志鸿优化湖北高三数学理科一轮总复习课后作业4.3三角函数的图象及性质(含答案详析)

第3讲 三角函数的图象及性质 基础巩固 1.下列函数中,周期为的是( ) 学科王 A.y=sin B.y=sin 2x C.y=|sin x| D.y=sin 4x 答案:D 2.若函数 f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则 f(x)的最大值、最小值分别为( ) A.和 1 B.2 和 1 C.2 和 D.2 和 答案:A 解析:f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x=sin. ∵0≤x<,∴≤x+. ∴1≤f(x)≤. 3.函数 y=2sin(x∈[0,π])的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:∵y=2sin=-2sin, ∴y=2sin 的单调递增区间实际上是 y=2sin 的单调递减区间. 令 2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 解得 kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 令 k=0,得≤x≤. 又∵x∈[0,π],∴≤x≤, 即函数 y=2sin(x∈[0,π])的单调递增区间为. 4.y=sin 的图象的一个对称中心是( ) A.(-π,0) B. C. D. 答案:B 解析:∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z), ∴令 x-=kπ(k∈Z),x=kπ+(k∈Z), 由 k=-1,x=-,得 y=sin 的一个对称中心是. 5.函数 f(x)=sin 在区间上的最小值为( ) A.-1 B.C. D.0 答案:B 解析:因为 x∈,所以 2x-,当 2x-=-,即 x=0 时,f(x)取得最小值-. 6.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x=时,f(x) 取得最大值,则( ) A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 学科王 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 答案:A 解析:∵f(x)的最小正周期为 6π,且 ω>0,∴ω=. ∵当 x=时,f(x)有最大值, ∴+φ=+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z). ∵-π<φ≤π,∴φ=. ∴f(x)=2sin,由此函数图象易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均 没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数. 7.(2013·江苏,1)函数 y=3sin 的最小正周期为 . 答案:π 解析:函数 y=3sin 的最小正周期 T==π. 8. 定义在 R 上的函数 f(x) 既是偶函数又是周期函数 , 若 f(x) 的最小正周期是 π, 且当 x∈ 时,f(x)=sin x,则 f 的值为 . 答案: 解析:f=f=f=sin. 9.f(x)是以 5 为周期的奇函数,f(-3)=4 且 cos α=,则 f(4cos 2α)= . 答案:-4 解析:∵4cos 2α=4(2cos2α-1) =4=-2, 又 T=5,且 f(x)为奇函数, ∴f(4cos 2α)=f(-2)=f(-2+5) =f(3)=-f(-3)=-4. 10.已知函数 f(x)=2sin(π-x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值. 解:(1)∵f(x)=2sin(π-x)cos x=2sin xcos x=sin 2x, ∴函数 f(x)的最小正周期为 π. (2)∵-≤x≤, ∴-≤2x≤π,则-≤sin 2x≤1. ∴f(x)在区间上的最大值为 1,最小值为-. 11.(1)求函数 y=2sin 的值域; (2)求函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域. 解:(1)∵-<x<,∴0<2x+. ∴0<sin≤1. ∴y=2sin 的值域为(0,2]. (2)y=2cos2x+5sin x-4 =2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2 =-2. ∴当 sin x=1 时,ymax=1; 当 sin x=-1 时,ymin=-9. ∴y=2cos2x+5sin x-4 的值域为[-9,1]. 12.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin+2a+b,当 x∈时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; 学科王 学科王 (2)设 g(x)=f 且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 解:(1)∵x∈, ∴2x+. 从而 sin, ∵a>0, ∴-2asin∈[-2a,a]. 则 f(x)∈[b,3a+b]. 又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,故 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, 从而 f(x)=-4sin-1, g(x)=f=-4sin-1 =4sin-1, 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, 即 4sin-1>1, 从而 sin, 则有 2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z, 其中当 2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+,k∈Z, 故 g(x)的单调递增区间为,k∈Z. 又∵当 2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z 时,g(x)单调递减, 即 kπ+<x<kπ+,k∈Z. 故 g(x)的单调递减区间为,k∈Z. 拓展延伸 13.已知函数 f(x)=sin 2x+acos2x(a∈R,a 为常数),且是函数 y=f(x)的零点. (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈,求函数 f(x)的值域,并写出 f(x)取得最大值时 x 的值. 解:(1)由于是函数 y=f(x)的零点, 即 x=是方程 f(x)=0 的解, 从而 f=sin+acos2=0, 则 1+a=0,解得 a=-2. 所以 f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1, 则 f(x)=sin-1. 所以函数 f(x)的最小正周期为

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