《球面距离》的教学设计说明 全国高中青年数学教师参赛优秀教案

《球面距离》的教学设计说明 课题:球面距离 教材: 上海市高级中学课本 数学 高三年级(上海教育出版社出版) 一.教学内容的地位、作用分析 球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。 在学生已经掌 握圆柱、圆锥的概念和性质后进一步探究球的相关性质,使学生摆脱旋转体的母 线只能是线段的狭隘理解,也是对旋转体知识体系的完善。 球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容, 它既是教 材中关于球的最后一个知识点,也是立体几何中继“异面直线间的距离” 、 “点到 平面的距离” 、 “直线到平面的距离” 、 “平面到平面的距离”之后又一距离概念, 是高中阶段研究的最后一种距离。区别于其他距离的是“球面距离”是一段圆弧 的长度。学习球面距离,有助于学生空间想象能力的培养,有助于学生思维能力 的训练与提高。 它不但能加深学生对球面及球的截面的理解, 而且在求其解过程 中, 可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识,并且沟通了立体 几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角) 的概念,具有实质的教学 意义。另外, “球面距离”具有一定的实际应用意义。通过学习, 使学生认识到 数学源于实践又作用于实践, 同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的 综合运用,体现二期课改中学科整合的思想。 二.教学目标和重点、难点分析 “球面距离”是上海市高中数学教材中高三年级的教学内容, 《上海市中小 学数学课程标准》对“球面距离”的教学要求是:知道球面距离和经度、纬度等 概念,进一步认识数学和实际的联系。结合课程标准,我将这节课的教学目标和 重点难点定为: 教学目标:1. 知道球面距离的概念,会在简单情形下计算两点间的球面距离。 2. 体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。 3. 会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离,感受数学知识在 实际问题中的应用价值。 教学重点:会计算简单情形下球面上两点间的球面距离。 教学难点:地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。 三.教学问题诊断 这节课的授课对象是上海市示范性高中的学生, 他们有较好的学习习惯, 有 一定的口头和书面表达能力。学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、 球大圆的定义,具备了理解球面距离概念的基础,并能运用相关三角知识解三 角形。 本节课的教学难点是地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。 对教学难点 的突破我采取了三个策略: 1.教材在引出球面距离的概念后, 直接进入了地球上同经度、 同纬度两点间的球 面距离的求法(例 1、例 2),从概念到应用之间的跨度较大。为此,我设计了 一组过渡性的练习,为难点的突破作铺垫。 2. 学生在高一地理课上已初步了解经度和纬度的定义,但由于时间相隔较长, 可能已生疏。 所以在讲解例题前我运用教具和多媒体演示对地球经纬度知识作了 简单回顾,以唤起学生的记忆。 3.在例题 2 的讲解中通过师生、生生互动利用分析法引导学生寻找解决问题的 途径。 另外, 由于球面不能展开成平面图形, 教学中学生在认知上可能产生的困难 及其应对策略是: 1. 对球面距离概念的理解——按照课程标准的规定,本节内容对球面距离概念 的引入采用直接告知的做法, 不要求对 “通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在 球面上的最短路径” 作出证明或说明。 并且在给出概念后我设置了一组相关的辨 析题来强化概念中的“大圆”和“劣弧”等关键词,同时在作业中加强训练。 2. 球面距离计算公式的推导——通过教师设问,以问题推进的方式引导学生得 到公式。 3. 球小圆上两点间线段长度的计算——课本在例 2 中求 AB 的长度是把它投影到 赤道平面上,但实施过程中 AB 的长也可以利用纬度圈这个小圆来解决,所以我 预设了两种途径。同时在求 AB 长的方法上,我也预设了区别于教材的另一种解 法,即通过解直角三角形求得。 四.教学过程 教学过程 设计说明 一.引入: 教师演示圆柱、棱柱表面上两点间的最短路径; 通过实验和类比使学生感 受和了解球面距离的概念。 由学生动手探索球面上两点间的最短路径。 二. 新知构建 1. 球面距离定义的给出: 由于对此定义合理性的证 明教材中没有提及,课程标准 可以证明, 通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面 中没有要求,也不是学生在高 上的最短路径,我们把它的长度定义为两点间的球面距离。 中时必须掌握的能力,故没有 由于证明 “通过球面上两点的大圆劣弧是这两点在球面 纳入这节课的教学目标。这里 上的最短路径”需要更多数学知识,学生的基础不够,所以 采 取 和 教 材 中 相 同 的 描 述 即 课本表述为“可以证明”但没有给出证明。 “可以证明”的处理方式,对 于感兴趣或者学有余力的学 2. 强化定义,落实关键词: 练习: 判断图中联结 A、 B 两点的红色曲线的长度是否 A、 B 间的球面距离? 生,可在课后进一步探讨。 加深对定义中的关键词: “大圆” 、 “劣弧”的理解。 3. 球面上两点的球面距离具有唯一性 在定义中指出球面距离是大圆上一段劣弧的长度,所以 该定义有没有涉及 A、B、O 三点共线的情况? 在不涉及 A、B、O 三点共线的情况下,通过 A、 两点的球的大圆是否唯一? 大圆上 A、B 间的劣弧是否唯一? 所以两点的球面距离具有唯一性。 B 分析教材边栏中提出的问题。 4. 球面距离的计算: 复习扇形的弧长公式,得到两点间球面距离的计算方法: s ? ? ? R (其中 ? 为∠AOB 的弧度,R 为球半径) 练习: 1. 已知球 O 的半径为 R,A、B 是球面上两点。 ∠AOB= ? ,求 A、B 两点的球面距离。 4 2. 2. 已知球 O 的半径为 R,A、B 是球面上 通过一组练习使学生初步 掌握球面距离的计算方法,并 为之后的例题解答进行铺垫。 两点。AB=R, 求 A、B 两点的球面距离。 3. 已知球 O 的半径为 R=4 2 ,A、B 是

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