【人教版】2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理(新版)新人教版(1)

2019 学年度第一次月考

※ -精 品 人教 试 卷- ※

高二数学试卷(理)

时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.为了解某中学学生的体重状况,打算抽取一个容量为 n 的样本,已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次

为 4:3:2,现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有 10 人,那么样本容量 n 为( )

AA.50

B.45

C.40

D.20

2. 对某小区 100 户居民的月均用水量进行统计,得到样本的频率分布直方图如下图,则估计此样本的众数、中位

数分别为( )

A. 2.25 , 2.5

B. 2.25 , 2.02

C. 2 , 2.5

D. 2.5 , 2.25

3.已知 a,b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列结论恒成立的是( )

A. a ? b ? 2 ab C. a ? b ? 2
ba

B. a ? b ? 2 ba
D. a2 ? b2 ? 2ab

()

4.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽

取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为

()

A.13

B.12

C.23

D.34

5.已知关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),

则 x1+x2+xa1x2的最小值是

()

A.

6 3

B.

2 3

3

C.

4 3

3

D.

2 3

6

6.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九算术》

中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a , b , i 的值分别为 6 ,

8 ,0 ,则输出 a 和 i 的值分别为(

C2,3

D 2,4

) A.0,3

B.0,4

7.在区域

,内任取一点(x,y),满足 y ? ? x2 ? 2x 的

1
概率为( )A.
2

2

?

4??

B.

C.

D.

3

4

4

8.已知五个数据 x1, x2 , x3 , x4, 4 的平均数等于 2,方差等于 2,现将最

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后一个数据 4 去掉,则剩下的四个数据的方差为( )A.

B.

C.1

D.

9.已知向量 a,b 满足 a ? 1 , a 与 b 的夹角为 ? ,若对一切实数 x , xa ? 2b ? a ? b 恒成立,则 b 的取值范围是 3
()

A.[1 , ??) 2

B. (1 , ??) 2

C.[1, ??)

D. (1, ??)

10.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比

q≠1,设

P=12( log 1
2

a5

?

log 1
2

a7

),Q= log 1
2

a3

? 2

a9

,则

P



Q

的大

小关系是( )A.P≥Q B.P<Q C.P≤Q

D.P>Q

11.设 a ? 0 , b ?1,若 a ? b ? 2 ,且不等式 4 ? 1 ? m2 ? 8m 恒成立,则 m 的取值范围是( ) a b ?1

A. m ? 9 或 m ? ?1

B. m ? 1或 m ? ?9

C. ?9 ? m ?1

D. ?1? m ? 9

12.已知当 x ?(? ?

时,不等式 cos2x ? 2asin x ? 6a ?1? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ,? )



6

A.[? 1 ,1] 2

B.??1,0? C.[? 3 ,0]
2

D. (1 , ??) 2

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。
13、数列?an? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 3(n ? N *) ,则数列?an? 的通项公式为 an ?
14、执行如图的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=

15、已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2 则1x+31y的最小值为

16、关于 的方程

的两实根为

,若

是_______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、(1)已知 a>0,b>0,ab -(a+b)=1,求 a+b 的最小值
(2)已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20.求 u=lg x+lg y 的最大值

,则 的取值范围

18.(1)若不等式 ax2+ 4x 十 a>1—2x2 对任意 x∈R 均成立,求实数 a 的取值范围.
(2)解关于 x 的不等式 ax2 ? (2a ? 2)x ? 4 ? 0
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?3x ? 2 y ? 7 ? 0
19、已知 ??x ? 2 y ? 3 ? 0 求① z ? 2 y ? x 的最值;
??5x ? 2 y ?17 ? 0
② z ? (x ?1)2 ? y 2 的最值;

高二数学试卷理第 2 页(共 3 页)

③ z ? y 中 z 的范围。
x?5
20. 某老师对本校 2016 届高三文科学生某次联考的数学成绩进行分析,抽取了 20 名学生的成绩作为样本进行分

析,分数用茎叶图记录如图所示(部分数据丢失),得到频率分布表如下:





56

68

7

8 026

9

10 0 2 6 6

11 6 8

12 8

13 6

14 2

(1)求表中 a, b 的值及分数在[90,100) 范围内的学生数,并估计这次考试全体文科学生数学成绩及格率(分数

在 [90,150] 范围为及格);

(2)从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,求 2 名学生的平均得分大于等于 130 分的概率.

21、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某种花卉种子发芽多少间的关系进行研究,他们分别记录了 3 月 1 日

至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:

日期

3月1日

3月2日

3月3日

3月4日

3月5日

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温差 x/

10

11

13

12

8

发芽数 (y 颗)

23

25

30

26

16

该学习小组确定的研究方案是:先从这样 5 组数据中选取 3 组求线性回归方程,剩下的 2 组数据用于回归方程的检

验。

(1) 请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的回归方程



(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与所选的验证数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方 程是可靠的。试问(1)所得的线性回归方程是否可靠?

n

? xi yi ? nx ? y

( b? ? i?1 n

, a? ? y ? b?x )

? xi 2 ? nx 2

i ?1

22、已知各项均不相等的等差数列{an} 的前五项和 S5 ? 20 ,且 a1, a3, a7 成等比数列.

(1)求数列{an} 的通项公式;

(2)设 Tn

为数列{ 1 }的前 an an ?1

n

项和,若存在

n?

N*

,使得 Tn

?

?an?1

?

0

成立.求实数

?



取值范围.

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数学理答案 1-5BBCCC 6-10DCACD 11-12 CD
13 an ? 3? 2n?1
14.4 15.5 16.(-1.25,-0.5) 17.(1)∵x>0,y>0,∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy.
∵2x+5y=20,∴2 10xy≤20,xy≤10,当且仅当 2x=5y 时,等号成立. 因此有?????22xx+ =55yy=,20,解得?????xy==52,,此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1.
18(1)原不等式可化为 (a+2)x2 ? 4x ? a ?1 ? 0

显然 a ? ?2 时不合题意,所以要使不等式对于任意的 x 恒成立,必须有 a ? 2 ? 0 且 ? ? 0



? ??16

?

a 4(a

? ?

2?0 2)(a ?1)

?

0

解得

a

?

2

,实数

a

的取值范围为

a

?

2

(2) 因式分解得 (ax ? 2)(x ? 2) ? 0 ,

若 a ? 0, 不等式化为 ? 2?x ? 2? ? 0 ,则解集为{x | x ? 2}

若 a ? 0 时,方程 ?ax ? 2??x ? 2? ? 0 的两根分别为 2 ,2
a

①若 a ? 0, 则 2 ? 2 ,所以解集为{x | 2 ? x ? 2}

a

a

②若 0 ? a ? 1, 则 2 ? 2 ,所以解集为{x | x ? 2 或 x ? 2}

a

a

③若 a ? 1, 则不等式化为 ?x ? 2?2 ? 0 ,所以解集为{x | x ? 2}

④若 a ? 1, 则 2 ? 2 ,所以解集为{x | x ? 2 或 x ? 2}

a

a

19(1)(1,13)(2)(16/13,32)(3)(0,0.5)

20.由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人,在[110,130)范围内的有 3 人,

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∴ a ? 2 ? 0.1,b=3. …………(2 分) 20
又分数在[110,150)范围内的频率为 5 ? 0.25 , 20
∴分数在[90,110)范围内的频率为 1-0.1-0.25-0.25=0.4, ∴分数在[90,110)范围内的人数为 20×0.4=8, 由茎叶图可知分数[100,110)范围内的人数为 4 人, ∴分数在[90,100)范围内的学生数为 8-4=4(人).…………(4 分) 从频率分布表可知分数在[90,150)范围内的频率为 0.25+0.4=0.65, 所以估计全校数学成绩及格率为 65% …………(6 分)
(2)设 A 表示事件“大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,平均得分大于等于 130 分”,由茎叶图可知

大于等于 110 分有 5 人,记这 5 人分别为 a, b, c, d , e ,…………(7 分)

则选取学生的所有可能结果为:

(a,b), (a, c), (a, d ), (a, e), (b, c), (b, d ), (b, e) (c, d ), (c, e) , (d, e) ,

基本事件数为 10,…………(9 分)

事件“2 名学生的平均得分大于等于 130 分”也就是“这两个学生的分数之和大于等于 260”,所以可能结果为:

(118,142),(128,136),(128,142),(136, 142),

共 4 种情况,基本事件数为 4,

…………(11 分)

所以 P( A) ? 4 ? 2 . 10 5

…………(12 分)

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