[最新]北师大版数学必修二课时作业:1.5.2.2平面与平面平行的性质(含答案)

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课时提升作业(八)

平面与平面平行的性质

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)

1.(2013·安徽高考)在下列说法中,不是公理的是( )

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面



D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共

直线

【解析】选 A.

选项

具体分析

结论

A 两个平面平行的性质定理 不是公理

B

空间图形的公理 2

是公理

C

空间图形的公理 1

是公理

D

空间图形的公理 3

是公理

2.(2014·广州高二检测)设 a,b,c 为不重合的直线,α ,β ,γ 为不重合的

平面,则下列说法中,正确的个数为( )

(1)若α ∥β ,a α ,b β 则 a∥b.

(2)若α ∥β ,a α ,B∈β ,则在β 内过点 B 存在唯一一条直线与 a 平行.

(3)若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ .

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.0 个

【解析】选 B.(1)错误,a 与 b 无公共点,则 a∥b 或 a 与 b 异面.(2)正确,由

面面平行的性质定理知(2)正确,(3)正确.

3.(2014·西安高一检测)一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线

与这两个平面的交线的位置关系是( )

A.异面

B.相交

C.平行

D.不能确定

【解析】选 C.设α∩β=l,a∥α,a∥β,

过直线 a 作与α,β都相交的平面γ,

记α∩γ=b,β∩γ=c.

则 a∥b,且 a∥c,所以 b∥c.

又 b?β,c β,所以 b∥β.

又 b α,α∩β=l,

所以 b∥l,a∥l.

4.(2014·成都高二检测)平面α 截一个三棱锥,如果截面是梯形,则平面α 必

定和这个三棱锥的( )

A.底面平行

B.一个侧面平行

C.平行于两条相对的棱

D.仅与一条棱平行

【解题指南】画出三棱锥结合面面平行的性质逐一验证.

【解析】选 D.当平面α平行于某一个面时,截面为三

角形,故 A,B 错,当平面α∥SA 时,如图所示.

SA 平面 SAB,平面 SAB∩α=DG,

所以 SA∥DG,同理 SA∥EF,所以 DG∥EF,同理若 BC

∥α时得到 GF∥DE,因为截面是梯形,所以只能有一

条棱与之平行.

5.(2014·重庆高一检测)棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 AA1 的中点,

过 C,M,D1 作正方形的截面,则截面的面积为( )

A.9

B.

C.18

D.

【解题指南】由点、线、面的位置关系作出截面,依据图形求出面积即可.

【解析】选 B.如图,由面面平行的性质知截面与平面

AB1 的交线 MN 是△AA1B 的中位线,所以截面是梯形

CD1MN,其中 MN= ,CD1=2 .CN=D1M= ,

所以梯形的高为 h=

=,

所以 S= ( +2 )× = . 6.如图所示,P 是三角形 ABC 所在平面外一点,平面α ∥平面 ABC,α 分别交线 段 PA,PB,PC 于 A′,B′,C′.若 PA′∶AA′=2∶5,求△A′B′C′与△ABC 的面积比为( )

A.2∶5

B.2∶7

C.4∶49

D.9∶25

【解题指南】相似三角形面积之比等于边长之比的平方.

【解析】选 C.因为平面α∥平面 ABC,平面α∩平面 PAB=A′B′,

平面 ABC∩平面 PAB=AB,

所以 A′B′∥AB.所以 A′B′∶AB=PA′∶PA.

又 PA′∶AA′=2∶5,所以 A′B′∶AB=2∶7.

同理 B′C′∶BC=2∶7,A′C′∶AC=2∶7,

所以△A′B′C′∽△ABC,

所以 S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

7.平面α ∥平面β ,△ABC 和△A′B′C′分别在平面α 和平面β 内,若对应顶

点的连线共点,则这两个三角形________.

【解析】由于对应顶点的连线共点,则 AB 与 A′B′共面,由平面与平面平行的

性质知 AB∥A′B′,同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′,故两个三角形相似.

答案:相似

8.(2014·吉安高二检测)如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 中过 BD1 的平面,分别与 AA1,

CC1 交于 M,N,则四边形 BND1M 的形状为________.

【解析】设过 BD1 的平面为α,因为平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1,α∩平面 ABB1A1=BM,

α∩平面 CDD1C1=D1N, 所以 BM∥D1N,同理可得 BN∥D1M, 所以四边形 BND1M 为平行四边形. 答案:平行四边形 9.(2013·汉中高一检测)已知平面α ∥β ∥γ ,两条直线 l,m 分别与平面α , β ,γ 相交于点 A,B,C 和点 D,E,F.已知 AB=6,而 = ,则 AC=________. 【解析】三平行平面截空间两条直线所得线段成比例, 则 = ;而 = , 所以 = ,所以 = , 所以 BC=9,所以 AC=AB+BC=15. 答案:15 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·成都高二检测)平面四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 均在平行四 边形 A′B′C′D′所确定的平面α 外且在平面α 的一侧,AA′,BB′,CC′, DD′互相平行,求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
【证明】因为四边形 A′B′C′D′是平行四边形, 所以 A′D′∥B′C′,因为 AA′∥BB′,且 AA′,A′D′是平面 AA′D′D 内 的两条相交直线,BB′,B′C′是平面 BB′C′C 内的两条相交直线,所以平面

AA′D′D∥平面 BB′C′C,又因 AD,BC 分别是平面 ABCD 与平面 AA′D′D,平 面 BB′C′C 的交线,故 AD∥BC,同理可证 AB∥CD,所以四边形 ABCD 是平行四 边形. 11.如图,ABCD -A1B1C1D1 是正四棱柱,E 是棱 BC 的中点.求证:BD1∥平面 C1DE.
【解题指南】证线面平行,可转化为面面平行,方法一过 BD1 作平行平面或转化 为线线平行,方法二在面内找一平行线. 【证明】方法一:如图所示,取 AD 的中点 M, 连接 MB,MD1,ME,则有 ME CD,C1D1 CD, 所以 ME C1D1, 所以四边形 MEC1D1 是平行四边形, 所以 C1E∥D1M, 又 C1E?平面 MBD1, D1M 平面 MBD1,所以 C1E∥平面 MBD1, 又 DM BE, 所以四边形 BEDM 是平行四边形,所以 DE∥BM, 又 DE?平面 MBD1,BM 平面 MBD1, 所以 DE∥平面 MBD1,

又 DE 平面 C1DE,C1E 平面 C1DE, DE∩C1E=E, 所以平面 C1DE∥平面 MBD1, 又 BD1 平面 MBD1,BD1?平面 C1DE, 所以 BD1∥平面 C1DE. 方法二:如图所示,连接 CD1,交 DC1 于点 F,连接 EF,则点 F 是 D1C 的中点,
又 E 是棱 BC 的中点, 所以 EF∥BD1, 又 BD1?平面 C1DE, EF 平面 C1DE, 所以 BD1∥平面 C1DE.
一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.如图所示,在棱长为 2cm 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1 的中点是 P,则过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面为( )

A.三角形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形 【解析】选 D.作出截面如图所示平面 A1ECF,其中 E,F 分别为 AB,C1D1 的中点.由正方体中相对面互相平行,利 用面面平行的性质定理可证四边形为平行四边形. 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3,点 E 在 A1B1 上且 B1E=1,平面α ∥平面 BC1E, 若平面α ∩平面 AA1B1B=A1F,则 AF 的长为( )

A.1

B.1.5

C.2

D.3

【解析】选 A.因为平面α∥平面 BC1E,

平面α∩平面 AA1B1B=A1F,

平面 BC1E∩平面 AA1B1B=BE, 所以 A1F∥BE,又 A1E∥BF, 所以四边形 A1EBF 是平行四边形, 所以 A1E=BF=2,AF=1. 3.M,N,P 为三个不重合的平面,a,b,c 为三条不同的直线,则下列说法中, 不正确的是( )

A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

【解析】选 B.①,④分别是直线和平面平行的传递性,正确;②中 a 与 b 还可

能异面或相交;③中 M 与 N 还可能相交.

【拓展延伸】“平行”关系结论大荟萃

空间的平行关系,有些具有“传递性”,有些不具有,本题中的各种说法用文字

描述为:

①平行于同一条直线的两条直线平行.

②平行于同一个平面的两条直线不一定平行.

③平行于同一条直线的两个平面不一定平行.

④平行于同一个平面的两个平面平行.

⑤平行于同一个平面的直线与平面不一定平行.

4.(2014·杭州高二检测)设平面α ∥平面β ,A,C∈α ,B,D∈β ,直线 AB 与

CD 交于 S,若 AS=18,BS=9,CD=34,则 CS=( )

A.68

B.

C.68 或

D.52

【解题指南】本题有两种情况,(1)交点 S 在两平面之间,(2)交点 S 在两平面

同侧.

【解析】选 C.如图(1)所示,AB,CD 交于 S,

因为α∥β,所以 AC∥BD.

所以 = ,

即 = ,故 CS= .

如图(2)所示,AB,CD 交于 S,因为α∥β,

所以 AC∥BD,所以 = ,

即 = 得 CS=68.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·宿迁高一检测)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M∥平面 BC1N,AC∩平面 BC1N=N,若 AN=mAC,则 m=________.

【解析】因为平面 AB1M∥平面 BC1N, 平面 ACC1A1∩平面 AB1M=AM, 平面 BC1N∩平面 ACC1A1=C1N, 所以 C1N∥AM,又 AC∥A1C1, 所以四边形 ANC1M 为平行四边形, 所以 AN=C1M= A1C1= AC, 所以 N 为 AC 的中点,m= . 答案: 【变式训练】如图所示,平面四边形 ABCD 所在的平面与平面α 平行,且四边形 ABCD 在平面α 内的平行投影 A1B1C1D1 是一个平行四边形,则四边形 ABCD 的形状 一定是________.
【解析】由平行投影定义知,AA1∥BB1,而 ABCD 所在的平面与平面α平行,则 AB∥A1B1,所以四边形 ABB1A1 为平行四边形,同理四边形 CC1D1D 为平行四边形, 所以 AB CD,从而四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 6.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F 分别是 AB, CD 的中点,平面 AGF∥平面 PEC,PD∩平面 AGF=G,ED 与 AF 相交于点 H,则 GH=________.

【解题指南】先证明点 H 是 DE 的中点,再由平面 AGF∥平面 PEC 推出 GH∥PE, 最后在等边三角形 PAB 中求 PE,利用三角形中位线的性质求 GH. 【解析】因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥CD,AB=CD. 因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点, 所以 AE=FD,又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH, 所以△AEH≌△FDH,所以 EH=DH. 因为平面 AGF∥平面 PEC, 平面 PED∩平面 AGF=GH, 平面 PED∩平面 PEC=PE, 所以 GH∥PE,又由 H 是 DE 的中点, 所以 G 是 PD 的中点. 因为 PA=PB=AB=2,所以 PE=2×sin60°= , 所以 GH= PE= . 答案: 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,如图.

(1)求证:平面 AB1D1∥平面 C1BD. (2)试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E,F,并证明:A1E=EF=FC. 【解析】(1)因为在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD B1C1, 所以四边形 AB1C1D 是平行四边形,所以 AB1∥C1D. 又因为 C1D 平面 C1BD,AB1?平面 C1BD. 所以 AB1∥平面 C1BD. 同理 B1D1∥平面 C1BD. 又因为 AB1∩B1D1=B1,AB1 平面 AB1D1,B1D1 平面 AB1D1,所以平面 AB1D1∥平面 C1BD. (2)如图,连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1,连接 AO1 与 A1C 交于 点 E. 又因为 AO1 平面 AB1D1,所以点 E 也在平面 AB1D1 内, 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点. 连接 AC 交 BD 于 O,连接 C1O 与 A1C 交于点 F, 则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点. 下面证明 A1E=EF=FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1=EO1, 平面 A1C1C∩平面 C1BD=C1F, 平面 AB1D1∥平面 C1BD,所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F 中,O1 是 A1C1 的中点,

所以 E 是 A1F 的中点, 即 A1E=EF; 同理可证 OF∥AE,所以 F 是 CE 的中点,即 CF=FE, 所以 A1E=EF=FC. 8.如图,线段 PQ 分别交两个平行平面α ,β 于 A,B 两点,线段 PD 分别交α , β 于 C,D 两点,线段 QF 分别交α ,β 于 F,E 两点,若 PA=9,AB=12,BQ=12, △ACF 的面积为 72,求△BDE 的面积.
【解题指南】求△BDE 的面积,看起来似乎与本节内容无关,事实上,已知△ACF 的面积,若△BDE 与△ACF 的对应边有联系的话,可以利用△ACF 的面积求出△ BDE 的面积. 【解析】因为平面 QAF∩α=AF,平面 QAF∩β=BE, 又α∥β,所以 AF∥BE.同理可证:AC∥BD, 所以∠FAC 与∠EBD 相等或互补, 即 sin∠FAC=sin∠EBD. 由 FA∥BE,得 BE∶AF=QB∶QA=12∶24=1∶2, 所以 BE= AF. 由 BD∥AC,得 AC∶BD=PA∶PB=9∶21=3∶7,

所以 BD= AC. 又因为△ACF 的面积为 72, 即 AF·AC·sin∠FAC=72. 所以 S = △DBE BE·BD·sin∠EBD = · AF· AC·sin∠FAC = · AF·AC·sin∠FAC= ×72=84. 所以△BDE 的面积为 84.
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