北师大版2009—2010学年度高三年级第二次月考数学(理)试题

2009— 2009—2010 学年度高三年级第二次月考

数 学 试 卷( 理)
命题: 命题:王良芳 审题: 审题:张冬生
小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个 选择题: 选项中,只有一项是符合题目要求的. 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、 、 设集合 A=R, 下列对应关系中, , 集合 B={x | x>0}, > , 下列对应关系中, 是从集合 A 到集合 B 的映射的是 ( A、x →y=| x | 、 B、x→y= 、 → )

1 ( x ? 1) 2

C、x→y=( 、 → (

1 x ) 2

D、x→y=(1+x2) 、 → (

2、 、 等差数列{an}的公差为 d, n 项和为 Sn, 变化时, a 是一个定值, 等差数列 的公差为 , 前 当首项 a1 与 d 变化时, 2 +a8+a11 是一个定值, 则下列各数中也为定值的是( 则下列各数中也为定值的是( ) A、S7 B、S8 C、S13 D、S15 、 、 、 、 3、 x≥3”是“ x-2) x ? 2 x ? 3 ≥0”的( 、 ≥ ” “ ( ) ”
2



A、充分不必要条件 、 B、必要不充分条件 、 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 、 、 4、用数学归纳法证明: (n+1) (n+2)…(n+ n)=2 n·1·3…(2 n-1) ∈N*) (n∈ ) 、用数学归纳法证明: ( ) ( ) ) · - ( “从 K 到 K+1”左端需增乘的代数式为( ”左端需增乘的代数式为( ) A、2K+1 、 B、2(2K+1) 、 ( ) C、 、

2k + 1 k +1
3

D、 、

2k + 3 k +1

5、已知函数 f(x)的定义域为 R,其导数 f ′( x ) = 4x3-4x,且图象过点(- ,1)( ,5) 、 (-1, )(0, ) ( ) , ,且图象过点(- , , 则函数 f(x)的极大值为( ( )的极大值为( ) A、- 、-1 B、5 C、1 D、±1 、- 、 、 、 6、若方程 2 、
? x

? m = 0 有实根,则实数 m 的取值范围是( 有实根, 的取值范围是(
B、0≤m≤1 、 ≤ ≤ C、m≥1 或 m<0 、 ≥ <

) D、m>1 或 m<0 、 > <

A、0<m≤1 、 < ≤ 7、 、 设函数 f ( x ) = ? ( ) A、- 、-1 、-

?? log 3 ( x + 1)( x>4) ? ?1? 的反函数为 f ?1 ( x ) , f ?1 ? ? = a , f (a + 7) = 且 则 2 x?4 ( x ≤ 4) ?8? ? ?
B、1 、 C、-2 、-2 、- D、2 、

8、设 f(x)=xsinx,若α、β∈[- 、 ( ) ,

π
2



π
2

],且 f(α)> (β) 则下列结论中成立的 , ,则下列结论中成立的 ( )>f( ,

是( ) A、α>β B、α+β>0 C、α<β D、α2>β2 、 、 β 、 、 9、设 f(x) (x)都是定义在实数集 R 上的奇函数,不等式 f(x)> 的解集为(m,n) ,g( ) 上的奇函数, )>0 、 ( ) , ( )> 的解集为( , ) , )>0 不等式 g(x)> 的解集为( ( )> 的解集为(

m n ,其中 < < , )>0 , ) 其中 0<2m<n,则不等式 f(x)g(x)> , ( ) ( )> 2 2

的解集为( 的解集为( A、 、 (

) B、 、 (

m n , ) 2 2

C、 、 (-n,- ) ,-m (- ,-

m n n m , )∪(- , ) 2 2 2 2 n n ,-m) D、 , )∪(- ,- ) (m, 、 ( 2 2

10、已知 f(x)是偶函数,且 f(2+x)= f(2-x) 当-2≤x≤0 时,f(x)=2x,若 n∈N*, 、 ,当 ≤ ≤ ( ) 偶函数, ( ) ( ) , ( ) ∈ , ,则 an=f(n) 则 a2006=( ( ) , ( A、2006 、 B、4 、 ) C、 、

1 4
n →∞

D、- 、-4 、-

11、已知等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,且有 、已知等比数列 首项为 公比为 且有 是( )

lim (1 + q ? q

a1

n

1 ) = ,则首项 a1 的取值范围 的取值范围 2

A、0<a1<1 且 a1≠ 、 < C、0<a1< 、 <

1 2

B、0<a1≤3 或 a1=- 、 < =-3 D、0<a1<1 且 a1≠ 、 <

1 2

1 或 a1=3 2

12、数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2007+a2008>0,a2007·a2008<0,则使前 n 项和 Sn>0 、数列 是等差数列, 是等差数列 , , , 成 立的最大自然数 n 是( A、4016 、 B、4015 、 ) C、4014 、 D、4013 、

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分. 填空题: 13、在数列{an}和{bn}中,bn 是 an+1 和 an 的等差中项,a1=2,且对任意 n∈N*都有 3 an+1- 、在数列 的等差中项, 和 中 , ∈ 都有 an=0, , 则数列{b 的通项公式是 则数列 n}的通项公式是 14、若函数 y = lg(1 + a ? 2 x + 4 x ) ,当 x∈(-∞,2 ]时有意义,则 a 的取值范围是 、 时有意义, ∈(-∞ 时有意义 15、已知函数 f(x)=x2+kx 的图象在点 A(1 , f (1) )处的切线方程为 3x-y+b=0,数列 、 ( ) ( x y+b=0,

{

2 }的前 n 项和为 Sn,则 S2009= 的前 f ( n)
-x

16、给出下列四个命题:①函数 y=3x+3-x(x<0)的最小值为-2;②在数列 n}中,a1=1, 、给出下列四个命题: 的最小值为- 在数列{a 中 3 , Sn 是其前 n 项和,且满足 Sn+1= 项和,

1 1 则数列是等比数列; =0, ·Sn+2,则数列是等比数列;③若 f(x+2)+ ( ) =0, 2 f ( x)

为周期的周期函数; 的图象关于点( , ) 则函数 f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数;④若函数 f(x)=x3+ax2+2 的图象关于点(1,0) ( ) 对称, 的值为- 对称,则 a 的值为-3 则正确的命题的序号为

2009— 2009—2010 学年度高三年级第二次月考

数 学 答 题 卷 (理)
一.单项选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

考号

答案

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分. 填空题: 姓名________________ 13、 、 15、 、 14、 、 16、 、

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演 解答题: 小题, 解答应写出文字说明, 算步骤. 算步骤.
17、 、 (12 分)已知集合 A={x | log3(x2-2x-15)> ,B={x |( 2x-15)> )>2}, ( ( 的取值范围。 若 B∩(CRA)=B,求实数 m 的取值范围。 ∩ ) ,
2

1 x ) 2

2

? mx ? 2m 2

>1}, ,

学校

班级

18、 、 (12 分)在等比数列 n}中,a1+a6=33,a3·a4=32,且 an+1<an(n∈N*) 在等比数列{a 中 , , ∈ ) ( 的通项公式。 求数列{a 的通项公式 ①求数列 n}的通项公式。

的值。 ②若 Tn=lga1+lga2+…+ lgan,求 Tn 的最大值及此时 n 的值。

的反函数为 ,设 , ) 19、 、 (12 分)设已知函数 f(x)=2 -1 的反函数为 g(x) 设φ(x)= ( ( ) ①解不等式 g(x)≤φ(x) 求函数φ ②设①中不等式的解集为 A,x∈A 时,求函数φ(x)- ,

x

1 log2(3x+1) ) 2

1 的值域。 g(x)的值域。 2

20、 12 分)设 p:函数 f(x)=x3+mx2+(m+ 20、 (12 ( ( ) (

4 )x+6 在 R 上有极值;q:不等式 x+|x- 上有极值; : x 3

2m|> 的取值范围。 2m >1 解集为 R,求使命题“p 且 q”为假, p 或 q”为真的实数 m 的取值范围。 ,求使命题“ ”为假, “ ”

21、(12 分)已知函数 f(x)= 、 已知函数

1 [t ln(x+2)-ln(x-2) ,且 f(x)≥f(4)恒成立。 - x 2)], ( ) ( )恒成立。 2

的值, 为何值时, ( ) 上取得最大值。 ①求 t 的值,并求 x 为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值。 , 上取得最大值 ,若 ( )是单调递增函数, 的取值范围。 ②设 F(x)=aln(x-1)-f(x) 若 F(x)是单调递增函数,求 a 的取值范围。 ( ) x 1)- ( ) ,

22、 、 (14 分)已知函数 f(x)= ( ( )

2x + x2 -1 (0<x<1)的反函数为 f (x) < < ) 2 2? x? x
-1

-1 (n N*) 求数列{a 的通项公式 ,求数列 的通项公式; ①已知数列{an}满足 a1=1,an+1=f (an) n∈N*) 求数列 n}的通项公式; 已知数列 满足 , f ( ,

2 22 2n ②Tn= + +… + ,求 Tn; an a1 a2
③已知数列{bn}满足 b1= 已知数列 满足

1 ,bn+1=(1+bn)2·f-1(bn) ∈N*) ( (n∈N*) ( 2 1 1 1 + +… + <2 a1 + b1 2a2 + b2 nan + bn

求证: 的正整数, 求证:对一切 n≥2 的正整数,1<

高三第二次月考数学参考答案( 高三第二次月考数学参考答案(理)

一、选择题 1—5 CCACB 6—10 ACDDC 11—12 DC 二、填空题 13、

4 1 n ?1 ?( ) 3 3

14、 ?? 2

? ?

,

+ ∞? ? ?

15、

2009 1005

16、③④

三、解答题 17、 (12 分) 解:由 x ? 2 x ? 15> 9 ? x< ? 4或x> 6
2

即 A= {x | x< ? 4或x> 6},则 C R A{x | ?4 ≤ x ≤ 6}……(2 分)

< 由 x 2 ? mx ? 2m 2< 0 ? ( x + m)( x ? 2m) 0

即 B = {x | ( x + m)( x ? 2m) 0} ……(4 分) < 若 B≠φ时,当 2m>-m 即 m>0 时,B={x|-m<x<2m} ∵B∩(CRA)=B ? B ? (C R A) ∴?

? ? m ≥ ?4 ?0?m≤3 ?2 m ≤ 6

当 2m<-m 即 m<0 时,B={x|2m<x<-m} 同理得 ?

?2m ≥ ?4 ? ?2 ≤ m ? 0 ……(9 分) ?? m ≤ 6
2 2

若 B≠φ时,即不等式 x -mx-2m <0 无解,∴△≤0 ? m=0(11 分) 综上所述,所求 m 的取值范围是-2≤m≤3(12 分)

?a1 = 32 ?a1 + a1q 5 = 33 ? ? 18、解:①设公比为 q,则 ? ?? 1 ……(4 分) 2 3 ?a1q ? a1q = 32 ?q = ? ? 2
?1? ∴ a n = 32 × ? ? ? 2?
n ?1

= 2 6? n ……(6 分)

②由①得 lg a n = (6 ? n) lg 2 即数列 {lg a n } 是以 5lg2 为首项-lg2 为公差的等差数 列……(8 分) ∴ Tn = n × 5 lg 2 +

n(n ? 1) lg 2 2 × (? lg 2) = ? ( n ? 9n) 2 2 lg 2 9 81lg 2 ? Tn = ? (n ? ) 2 + ……(10 分) 2 2 8

∴当 n=4 或 5 时,Tn 最大,其值为 10lg2(12 分) 19、解: g ( x ) = log 2
( x +1)

( x ? ?1) ……(1 分) ≤ 1 ( 3 x +1) log 2 2
( 3 x +1)

① g ( x ) ≤ φ ( x ) ? log 2

( x +1)

= log 2

( x +1)

≤ log 2

?x + 1 ? 0 ? ? ?3 x + 1 ? 0 ? 0 ≤ x ≤1 ? 2 ?( x + 1) ≤ (3 x + 1)
② φ ( x) ?

∴解集为 x∈[0,1]……(6 分)

1 1 1 1 3x + 1 ( 3 x +1) ( x +1) g ( x) = log 2 ? log 2 = log 2 2 2 2 2 x +1 3x + 1 2 设u = = 3? 在[0,1]是增函数,1≤u≤2 x +1 x +1

∴ φ ( x) ?

1 1 g ( x) 在 x∈[0,1]上的值域为[0, ]……(12 分) 2 2
2

20、解:对于 p:由 f(x)在 R 上有极值,知 f ′( x ) = 3 x + 2mx + m + 即△≥0,得 m≤-1 或 m≥4,但 m=-1 和 m=4 时,f(x)无极值。 ∴p:m<-1 或 m>4……(4 分) 对于 q:由 x + | x ? 2m |= ?

4 = 0 有解 3

?2 x ? 2 m ( x ≥ 2 m ) 知 x+|x-2m|≥2m, ?2 m ( x ? 2 m ) 1 2

即 ( x + | x ? 2m |) min ,∴ 2m ? 1 ? m ? ∴q: m ?

1 ……(8 分) 2

∵“p 且 q 为假”“q 或 p”为真,知 p,q 一真一假 ,

?m ? ?1或m ? 4 ? 当 p 真 q 假时 ? 得m ? ?1 1 ?m ≤ 2 ? ?? 1 ≤ m ≤ 4 1 ? 当 p 假 q 真时 ? 得 ?m≤4 1 2 ?m ? 2 ?
综上所述,m<—1 或

1 <m≤4……(12 分) 2

21、解:①由题意知:f(x)的定义域为(2,+∞) ;且 f(4)是 f(x)的最小值也是极小值, 而 f ′( x ) =

1 t 1 ( ? ) ,且 f ′(4) = 0 得 t=3……(3 分) 2 x+2 x+2 x?4 由此可得 f ′( x ) = 2 x ?4
∴f(x)在(2,4)上减函数

由 f ′(x ) <0 ? 2<x<4;由 f ′(x ) >0 ? x>4

在(4,+∞)是增函数,故 f(x)在[3,7]上的最大值应在端点 x=7 处取得……(6 分) ②由 F(x)是增函数,可知 F ′(x ) >0 恒成立,又 F ′( x ) =
2

(a ? 1) x 2 + 5 x ? 4(a + 1) ( x ? 1)( x 2 ? 4)

又∵F(x)的定义域为(2,+∞)即 x>2,∴(x-1)(x -4) >0 恒成立 2 2 只需(a-1)x +5x-4(a+1) >0 恒成立,设 h(x)=(a-1)x +5x-4(a+1) 即 h(x) >0 在(2,+∞)上恒成立,a 的取值范围。 (i)当 a-1<0 时,显然不可能有 h(x) >0 在(2,+∞)上恒成立 (ii)当 a-1=0 时,h(x)=5x-8>0 在(2,+∞)恒成立

?? = 16a 2 + 9 ? 0 ? 5 ? (iii)当 a-1>0 时,∴ ?? 恒成立, ?2 ? 2(a ? 1) ?h(2) = (a ? 1) ? 2 2 + 5 × 2 ? 4(a + 1) = 2 ? 0 ?
∴h(x) >0 在(2,+∞)恒成立。 综上所述:当 a≥1 时,h(x) >0 在(2,+∞)恒成立,故所求的 a 的取值范围为

? ? ?1 , + ∞ ? ……(12 分) ? ?
22、解:①f(x)=
-1

x x -1 ∴f(x)的反函数 f (x)= (x>0) 1? x 1+ x

1分

∵an+1= f (an) ,则 an+1=

an 1 + an

1 a n +1

=

1 +1 an

1 a n+1

?

1 =1 an

∴数列 ?

?1? 1 ? 是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列, a n = ……(5 分) n ? an ?
n +1

②错位相减法得: Tn = ( n ? 1) 2 ③证明: bn +1 = (1 + bn ) ?
2

+ 2 ……(9 分)

bn 1 1 1 = (1 + bn )bn ? = ? 1 + bn bn+1 bn 1 + bn


?
1

1 1 1 = ? 1 + bn bn bn+1
+ 1 2a 2 + b 2 +?+

1 1 = na n + bn 1 + bn
1 ? 1 1 + b1 + 1 1+ b2 = 1 1+ 1 2 + 1 1+ 3 4 = 26 21 ?1



a 1 + b1

na n + b n

又∵

1 1 1 1 1 1 + +?+ = + +?+ a1 + b1 2a 2 + b2 na n + bn 1 + b1 1 + b2 1 + bn
=(

1 1 1 1 1 1 ? ) + ( ? ) +?+ ( ? ) b1 b2 b3 b4 bn bn +1 1 bn +1
<2

<2-

综上, 对一切 n≥2 的正整数; 1<

1 1 1 <2 成立… (14 分) + +?+ a1 + b1 2a 2 + b2 na n + bn


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