2009—2010学年度全国各地高三数学月考试题分类汇编—数列【北师大版】

2009—— ——2010 学年度全国各地高三数学月考试题分类汇编——数列 学年度全国各地高三数学月考试题分类汇编—— ——数列 ——
一、选择题 1. 湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科) ( 月月考数学试题理科 等比数列 {an } 的各项为正, 理科) 公比 q 满足 q 2 = 4 ,则
a3 + a4 1 的值为 A. a4 + a5 4
1 2

B.2

C. ±

1 2

D.

2. 湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科) Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, ( 月月考数学试题理科 . 理科) 则“数 列 {Sn } 为等差数列”是“数列 {an } 为常数列”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.( 月月考数学理试题) 3.(江西师大附中 2010 届高三 10 月月考数学理试题)已知等差数列 {an } 的前项和为 Sn , 且 S2 = 10, S5 = 55 , 则过点 P (n, an ) , Q(n + 2, an + 2 )(n ∈ N * ) 的直线的斜率为 A.4 B.

1 4

C.-4

D.-

1 4

理科) 4.(湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科) 在数列 {an } 中, an = 2n + 3 , ( 月月考数学试题理科 . 前 n 项和 Sn = an 2 + bn + c, n ∈ N* ,其中 a、b、c 为常数,则 a ? b + c = A. ?3 B. ?4 C. ?5 D. ?6

. 5. ( 江 西 师 大 附 中 2010 届 高 三 10 月 月 考 数 学 理 试 题 ) 在 等 差 数 列 {an } 中 , 若

1 a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 80 ,则 a7 ? a8 的值为 A.4 2
D.10

B.6

C. 8

6. ( 江西师大附中 2010 届高三 10 月月考数学理试题) 已知在等差数列 {an } 中, 月月考数学理试题 ) .

a1 = 120, d = ?4,
若 S n ≤ a n ( n ≥ 2) ,则的最小值为 A. 60 D. 72 7.( 届高三第二次考试数学理试题) 7. ( 河北省正定中学 2010 届高三第二次考试数学理试题 ) 5.已知 f (x ) 为偶函数,且 B. 62 C. 70

f (2 + x) = f (2 ? x) ,
x 当 ? 2 ≤ x ≤ 0 时, f ( x ) = 2 ,若 n ∈ N , a n = f ( n), 则 a 2009 =
*

A. 2009

B. ? 2009

C.

1 2

D.

1 4

届高三第二次考试数学理试题) 8.(河北省正定中学 2010 届高三第二次考试数学理试题).计算机的成本不断降低,若每 ( 隔 3 年计算机价格降低 A.2400 元

1 ,现在价格为 8100 元的计算机,9 年后的价格可降为 3
C.300 元 D.3600 元

B.900 元

届高三第二次考试数学理试题) .设 9. 河北省正定中学 2010 届高三第二次考试数学理试题) {an } 为公比 q > 1 的等比数列, ( 若 a 2004 和 a 2005 是方程 4 x ? 8 x + 3 = 0 的两根,则别 a2006 + a2007 =A.3
2

B.2

C.18

D.21

10.( 届高三第二次考试数学理试题) 10 (河北省正定中学 2010 届高三第二次考试数学理试题).已知数列 {an } 满足 an +1 = a1 ? an ?1 ( n ≥ 2), a1 = a, a2 = b, 设 S n = a1 + a2 + ... + an , 则下列结论正确的是 A. a100 = a ? b, S100 = 50( a ? b) C. a100 = ?b, S100 = 50a B. a100 = a ? b, S100 = 50a D. a100 = ? a, S100 = b ? a

11. ( 河 北 省 正 定 中 学 2010 届 高 三 第 二 次 考 试 数 学 理 试 题 ) . 数 列

?2? an = 5 × ? ? ?5?

2n?2

?2? ? 4×? ? ?5?
B.4

n ?1

, (n ∈ N* ) ,若 a p 与 aq 分别为数列中的最大项和最小项,
C.5 D.6
2 , f n +1 ( x) = f1[ f n ( x)] , 1+ x

则 p + q = A.3

12. 湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科) f1 ( x) = ( 月月考数学试题理科 设 理科) 且 an =
f n (0) ? 1 , f n (0) + 2 1 B. (? ) 2009 2 1 C. ( )2008 2

1 则 a2009 等于 A. ( )2010 2

1 D. (? ) 2007 2

二、填空题 届高三第二次考试数学理试题) 13.( 河北省正定中学 2010 届高三第二次考试数学理试题 ) .等比数列 {an } 的公比为 3. (

q (q ≠ 0) ,
其前项和为 Sn ,若 S3 , S9 , S6 成等差数列,则 q 3 = ?

1 2
π

14.(河北省正定中学 2010 届高三第二次考试数学理试题) 4. ( 届高三第二次考试数学理试题) .已知定义域为的函数 f (x) 对任 意实数 x, y 满足 f ( x + y ) + f ( x ? y ) = 2 f ( x ) cos y ,且 f (0) = 0, f ( ) = 1 .给出下列 2 π 1 结论:① f ( ) = ,② f (x) 为奇函数,③ f (x) 为周期函数,④ f ( x)在(0, π ) 内单调递 4 2 减。其中,正确的结论序号是 ②③ . 15.( 月月考数学理试题) .运算符号:“ ∏ ”,这个符号 15 (江西师大附中 2010 届高三 10 月月考数学理试题)

表示若干个数相乘,例如:可将 1×2×3×…×n 记作

∏ i , (n ∈ N ? ).记Tn = ∏ ai ,
i =1 i =1

n

n

其 中 ai 为 数 列 {a n }( n ∈ N ? ) 中 的 第 i 项 . 若 Tn = n 2 ( n ∈ N ? ), 则a n =

?1   n = 1 ? an = ? n 2 ? ( n ? 1) n ≥ 2 ?

.

理科) 16. 湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科)如下图,对大于或等于 2 的自 ( 然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂” :

仿此, 2 的 5 “分裂” 中最大的数是___9________, m3 的 若 “分裂” 中最小的数是 211, 9 则 m 的值为___15 ________. 15 三、解答题 17. 湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科) 理科) (12 分)数列 {an } 中, an = 32 , ( Sn = 63 , (1)若数列 {an } 为公差为 11 的等差数列,求 a1 ;
2 (2)若数列 {an } 为以 a1 = 1 为首项的等比数列,求数列 {am } 的前 m 项和 Sm′ .

(1 依题意, 解: 1)依题意,得 ? (

? a1 + (n ? 1) × 11 = 32, ?n = 3 ? 解得: 解得: ? n(n ? 1) na1 + × 11 = 63. ? a1 = 10 ? ? 2

?1× q n ?1 = 32, ? 解得: (2) ?1 ? q n 解得: q = 2. ? 1 ? q = 63. ?
2 从而 am = q 2( m ?1) = 4m ?1 ,∴ Sm′ =

1 ? 4m 1 m = (4 ? 1). 1? 4 3

18. 湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科) ( 理科) (12 分)已知数列 {an } 的各项 均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 ( p ? 1) Sn = p 2 ? an ,其中 p 为正常数,且 p ≠ 1. (1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn =

1 3 (n ∈ N? ) ,数列 {bn bn + 2 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn < . 2 ? log p an 4

(1 解: 1)由题设知 ( p ? 1)a1 = p 2 ? a1 ,解得 a1 = p 。 (
?( p ? 1) Sn = p 2 ? an , ? 由? 2 ?( p ? 1) Sn +1 = p ? an +1 , ?

两式作差得 ( p ? 1)( Sn +1 ? Sn ) = an ? an +1.
1 an , p 1 的等比数列。 的等比数列。 p

所以 ( p ? 1)an +1 = an ? an +1 ,即 an +1 =

可见, 可见,数列 {an } 是首项为 p ,公比为
1 1 an = p ( )n ?1 = ( ) n ? 2 . p p

(2) bn =

1 1 1 = = 2 ? log p p 2 ? n 2 ? (2 ? n) n 1 1 1 1 = ( ? ) n(n + 2) 2 n n + 2

bn bb + 2 =

Tn = b1b3 + b2 b4 + b3b5 + L bn bn + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = [( ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) + L + ( ? )] 2 1 3 2 4 3 5 4 6 n n+2 1 1 1 1 3 = (1 + ? ? )< 。 2 2 n +1 n + 2 4

19. . 19 ( 江 西 师 大 附 中 2010 届 高 三 10 月 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 :

?1 ? a + n, n为奇数 * ,且 bn = a2 n ? 2 , n ∈ N a1 = 1, an +1 = ? 2 n ?an ? 2n, n为偶数 ?
(1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证数列 {bn } 为等比数列并求其通项公式; (3)求和 S2n+1= a1 + a 2 + L + a 2 n + a 2 n +1 .

3 5 7 解: (1) a2 = , a3 = ? , a4 = 2 2 4 1 (2) a2 n + 2 = a2 n +1 + 2n + 1, a2 n +1 = a2 n ? 4n 2 1 1 1 ∴ bn +1 = a2 n + 2 ? 2 = (a2 n ? 2) = bn , b1 = a2 ? 2 = ? 2 2 2 1 1 1 ∴ {bn } 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列,∴ bn = ?( ) n 2 2 2

1 1 , a2 n +1 = 2 ? n ? 4n n 2 2 ∴ S2 n +1 = a1 + a3 + ? ?? + a2 n +1 + a2 + a4 + ? ? ? + a2 n 1 1 1 1 1 1 = 1 + 2n ? ( + 2 + ? ? ? + n ) ? 4(1 + 2 + ?? ? + n) + 2n ? ( + 2 + ? ? ? + n ) 2 2 2 2 2 2 1 = ?2n 2 + 2n ? 1 + n ?1 2 20.(湖南师大附中 2010 届高三月考试题一)为了保护三峡库区的生态环境,凡是坡度在 届高三月考试题一) ( 25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计,到 2004 年底库区的绿化率只有 30%。 计划从 2005 年开始加大绿化造林的力度, 每年原来坡度在 25°以上的坡荒面积的 16% 将被造林绿化,但同时原有绿化面积的 4%还是会被荒化。设该地区的面积为 1,2004
(3) a2 n = 2 + bn = 2 ?

3 ,经过一年绿化面积为 a2,…,经过 n 年绿化面积为 a n +1 . 10 4 (1)试写出 a n +1与a n 的关系式,并证明数列 {a n +1 ? } 是等比数列; 5
年绿化面积为 a1 = (2)问至少需要经过多少年努力,才能使库区的绿化面积超过 60%? 解:(1)设 2004 年坡度在 25°以上的坡荒地面积为 b1,经过 n 年绿化造林后坡荒地 面积为 bn +1 , 则a n + bn = 1.

故a n +1 = 96%a n + 16%bn = 96%a n + 16%(1 ? a n ) = 80%a n + 16% =
由 a n +1 =

4 4 a n + .LLLL 4分 5 25

4 4 4 4 4 a n + , 得a n +1 ? = (a n ? ). …… 5 25 5 5 5 4 4 1 4 所以数列 {a n +1 ? }是以a1 ? = ? 为首项, 为公比的等比数列. 5 5 2 5 4 1 4 n (2)由(I)可知 a n +1 = ? ? ( ) . …………8 分 5 2 5 4 1 4 4 2 若 ? ? ( ) n > 60%, 则( ) n < . …………9 分 5 2 5 5 5

4 2 4 16 10 2 4 3 64 2 因为 > , ( ) 2 = > = ,( ) = = , 5 5 5 25 25 5 5 125 5 4 256 250 2 4 5 1024 625 × 2 2 ( )4 = > = ,( ) = 5 < = , 5 625 625 5 5 5 5 55 4 4 2 又y = ( ) x 是减函数, 所以当n ≥ 5时, ( ) n < .LLLLL12分 5 5 5
故至少需要 5 年才能使库区的绿化面积超过 60%。 ( 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已 21. 广东省广州市 2010 届第二次调研数学试题 理科) (理科) 知对任意的 n ∈ N
+

,点 (n, S n ) ,均在函数 y = b x + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的

图像上. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记

bn =
+

n +1 (n ∈ N + ) 4 an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

x 点 均为常数)的 解:因为对任意的 n ∈ N ,点 (n, S n ) ,均在函数 y = b + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数 的 因为对任意的

图像上.所以得 图像上 所以得 S n = b + r ,
n

当 n = 1 时, a1 = S1 = b + r , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = b + r ? (b
n n ?1

+ r ) = b n ? b n ?1 = (b ? 1)b n ?1 ,
所以 an = (b ? 1)b
n ?1

又因为{ 为等比数列, 又因为 an }为等比数列 所以 r = ?1 , 公比为 b , 为等比数列 (2)当 b=2 时, an = (b ? 1)b ) 则 Tn =
n ?1

= 2 n ?1 ,

bn =

n +1 n +1 n +1 = = n +1 n ?1 4 an 4 × 2 2

2 3 4 n +1 + 3 + 4 + L + n +1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 Tn = + 4 + 5 + L + n +1 + n + 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n +1 相减,得 相减 得 Tn = 2 + 3 + 4 + 5 + L + n +1 ? n + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 × (1 ? n ?1 ) 3 1 2 n +1 3 1 n +1 2 + ? n + 2 = ? n +1 ? n + 2 1 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n +1 3 n + 3 所以 Tn = ? n ? n +1 = ? n +1 2 2 2 2 2

22. 湖北省黄冈中学 2010 届高三 9 月月考数学试题 理科) ( 理科) (本小题满分 13 分) n(n ? 1) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 = 4, Sn = na n + 2 ? , (n ≥ 2, n ∈ N ? ) 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足: b1 = 4 ,且 bn +1 = bn2 ? (n ? 1)bn ? 2, (n ∈ N? ) , 求证: bn > an , (n ≥ 2, n ∈ N? ) ; (3)求证: (1 +
1 1 1 1 )(1 + )(1 + )LL (1 + )< 3 e。 b2 b3 b3b4 b4 b5 bn bn +1
n(n ? 1) , 2

(1 解: 1)当 n ≥ 3 时, Sn = nan + 2 ? (

Sn ?1 = (n ? 1)an ?1 + 2 ?

(n ? 1)(n ? 2) n ?1 可得: ×2 ,可得: an = nan ? (n ? 1) an ?1 ? 2 2

∴ an ? an ?1 = 1(n ≥ 3, n ∈ N ? ) .Q a1 + a2 = 2a2 + 2 ? 1, ∴ a2 = 3.
?4, (n = 1) 可得, 可得, an = ? ? ?n + 1.(n ≥ 2, n ∈ N )

不等式成立. (2) 1° 当 n = 2 时, b2 = b12 ? 2 = 14 > 3 = a2 ,不等式成立.

2° 假设当 n = k (k ≥ 2, k ∈ N? ) 时,不等式成立,即 bk > k + 1. 那么,当 n = k + 1 时, 不等式成立, 那么,
bk +1 = bk2 ? ( k ? 1)bk ? 2 = bk (bk ? k + 1) ? 2 > 2bk ? 2 > 2(k + 1) ? 2 = 2k ≥ k + 2,

不等式也成立。 所以当 n = k + 1 时,不等式也成立。 根据( 可知, 根据( 1° )( 2° )可知,当 n ≥ 2, n ∈ N? 时, bn > an . , (3)设 f ( x) = 1n(1 + x) ? x, f ′( x) =
1 ?x ?1 = < 0, 1+ x 1+ x ∴ f ( x) 在 (0, +∞) 上单调递减,∴ f ( x) < f (0),∴1n(1 + x) < x. 上单调递减, 1 1 1 = , ∵当 n ≥ 2, n ∈ N? 时, < bn an n + 1

∴ ln(1 + ∴ ln(1 + ∴ (1 +

1 1 1 1 1 )< < = ? , bn bn +1 bn bn +1 ( n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? = ? < ) + 1n(1 + ) + L + ln(1 + ) < ? +L+ b2 b3 b3b4 bn bn +1 3 4 n +1 n + 2 3 n + 2 3

1 1 1 )(1 + )L (1 + ) < 3 e. b2 b3 b3b4 bn bn +1

23.(湖南省师大附中 2010 届高三第二次月考数学理试题)已知数列 {a m } 是首项为,公差 23 ( 届高三第二次月考数学理试题) 为 b 的等差数列,{bn } 是首项为 b ,公比为的等比数列,且满足 a1 < b1 < a2 < b2 < a3 ,其 中 a、b、m、n ∈ N * . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ) 若数列 {1 + am } 与数列 {bn } 有公共项, 将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列

{cn } ,求数列 {cn } 的通项公式;
(Ⅲ)记(Ⅱ)中数列 {cn } 的前项之和为 S n ,求证:

9 9 9 9 19 + + +L+ < (n ≥ 3) . S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S 4 S n S n +1 42
(Ⅰ 【解】 Ⅰ)由题设 a m = a + ( m ? 1)b, bn = b ? a (
n ?1

.

由已知 a < b < a + b < ab < a + 2b ,所以 ab < a + 2b < 3b .又 b>0,所以 a<3. 因为 ab > a + b, b > a ,则 ab > 2a .又 a>0,所以 b>2,从而有 a > 因为 a ∈ N * ,故 a = 2 .

b > 1. b ?1

(Ⅱ)设 1 + a m = bn ,即 1 + a + ( m ? 1)b = b ? a
n ?1 因为 a = 2 ,则 3 + ( m ? 1)b = b ? 2 ,所以 b =

n ?1

.

2

n ?1

3 . ? (m ? 1)

N*, 因为 b > a = 2 ,且 b∈N*,所以 2 故 c n = bn = 3 ? 2
n

n ?1

? (m ? 1) = 1 ,即 m = 2 n?1 ,且 b=3.
n ?1

n ?1

.

(Ⅲ)由题设, S n = 3(1 + 2 + L + 2 由题设, 当 n ≥ 3 时, 2 ? 1 = C n + C n + L + C n
0 1

) = 3(2 n ? 1) .

n ?1

0 1 n + Cnn ? 1 ≥ Cn + Cn + Cn ?1 + Cnn ? 1 = 2n + 1 ,当且

时等号成立, 仅当 n = 3 时等号成立,所以 S n ≥ 3(2n + 1) . 于是

9 1 1 1 1 1 = n < = [ ? ](n ≥ 3) . n +1 S n s n +1 (2 ? 1)(2 ? 1) (2n + 1)(2n + 3) 2 2n + 1 2n + 3

21, 因为 S1=3,S2=9,S3=21,则

9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +L+ < + + [ ? + ? +L ? ] S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S 4 S n S n+1 3 21 2 7 9 9 11 2n + 1 2n + 3 1 1 1 1 1 1 1 1 19 = + + ( ? )< + + = . 3 21 2 7 2n + 3 3 21 14 42
24.( 届高三第二次考试数学理试题) . 24.(河北省正定中学 2010 届高三第二次考试数学理试题) 已知定义在 R + 上的函数 f (x ) 有 2 f ( x ) + f ( ) = 2 x + (1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)设函数 g ( x ) =

1 x

1 +3. x

f 2 ( x) ? 2 x ( x > 0) ,直线 y = 2n ? x ( n ∈ N * )分别与函数

( . S y = g (x ), y = g ?1 ( x) 交于 An、Bn 两点 n ∈ N * ) 设 a n = An Bn , n 为数列 {an } 的前项和。
2 2 1 ○求 a n ,并证明 S n ?1 = S n ?

2S n 1 + 2 ( n ≥ 2) ; n n S S 2 S3 + +L+ n )。 2 3 n

2 ○求证:当 n ≥ 2 时, S n > 2(
2

解.⑴ 2 f ( x ) + f ( ) = 2 x +

1 1 +3 x x 1 2 故 2 f ( ) + f ( x ) = + x + 3 两式联立可得 f ( x ) = x + 1 x x
⑵①由(1)可得 g ( x ) = 联立 ?

( x + 1) 2 ? 2 x = x 2 + 1,

?y = x2 +1 ? ? y = 2n ? x ?

得交点 An ? ?

? 2n 2 ? 1 2n 2 + 1 ? ? 2 n 2 + 1 2n 2 ? 1 ? ?,由此得Bn ? , ? 2 2n , 2 2n ?, ? 2 2n 2 2n ? ? ? ? ?

? 2 n 2 ? 1 2 n 2 + 1 ? ? 2 n 2 + 1 2n 2 ? 1 ? 1 所以 a n =| An Bn |= ? ? 2 2n ? 2 2n ? + ? 2 2n ? 2 2n ? = n ? ? ? ? ? ? ?
Q Sn ?
2S 2S 1 1 1 2 2 2 2 = S n ?1 ∴ S n ?1 = S n ? n + 2 ,②∴当n ≥ 2时, S n ? S n ?1 = n ? 2 , n n n n n

2

2

2 2 S n ?1 ? S n ? 2 =

2S n ?1 2S 1 1 2 ? , …… S 2 ? S12 = 2 ? 2 , 2 n ? 1 (n ? 1) n 2
S S2 S3 1 1 1 + +L+ n ) +1? ( 2 + 2 +L+ 2 ) 2 3 n 2 3 n

累加得: S n = 2( 累加得: 2

又Q 1 ? (

1 1 1 1 1 1 + 2 +L+ 2 ) > 1? [ + +L+ ] 2 1× 2 2 × 3 n(n ? 1) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 S S + ? +L+ ? ) = > 0 ∴ Sn 2 > 2( 2 + 3 + L + Sn ) 2 3 n 2 2 3 n ?1 n n

= 1 ? (1 ?


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