专题22 数列综合-高中数学经典错题深度剖析及针对训练 含解析 精品

【标题 01】混淆了数列 {an } 和数列 {a2n- 1},{a2n }的“ n ” 【习题 01】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ?

1 ,且 [3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 , 2

n? N? .
(1)求 a3 , a4 , a5 , a6 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? a2n?1 ? a2n ( n ? N ? ),求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【经典错解】 (1)由已知得 a3 ? 3, a4 ?

1 1 , a5 ? 5, a6 ? . 4 8

当 n 为奇数时, an? 2 ? an ? 2 ,所以数列的奇数项组成一个等差数列,
2n- 2 = 1 + (2n - 2)2 = 2n - 3 = 2n - 1 - 2 \ an = n - 2 所以 a2 n - 1 = a1 ( )

1 2

当 n 为偶数时, an ? 2 ?
2n- 2 = 所以 a2 n = a2 ( )

1 an ,所以数列的偶数项组成一个等比数列, 2 1 1 2n- 2 1 1 ( ) = ( ) 2 n - 1 \ an = ( ) n - 1 2 2 2 2

1 2

ì n- 2 ? ? 因此,数列{an}的通项公式为 an = í 1 n-1 ? ) ( ? ? 2
(2)下略. 【详细正解】 (1)由已知得 a3 ? 3, a4 ?

n =2k - 1 k ? N * n = 2k k ? N *

(

)

(

)

1 1 , a5 ? 5, a6 ? . 4 8

当 n 为奇数时, an? 2 ? an ? 2 ,所以数列的奇数项 a2 n- 1 组成一个等差数列 {a2n- 1} , 令 a2n- 1 = bn

\ bn = b1 + (n - 1)2 = a1 + 2n - 2 = 2n - 1 \ a2n- 1 = 2n - 1 \ an = n
1 2

2n- 2 = 1 + (2n - 2)2 = 2n - 3 = 2n - 1 - 2 \ an = n - 2 所以 a2 n - 1 = a1 ( )

当 n 为偶数时, an ? 2 ?

1 an ,所以数列的偶数项 a2 n 组成一个等比数列 {a2 n }, 2
n- 1

a2 n = bn

骣 1 琪 \ bn = b1 琪 2 桫

1 = 2

骣 1 琪 琪 2 桫

n- 1

骣 1 琪 =琪 2 桫

n

骣 1 琪 \ a2 n = 琪 2 桫

n

骣 1 琪 =琪 2 桫

2n

1 2

骣 1 琪 \ an = 琪 2 桫

n 2

ìn n =2k - 1 k ? N * ? ? n 因此,数列 {an } 的通项公式为 an = í 2 ? 1) ( n = 2k k ? N * ? ? 2

( (

) )

(2)因为 bn ? a2n?1 ? a2n ,则

1 1 1 S n ? 1 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( )3 ? 2 2 2

1 1 ? (2n ? 3) ? ( ) n ?1 ? (2n ? 1) ? ( ) n , 2 2

1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 5 ? ( ) 4 ? 2 2 2 2
两式错位相减得

1 1 ? (2n ? 3) ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 , 2 2 1 1 ? 2 ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 2 2

1 1 1 1 1 S n ? ? 2 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? 2 ? ( ) 4 ? 2 2 2 2 2

1 ? ? 2

1 1 2[ ? ( ) n ?1 ] 1 3 1 4 2 ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ? ? (2n ? 3)( ) n ?1 1 2 2 2 1? 2

1 ? Sn ? 3 ? (2n ? 3)( ) n 2

【习题 01 针对训练】定义:项数为偶数的数列,若奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,则称该数列为 “对偶数列”. (1)若项数为 20 项的“对偶数列”
?

{an } ,前 4 项为1,1, 3, 2 ,求该数列的通项公式及 20 项的和;
1 n? N? ) , 试求该数列前 n ( 1 ? n ? 2m , 2

1

(2) 设项数为 2 m (m? N ) 的 “对偶数列” {an } 前 4 项为 1,1, 3, 项的和 Sn ;

(3)求证:等差数列 {an } (an ? 0) 为“对偶数列”当且仅当数列 {an } 为非零常数数列.

【标题 02】放缩不等式求和时没有分类讨论 【习题 02】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(1) 求 a2 的值;(2) 求数列 ?an ? 的通项公式;(3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3 2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . (2)解: n 3 3
【经典错解】(1) 解:

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3
? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?



? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

2an ? 2Sn ? 2Sn?1
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

当 n ? 1 时,上式显然成立.

?an ? n2 , n ? N *

(3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N *

n2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,? ?

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 1 ? ? ? an 12 22

?

1 1 1 ? 1? ? ? 2 n 1? 3 2 ? 4

1 1 ? ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 ?

1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

【详细正解】 (1)同上; (2)同上;

(3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N *

①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4

②当 n ? 2 时,

1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4

③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,? ? 1 1 1 ? ? ? an 12 22 ?

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1? ? 1 1 ? ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 ? ? a1 a2

1 1 1 ? 1? ? ? 2 n 1? 3 2 ? 4

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 ?

1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立. 综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

【习题 02 针对训练】已知数列 (Ⅰ)求证: (Ⅲ)求证: 是等比数列;

满足

, 的前 n 项和为 ,求 ;

,令

.

(Ⅱ)记数列

1 1 1 1 ? ? ? ? n 2 2?3 a1 a2

?

1 11 ? 错误!未找到引用源。. an 16

【标题 03】对等比数列的判断方法没有理解透彻 【习题 03】设数列 ?an ? 满足 an ? 2an?1 ? n (n ? 2且 n ? N ) , ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 满足
?

bn ? an ? n ? 2 .

(l)若 a1 ? 1 ,求 S4 ;(2)试判断数列 ?bn ? 是否为等比数列?请说明理由; (3)若 a1 ? ?3 , m, n, p ? N ? ,且 m ? n ? 2 p .试比较 Sm ? Sn 与 2S p 的大小,并证明你的结论. 【经典错解】 (1)∵ an ? 2an?1 ? n (n ? 2且 n ? N? ) ,且 a1 ? 1 , ∴ a2 ? 2 ?1 ? 2 ? 4 , a3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 11 , a4 ? 2 ?11 ? 4 ? 26 . ∴ S4 ? 42 . (2)∵ bn ? an ? n ? 2 ,?bn?1 ? an?1 +(n+1) +2=2an ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2 ? 2(an ? n ? 2) ? 2bn . 所以数列 ?bn ? 是以 a1 ? 3 为首项, 2 为公比的等比数列. (3) Sm ? Sn ? 2SP .事实上,由(2)知,当 a1 ? ?3 时, b1 ? 0 ,则 an ? ?n ? 2 . ∴ ?an ? 是以 ?3 为首项, ?1 为公差的等差数列, ∴ S n ? ? ∵ m, n, p ? N ,且 m ? n ? 2 p , ∴ S m ? S n ? 2 S P ? p ( p ? 5) ?
?

1 n(n ? 5) . 2

1 1 1 5 m(m ? 5) ? n(n ? 5) ? [(2 p) 2 ? 2m2 ? 2n 2 ] ? (2 p ? m ? n) 2 2 4 2 1 1 ? [(m? n) 2 ? 2m 2 ? 2n 2 ] ? ? (m ? n) 2 ? 0 . ∴ Sm ? Sn ? 2SP . 4 4

【详细正解】 (1)同上; (2)∵ bn ? an ? n ? 2 ,?bn?1 ? an?1 +(n+1) +2=2an ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2 ? 2(an ? n ? 2) ? 2bn . 又∵ b1 ? a1 ? 3 ,∴当 a1 ? ?3 时, b1 ? 0 ,此时 ?bn ? 不是等比数列, 当 a1 ? ?3 时, b1 ? 0 ,则

bn?1 ? 2(n ? N ? ) . bn

故当 a1 ? ?3 时,数列 ?bn ? 是以 a1 ? 3 为首项, 2 为公比的等比数列.(3)同上 【深度剖析】 (1)经典错解错在对等比数列的判断方法没有理解透彻.(2)要判断一个数列 {an } 是等比数 列,需要证明

an +1 = q(q 刮 0, n an

N * ) 和 a1 ? 0 ,但是错解只证明了

an +1 = q(q 刮 0, n an

N * ) ,忽略了对

首项是否为零的讨论,所以是错的.所以今后要判断一个数列是等比数列,一般先求

an +1 的值,如果不是同 an

一常数,数列 {an } 不是等比数列,如果

an +1 = q(q 刮 0, n an

N * ) ,然后求出它的首项,看它的首项是否为

零,如果首项不为零,就是一个等比数列,否则也不是.

【习题 03 针对训练】设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 3n (n ? N ? ) . (1)证明数列 ?an ? 3? 为等比数列;(2)求 {Sn } 的前 n 项和 Tn .

【标题 04】逻辑不严谨忽略了等式的性质 【习题 04】求和 1 ? 2 x ? 3x ??? nx
2 n ?1

.

【经典错解】令 S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ???nx n?1 , 则 xS n ? x ? 2x 2 ? 3x 3 ???( n ? 1)x n?1 ? nx n 两式相减得 (1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 ?

? xn?1 ? nxn

1 ? xn nx n ? Sn ? ? (1 ? x)2 1 ? x
【详细正解】若 x ? 0 ,则 S n ? 1 ;若 x ? 1 , 则 S n ?
2 n?1 若 x ? 0 ,且 x ? 1 时 令 S n ? 1 ? 2x ? 3x ???nx

n( n ? 1) 2 .

则 xS n ? x ? 2x ? 3x ???( n ? 1)x
2 3

n?1

? nx n
n?1

两式相减得 (1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x ?
2

?x

? nx

n

1 ? xn nx n ? Sn ? ? (1 ? x)2 1 ? x

【习题 04 针对训练】设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足 a1 =b, an ?

nban ?1 (n ? 2) , an ?1 ? 2n ? 2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, an ?

b n ?1 ?1. 2n ?1

【标题 05】弄错了数列的首项

【习题 05】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 , an?2 ?

an ? an?1 ,n? N * . 2

(1)令 bn ? an ?1 ? an ,证明: ?bn ? 是等比数列; (2)求 ?an ? 的通项公式. 【经典错解】 (1) b1 ? a2 ? a1 ? 1 .当 n ? 2 时, bn ? an?1 ? an ? ∴ ?bn ? 是首项为 a1 = 1 ,公比为

an?1 ? an a ?a ? an ? n?1 n ? ? 1 bn?1 , 2 2 2

1 的等比数列. 2
1 2 1 2

n ?1 n ?1 n ?1 (2)由(1)可得 bn ? 1 (? ) ? (? ) ,∴ an ?1 ? an ? (? ) ,下面的略.

1 2

【详细正解】 (1) b1 ? a2 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时, bn ? an?1 ? an ?

an?1 ? an a ?a ? an ? n?1 n ? ? 1 bn?1 , 2 2 2

∴ ?bn ? 是首项为 b1 = a2 - a1 = 1 ,公比为

1 的等比数列. 2
1 2
0 1 ∴ a2 ? a1 ? (? ) , a3 ? a2 ? (? )

n ?1 n ?1 (2)由(1)可得 bn ? ( ? ) ,∴ an ?1 ? an ? ( ? ) ,

1 2

1 1 1 1 an ? an ?1 ? (? ) n ? 2 (n ? 2) ,∴ an ? a1 ? (? )0 ? (? )0 ? ??? ? (? ) n ? 2 2 2 2 2 5 2 1 n ?1 当 n ? 1 时,也符合,∴ an ? ? ( ? ) 3 3 2

1 1 2 2 5 2 1 ? ? (? ) n ?1 (n ? 2) , 3 3 2



【习题 05 针对训练】在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (1)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 2 n ?1

【标题 06】等比数列求和弄错了数列的项数 【习题 06】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2 ? an , 数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,b3 ? b7 ? 18 , 且 bn?1 ? bn?1 ? 2bn ( n ? 2 ).(1)求数列 ?an ? 和 {bn } 的通项公式; (2)若 c n ?

bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . an

【经典错解】 (1) 由题意知 Sn ? 2 ? an ①, 当 n ? 2 时,Sn?1 ? 2 ? an?1 ②, ①-②得 an ? Sn ? Sn?1 ? an?1 ? an ,

即 an ?

1 1 a n ?1 ,又 a1 ? S1 ? 2 ? a1,∴ a1 ? 1 ,故数列 ?an ? 是以 1 为首项, 为公比的等比数列,所以 2 2 1 1 a n ? n ?1 , 由 bn?1 ? bn?1 ? 2bn( n ? 2 ) 知, 数列 {bn } 是等差数列, 设其公差为 d , 则 b5 ? (b3 ? b7 ) ? 9 , 2 2

故d ?

b5 ? b1 ? 2,bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 , 4
1 2 n ?1 ,bn ? 2n ? 1 .

综上,数列 ?an ? 和 {bn } 的通项公式分别为 a n ? (2)∵ c n ?

bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 , an
? cn ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ③

∴ Tn ? c1 ? c2 ?

2Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ④
③-④得 ? Tn ? 1 ? 2(21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ,

- Tn = 1 + 2

2(1 - 2n ) - (2n - 1) 2n . 下面略. 1- 2

【详细正解】 (1)同上 (2)∵ c n ?

bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 , an
? cn ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ③

∴ Tn ? c1 ? c2 ?

2Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ④
③-④得 ? Tn ? 1 ? 2(21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n , - Tn = 1 + 2

2(1 - 2n - 1 ) - (2n - 1) 2n , 1- 2

即 ? Tn ? 1 ? 2(2 n ? 2) ? (2n ? 1)2 n ? ?(2n ? 3)2 n ? 3 , ∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 【深度剖析】 (1)经典错解错在等比数列求和时弄错了数列的项数.(2)经典错解没有认真观察,凭经验 得到数列 21 + 22 +

+ 2n- 1 有 n 项,实际上这个数列有 n ? 1 项,所以在观察数列有多少项时,一定既要观察

首项,也要观察末项,要瞻前顾后,这才是科学的严谨的 .(3)数列的首项、项数、末项等是很容易错的 基本量,所以在解答数列题时,在这些地方要谨慎细心. 【习题 06 针对训练】已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与通项 an 满足 Sn ? 1 ? 1 an .

2

2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)设 f ( x) ? log3 x, bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ),Tn ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ,求 T2014 ;

b1

b2

bn

(3)若 cn ? an ? f (an ) ,求 ?cn ? 的前 n 项和 U n .

【标题 07】 S4006 > 0 不一定能说明 4006 是使得 Sn ? 0 成立的最大自然数 【习题 07】若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是( A. 4005 ) B. 4006 C. 4007 D. 4008

【经典错解】∵ a1 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 a2004 ? 0 , ∴首项大于零的递减的等差数列, ∴ S4006 =

4006 (a1 + a4006 ) = 2003(a2003 + a2004 ) > 0 ,故选 B . 2

【详细正解】∵ a1 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 a2004 ? 0 , ∴首项大于零的递减的等差数列, a2003 > 0, a2004 < 0 ,∴ S4006 =

4006 (a1 + a4006 ) = 2003(a2003 + a2004 ) > 0 2

S4007 =

4007 4007 (a1 + a4007 ) = 2 a2004 = 4007a2004 < 0 ,故选 B . 2 2

【习题 07 针对训练】设 {an } 是等差数列, a1 ? 0 , a2007 ? a2008 ? 0 , a2007 ? a2008 ? 0 ,则使 Sn ? 0 成立的 最大自然数 n 是( A. 4013 ) B. 4014 C. 4015 D. 4016

【标题 08】代换时忽略了 n 的范围导致结果出现错误 【习题 08】已知在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ,求 {bn } 的通项公式 bn . ? nbn ? an ( n ? N ? )

【经典错解】 (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项得:

2a2 ? a1 ? a3 ? 1,∴ 2a1q ? a1 ? a1q2 ?1 ,∴ 2q ? q2 ,∵ q ? 0 ,∴ q ? 2 ,
(2)由 b1 ? 2b2 ? 3b3 ?

∴ an ? 2n?1

? nbn ? an ①

b1 ? 2b2 ? 3b3 ?

? (n ?1)bn?1 ? an?1 ②
n?1

①﹣②得: nbn ? an ? an?1 ? 2

?2

n ?2

?2

n ?2

2n ? 2 2n ? 2 . bn ? ,所以 bn ? . n n

【详细正解】 (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项得:

2a2 ? a1 ? a3 ? 1,∴ 2a1q ? a1 ? a1q2 ?1 ,∴ 2q ? q2 ,∵ q ? 0 ,∴ q ? 2 ,
(2) n ? 1 时,由 b1 ? 2b2 ? 3b3 ?

∴ an ? 2n?1

? nbn ? an ,得 b1 ? a1 ? 1 .

n ? 2 时,由 b1 ? 2b2 ? 3b3 ?

? nbn ? an ①


b1 ? 2b2 ? 3b3 ?

? (n ?1)bn?1 ? an?1

①﹣②得: nbn ? an ? an?1 ? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?2 .

n ?1 ?1 2n ? 2 2n ? 2 ? n?2 bn ? ,所以 bn ? . ∴ bn ? ? 2 . n n n?2 ? ? n

【习题 08 针对训练】已知数列 ?an ?满足: 数列 ?bn ?的前 n 项和.

1 1 1 1 ? ? ??? ? n 2 (n ? N * ) ,令 bn ? an an?1 , Sn 为 a1 a 2 a3 an

(1)求 an 和 Sn ; (2)对任意的正整数 n ,不等式 S n ? ? ?

1 恒成立,求实数 ? 的取值范围. 2

【标题 09】累加法求数列通项时弄错了数列的项数 【习题 09】在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2n ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式.

【经典错解】由题得 a2 ? a1 ? 5, a3 ? a2 ? 7, a4 ? a3 ? 9, ???, an ? an?1 ? 2n ? 1 所以 an ? a1 ? 5 ? 7 ? 9 ? ??? ? 2n ? 1 ?

n (5 ? 2n ? 1) ? n 2 ? 3n ,所以 an ? n2 ? 3n ? 1 . 2

【详细正解】由题得 a2 ? a1 ? 5, a3 ? a2 ? 7, a4 ? a3 ? 9, ???, an ? an?1 ? 2n ? 1 所以 an ? a1 ? 5 ? 7 ? 9 ? ??? ? 2n ? 1 ?

n ?1 (5 ? 2n ? 1) ? n 2 ? 2n ? 3 ,? an ? n2 ? 2n ? 2 . 2

【习题 09 针对训练】在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式.

【标题 10】对数列的极限理解不够透彻 【习题 10】设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? 2 ? 2Sn (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? (3)是否存在实数 m 使得 说明理由. 【经典错解】 (1)由 an ? 2 ? 2Sn ,令 n=1,则 a1=2﹣2S1,又 S1=a1,所以 a1= 当 n≥2 时,由 an ? 2 ? 2Sn ,可得 an﹣an﹣1=﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=﹣2an,即 所以 {an } 是以 a1=

n ? an , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Tn ; 2

m?2 m ? Tn ? 对一切 n ? N ? 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在, 4 4

an 1 ? an ?1 3

2 1 1 为首项, 为公比的等比数列,于是 an ? 2 ? n ; 3 3 3 n n 1 2 n 1 1 2 n (2) bn ? ? an ? n ,?Tn ? ? 2 ? ? n , Tn ? 2 ? 3 ? ? n ?1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? ( ) n ) 2 1 1 1 1 n 3 ? n ,?T ? 3 ? 2n ? 3 ? 1 两式相减可得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ? 3 n 1 4 4 3n 3 3 3 3 3 3 3n ?1 1? 3 n ?1 1 (3) Tn ?1 ? Tn ? bn ?1 ? n ?1 ? 0 ,∴ {Tn } 单调递增,∴Tn≥T1=c1= 3 3 3 2n ? 3 1 3 1 3 ? n < ,∴ ≤Tn< ∵? Tn ? ? 4 4 3 4 3 4

?3 m ? ? m?2 m ?4 4 ? ? Tn ? 对一切 n ? N 恒成立,则 ? 使得 4 4 ?m ? 2 ? 1 ? 3 ? 4
【详细正解】 (1) (2)同上.

∴3<m<

10 . 3

n ?1 1 ? 0 ,∴ {Tn } 单调递增,∴Tn≥T1=c1= n ?1 3 3 3 2n ? 3 1 3 1 3 ? n < ,∴ ≤Tn< ∵? Tn ? ? 4 4 3 4 3 4
(3) (3) Tn ?1 ? Tn ? bn ?1 ?

?3 m ? ? m?2 m ?4 4 ? ? Tn ? 对一切 n ? N 恒成立,则 ? 使得 4 4 ?m ? 2 ? 1 ? 3 ? 4

∴3≤m<

10 . 3

【习题 10 针对训练】在数列 ?an ? 中, Sn 是数列 ?an ? 前 n 项和, a1 ? 1 ,当 n ? 2, S n ? an ( S n ? )
2

1 2

(1)证明 ?

?1? Sn (2)设 bn ? 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; ? 为等差数列; 2n ? 1 ? Sn ?
?

(3) 是否存在自然数 m , 使得对任意自然数 n ? N , 都有 Tn ? 若不存在,请说明理由.

1 ( m ? 8) 成立?若存在, 求出 m 的最小值; 4

高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 22 讲:数列综合参考答案

n是正奇数 ?n 1 ? (n ? N ? , n ? 20) ,102 ? ( )9 ; 【习题 01 针对训练答案】 (1) an ? ? 1 n 2 ( 2 ) n是正偶数 ? ? 2
错误!未找到引用源。 (2)见解析; (3)证明略.

【习题 02 针对训练答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【习题 02 针对训练解析】 (Ⅰ) ,

;(Ⅲ)详见解析.

两式相减,得 经检验,当 有 时上式也成立,即 即 ,且 .

又 当 n ? 1 时,左边=

1 11 ? 2 16

当 n ? 2 时,有

故错误!未找到引用源。.
n 【习题 03 针对训练答案】 (1)见解析; (2) Tn ? 12(2 ? 1) ?

3 2 15 n ? n. 2 2

ì2 b=2 ? 【习题 04 针对训练答案】 (1) an = í nb n (2 - b) ; (2)证明见下面解析. ? n n (b > 0, b ? 2) ? 2 -b ?
【习题 04 针对训练解析】(1)由 an ?

nban ?1 n 2 n ?1 1 可得 ? ? ? , an b an ?1 b an ?1 ? 2n ? 2

当 b ? 2 时, 从而 an ? 2. 当b ? 2 时,

1 n n n n ?1 1 n 1 1 ? ? , 则数列 { } 是以 ? 为首项 为公差的等差数列,? ? , 2 an 2 an an?1 2 an a1 2

n 1 2 n ?1 1 ? ? ( ? ), an 2 ? b b an ?1 2 ? b

则数列 {

2 n 1 1 1 2 为首项. 为公比的等比数列. ? } 是以 ? ? b an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b)

?

n 1 2 2 1 2 nbn (2 ? b) ? ? ? ( )n?1 ? ? ( )n ,? an ? n n , an 2 ? b b(2 ? b) b 2?b b 2 ?b

(b ? 2) ?2, ? n 综上 an ? ? nb (2 ? b) . ( b ? 0, b ? 2) ? n ? 2 ? bn
(2)当 b=2 时, an ? 2,

bn?1 bn ?1 +1 ? 2, ? a ? +1,从而原不等式成立. n 2n?1 2n ?1

当 b ? 2 时,要证 an ?

b n ?1 nb n (2 ? b) b n ?1 n(2 ? b) b 1 +1, ? n ?1 +1,即证 n ? n ?1 + n , n ?1 n n n 2 2 ?b 2 2 ?b 2 b

即证

2

n ?1

?2

n?2

b?2

n ?3

n b2 ?

? 2b

n?2

?b

n ?1

?

b 1 + n, n ?1 2 b

即证 n ?

2n?1 2n?2 2n?3 ? ? ? bn bn ?1 bn ?2

?

2 1 b b2 ? ? ? ? b2 b 22 23

?

bn?1 bn ? , 2n 2n ?1

2n?1 bn 2n ?2 bn ?1 而上式左边 =( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ) ? b 2 b 2

2 b2 1 b ?( 2 ? 3)?( ? 2) b 2 b 2

2n?1 bn 2n?2 bn?1 ?2 ? ? 2 n?1 ? n ? bn 2n?1 b 2

2 b2 1 b ?2 2 ? 3 ?2 ? 2 ? n b 2 b 2

所以当 b ? 2 时,原不等式也成立,从而原不等式成立.

②-①得 Sn ? n ? 2n ?1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1 .
n 【习题 06 针对训练答案】 (1) an ? ( ) ; (2) T2014 ? ?

1 3

4028 3 3 1 n 3 1 n ?1 ; (3) U n ? ? ? ( ) ? n( ) . 2015 4 4 3 2 3
1 1 1 ? a1 ? a1 ? 2 2 3

【习题 06 针对训练解析】 (1)在 Sn ? 1 ? 1 an 中,令 n ? 1 ,可得 a1 ? S1 ?

2

2

1 1 1 1 1 ? an ? ( ? an ?1 ) ? an ? an ?1 , 2 2 2 2 3 1 1 1 n ∴数列 {an } 是以 为首项, 为公比的等比数列, ∴ an ? ( ) 3 3 3 1 n (2)由(1)及 f ( x) ? log3 x ,∴ f (an ) ? log 3 x ? log 3 ( ) ? ?n , 3
当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ∴ bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (an ) ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ?

1 1 1 n(n ? 1) ? ?2( ? ), ,故 2 bn n n ?1
n ?1 n ?1 n ?1

又∵ Tn ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? ?2[(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ??? ? ( 1 ? 1 )] ? ?2(1 ? 1 ) ? ?2n ,

b1

b2

bn

2

2 3

n

∴ T2014 ? ?

4028 2015
1 3

n (3)由(2)及 cn ? an ? f (an ) ,∴ cn ? ( ? n)( ) , 1 2 n ∴ U n ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? ?[1? ( ) ? 2 ? ( ) ? ??? ? n ? ( ) ] ①,

1 3

1 3

1 3

1 1 1 3 3 3 2 11 1 2 1 n 1 n ?1 1 1 1 n 1 n ?1 ①-②: U n ? ?[( ) ? ( ) ? ??? ? ( ) ? n( ) ] ? ? ? ( ) ? n( ) , 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 1 n 3 1 n ?1 ∴ U n ? ? ? ( ) ? n( ) , 4 4 3 2 3
2 3 n ?1 ① ? 可得: U n ? ?[1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? ??? ? n ? ( ) ] ②,

1 3

1 3

【习题 07 针对训练答案】 B

1 1 1 * ,综上, a n ? ,n? N ; ? 2n ? 1 ,即 a n ? 2n ? 1 2n ? 1 an

bn ?

1 1 1 1 1 1 ). ? ( ? ) ,则 S n ? (1 ? 2 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 得 ? ? Sn ? , 2 2 1 5 ,因此 ? ? . 3 6

(2)由 S n ? ? ?

所以 ? ? ( S n ? ) min ,因为 {S n } 是单调递增数列,所以当 n ? 1 时 S n 取得最小值为 【习题 09 针对训练答案】 an ? 2n?1 ? 3

1 2

【习题 09 针对训练解析】由题得 a2 ? a1 ? 22 , a3 ? a2 ? 23 , a4 ? a3 ? 24 , ???, an ? an?1 ? 2n 所以 an ? a1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ?
2 3 4 n

4(1 ? 2n?1 ) ? 2n?1 ? 4,? an ? 2n?1 ? 3 . 1? 2

【习题 10 针对训练答案】 (1)利用等差数列定义证明即可; (2 ) Tn ?

n (3) m ? 10 2n ? 1 ;

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