 的最小 值是_______. 16.下列命题:

7 2

[来源:Z,xx,k.Com]

①函数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 在 ?0, ? ?上是减函数; 2?
[来源:学#科#网]

②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x ? y ? 0 两侧;

③数列 ?a n ?为递减的等差数列, a1 ? a5 ? 0 ,设数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,则当 n ? 4 时,

Sn 取得最大值;
④定义运算 b1
a1
a2 b2

? a1b2 ? a2b1,则函数 f ?x ? ?

x 2 ?3 x 1 ? 1? 1 x 的图象在点 ? 1, ? 处的 x 3

? 3?

切线方程是 6 x ? 3 y ? 5 ? 0. 其中正确命题的序号是_________(把所有正确命题的序号都写上). 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 1 ? 2sin 2 x, x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 得到的图像再向左平移

? 单位,得到的函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在 6

1 ,把所 2

区间 ? 0,

? ?? 上的最小值. ? 8? ?

18.在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b ? c ? bc ? a
2 2

2

(1)求∠A; (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围。
2 2

19. (本小题满分 12 分) 如图 ,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (I)求证:CE⊥平面 PAD; (11)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体积

20.(本小题满分 12 分 ) 已知等差数列 ?an ? 满足: an?1 ? an (n ? N* ) , a1 ? 1 ,该数列的 前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为等比数列 ?bn ? 的前三项. (Ⅰ)分别求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ?

a a1 a2 ? ? ? ? n (n ? N* ), 求证: b1 b2 bn

Tn ? 3

21. (本小题满分 13 分)某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢 写字楼,规划 要求写字楼每层建筑面积为 2 000 平方米. 已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 0 00 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的表达式;(总开发费用 =总建筑费用+购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?

22.(本小题满分 13 分)设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

(2)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (3)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) <

1 x

1 对任意 x >0 成立. a

[来源:Zxxk.Com]

答案 17 解: (1)因为 f ( x) = 2 3sin x cos x + 1- 2sin 2 x = = 2 sin( 2 x ?

3sin 2 x + cos 2 x
?????? 4

?
6

),

分 函数 f(x)的最小正周期为 T = ? . 由 2k? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

2

,k ? Z ,

] , k?Z . ?????? 9 分 3 6 5? 5? 5 4 ? ) ,当 x ? [0, ] 时, 4 x ? (2)根据条件得 g (x) = 2 sin( 4 x ? ?[ ?, ?], 6 8 6 6 3 ? 所以当 x = 时, g ( x)min = - 3 . ??????12 分 8

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

?

, k? ?

?

18 解:①由余弦定理知:cosA=

b2 ? c2 ? a2 1 = 2bc 2
??????4 分

∴∠A=

? 3
a b c ? ? ?2 sin A sin B sin C

②由正弦定理得:

∴b=2sinB, =2sinC c ∴b +c =4(sin B+sin C)=2(1-cos2B+1-cos2C)
2 2
2 2

??????6 分

2? -B) 3 4? =4-2cos2B-2cos( -2B) 3
=4-2cos2B-2cos2( =4-2cos2B-2(-

3 1 cos2B- sin2B) 2 2

=4-cos2B+ 3 sin2B =4+2sin(2B- 又∵ 0 <∠B<

? ∴ ?1<2sin(2B- )≤2 6

2? 3

? ) 6
∴?

??????10 分

?
6

<2B-

? 7? < 6 6

∴3<b +c ≤6

2

2

??????12 分

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (I)求证:CE⊥平面 PAD; (11)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体积 (I)证明:因为 PA ? 平面 ABCD, CE ? 平面 ABCD, 所以 PA ? CE. 因为 AB ? AD, CE / / AB, 所以CE ? AD. ? 又 PA ? AD ? A, 所以 CE ? 平面 PAD (II)由(I)可 知 CE ? AD , ????6 分 ?2 分 ???4 分

在 Rt ?ECD 中,DE=CD ? cos 45? ? 1, CE ? CD ? sin 45? ? 1, 又因为 AB ? CE ? 1, AB / /CE , 所以四边形 ABCE 为矩形, 所以 S四边形ABCD ? S矩形ADCE ? S ?ECD ? AB ? AE ? 又 PA ? 平面 ABCD,PA=1, 所以 V四边形P ? ABCD ? ????9 分

1 1 5 CE ? DE ? 1? 2 ? ? 1? 1 ? . 2 2 2

1 1 5 5 S四边形ABCD ? PA ? ? ? 1 ? . ????12 分 3 3 2 6

20. (本小题满分 12 分) 由 a1 ? 1, a2 ? 1 ? d , a3 ? 1 ? 2d , 分别加上 1,1,3 有 b1 ? 2, b2 ? 2 ? d , b3 ? 4 ? 2d ?2 分 解: (Ⅰ)设 d、q 分别为等差数列 ?an ? 、等比数列 ?bn ?的公差与公比,且 d ? 0

(2 ? d )2 ? 2(4 ? 2d ), d 2 ? 4,? d ? 0,? d ? 2, q ?

b2 4 ? ?2 b1 2

????4 分 ????6 分

?an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1, bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n
(II) Tn ?

a a1 a2 1 3 5 2n ? 1 ? ??? n ? ? 2 ? 3 ??? n , ① b1 b2 bn 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . ② 2 2 2 2 2

①—②,得

2n ? 1 1 1 1 1 1 Tn ? ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2

????8 分

1 2 n ?1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 . ??????10 分 ?Tn ? 1 ? 1 2n 2n?2 2n 2n 1? 2 2n ? 3 2n ? 3 ? n ? 0. ? 3 ? ?3 ??????12 分 2 2n 1?
21.解:(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为: 4 0 00×2 000=8 000 000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多: 100×2 000=200 000(元)=20(万元), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列, 所以函数表达式为:
[来源:学§科§网]

x? x-1? y=f(x)=800x+ ×20+9 000
2 =10x +790x+9 000(x∈N ); (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:
2 *

????6 分

g(x)=

f? x?

2 000x

5? ×10 000=

10x +790x+9 000?

2

x

????8 分

? 900 ? =50?x+ +79?≥50×(2 900+79)=6 950(元). ?
x

?

????10 分

900 当且仅当 x= ,即 x=30 时等号成立.

x

????12 分

答:该写字楼建为 30 层时,每平方米平均开发费用最低.????13 分

22.(本小题满分 13 分)设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系;

1 x

(3)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) <

1 对任意 x >0 成立. a

【分析】 (1)先求出原函数 f ( x) ,再求得 g ( x) ,然后利用导数判断函数的单调性(单 调区间) ,并求出最小值; (2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调 性,并由单调性判断函数的正负; (3)对任意 x >0 成立的恒成立问题转化为函数 g ( x) 的 最小值问题. 【解】 (1)由题设知 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ? ∴ g ?( x) ?

1 , x

x ?1 , 令 g ?( x) ? 0 得 x =1, ????1 分 x2

当 x ∈(0,1)时, g ?( x ) <0, g ( x) 是减函数,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间。 当 x ∈(1,+∞)时, g ?( x ) >0, g ( x) 是增函数,故(1,+∞)是 g ( x) 的 单调递增 区间, 因此, x =1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以 g ( x) 的最小值为 g (1) ? 1. (2) g ( ) ? ? ln x ? x ????4 分

1 x

1 1 ( x ? 1)2 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? ln x ? x ? ,则 h?( x) ? ? 设 , ????6 分 x x x2
当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , 当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 即 g ( x ) ? g ( ).

1 x

1 x

????9 分

(3)由(1)知 g ( x) 的最小值为 1,所以,

g (a ) ? g ( x) ?

1 1 ,对任意 x ? 0 ,成立 ? g ( a ) ? 1 ? , a a
????13 分

即 Ina ? 1, 从而得 0 ? a ? e 。


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