2019年人教A版选修4-4高中数学2.1 曲线的参数方程2.1.2优质课课件_图文

第二讲 参数方程 ? 2.1 曲线的参数方程 2.1.2 参数方程的概念与圆的参数方程 栏目导 航 课前教材预案 课堂深度拓展 课末随堂演练 课后限时作业 课前教材预案 ?要点一 参数方程转化为普通方程 ? 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形 消去参数 式.一般地,可以通过__________而从参数方程得 到普通方程. ?要点二 普通方程转化为参数方程 x=f(t) ,把它代入普通方 如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如__________ ? ?x=f?t?, y=g(t) 程, 求出另一个变数与参数的关系_________, 那么? 就是曲线的参数方程. 在 ? ?y=g?t? 取值范围 参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的____________保持一致. 课堂深度拓展 ?考点一 参数方程化为普通方程 参数方程化为普通方程的技巧 将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,常用的消元法有代入消元法、加减 消元法. 如果参数方程是分式方程, 在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形. 另 外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,如 sin2 α+cos2α=1,(ex+e-x)2-(ex-e-x)2=4, ?1-k2? ? 2k ? ? ?2 ? ?2 + 2 ?1+k2? ?1+k ? =1 等. ? ? ? ? 【例题 1】 (2016· 华师一附中高三五月质检)将下列参数方程化为普通方程,并说 明方程表示的曲线. ? ?x=1-3t, (1)? ? ?y=4t (t 为参数); ? ?x=1+4cos t, (2)? ? ?y=-2+4sin t 2 ? ?x=2+sin θ, (3)? ? ?y=-1+cos 2θ (t 为参数,0≤t≤π); (θ 为参数); ? ?x=sin θ+cos θ, (4)? ? ?y=sin 2θ (θ 为参数). ? 思维导引:把普通方程化成参数方程后,很容易改 变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲 线不一致,因此我们在解题时一定要验证普通方程 1-x 与参数方程的等价性. 解析:(1)由已知 t= ,代入 y=4t 中, 3 得 4x+3y-4=0, 它就是所求的普通方程,它表示的是一条直线. ? ? ? ? ? (2)∵0≤t≤π,-1≤cos t≤1,0≤sin t≤1. ∴-3≤x≤5,-2≤y≤2, (x-1)2+(y+2)2=16cos2 t+16sin2 t=16. ∴(x-1)2+(y+2)2=16(-3≤x≤5,-2≤y≤2), 它表示的曲线是以(1,-2)为圆心,半径为4的上半 圆. ? (3)由y=-1+cos 2θ可得y=-2sin2 θ,把sin2 θ=x- 2代入y=-2sin2 θ可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0, 又∵2≤2+sin2 θ≤3,即2≤x≤3, ∴所求的方程是2x+y-4=0(2≤x≤3),它表示的是 ? ? (4)由 x=sin θ+cos θ 平方得 x2=1+2sin θ· cos θ=1+sin 2θ, 又 y=sin 2θ 代入上式得,x2=1+y, 又 x=sin θ+cos θ= 2sin ? π? ?θ+ ?∈[- ? 4? 2, 2], ∴所求的普通方程为 y=x2-1(- 2≤x≤ 2). 【变式 1】 分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 1 t -t ?x=2?e +e ?cos θ, ? 化为普通方程: ?y=1?et-e-t?sin θ ? 2 (1)θ 为参数,t 为常数; (2)t 为参数,θ 为常数. 解析:(1)当 t=0 时,y=0,x=cos θ,即|x|≤1,且 y=0; 当 t≠0 时,cos θ=1 ,sin θ=1 -t -t t t ? e + e ? ? e - e ? 2 2 x y 而 sin2θ+cos2θ=1, 即1 x2 - t t2 t t2 ? e + e ? ? e - e ? 4 4 - +1 y2 =1. 1 t -t (2)当 θ=kπ,k∈Z 时,y=0,x=±2(e +e ),即|x|≥1,且 y=0; π 1 t -t 当 θ=kπ+2,k∈Z 时,x=0,y=±2(e -e ),即 x=0; 2y ? t -t 2x ? t 2x e +e =cos θ 2e =cos θ+sin θ, ? ? kπ 当 θ≠ 2 ,k∈Z 时,得? ,即? 2 y ?et-e-t= ?2e-t= 2x - 2y . sin θ cos θ sin θ ? ? 得 2e · 2e t -t ? 2x 2y ?? 2x 2y ? =?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ?, ? ?? ? x2 y2 即cos2 θ-sin2 θ=1. ?考点二 普通方程化为参数方程 ? 普通方程化为参数方程的注意点 ? (1)求曲线的参数方程,要注意参数的选取, 曲线的参数很关键,既要保证曲线上每一点 都能由参数某一值唯一确定,又要保证参数 与x,y的关系比较明显. ? (2)选取参数后要特别注意参数的取值范围, 保证参数方程与普通方程的等价性. ? 【例题2】 求方程4x2+y2=16的参数方程: ? ? (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)若令y=t(t为参数),如何求曲线的参数方程?若 令x=2t(t为参数),如何求曲线的参数方程? 思维导引:(1)将普通方程化为参数方程的一般方法: ? ?x=f?t?, 已知? ? ?F?x,y?=0 ? ?x=f?t?, 把x=f?t? ――→ y=φ(t)―→? ? 代入F?x,y?=0 ?y=φ?t?. (2)将曲线的普通方程化为参数方程时,选取的参数不同,一条曲线的参数方程会 有不同的形式. 解析:(1)把 y=4sin θ 代入方程, 得

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