(浙江)高考数学一轮复习 123函数的奇偶性与周期性课件 文_图文

? 第3讲 函数的奇偶性与周期性

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? 最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶 性的含义;2.会运用函数的图象理解和研究 函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正 周期的含义,会判断、应用简单函数的周 期性.

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? 知识梳理 ? 1.函数的奇偶性 奇偶 性 偶函 数 定义 图象特点
y轴

奇函 数

如果对于函数 f(x f(-x)= f() x的定义域 ) 内任意一个x,都 关于 有 ,那么函 对称 数f(x)是偶函数 原点 f(-x)=-f(x) 如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x,都 关于 基础诊断 考点突破 课堂总结 有 ,那么函 对称

? 2.奇(偶)函数的性质 相同 ? (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单 调性 ,偶函数在关于原点对称的区 相反 间上的单调性 (填“相同”、“相 反”). ? (2)在公共定义域内 奇函数 ? ①两个奇函数的和函数是 ,两 偶函数 个奇函数的积函数是 . 偶函数 ? ②两个偶函数的和函数 、积函数 奇函数 是 . ? ③一个奇函数,一个偶函数的积函数 是 . 基础诊断 考点突破 课堂总结

? 3.周期性 ? (1) 周期函数:对于函数 y = f(x) ,如果存 f ( x) 在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任 何值时,都有f(x+T)= ,那么就称函数 y = f(x) 为 周 期 函 数 , 称 T 为 这 个 函 数 的 周 期. 存在一个最小 ? (2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的 所有周期中 ? 的正数,那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
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? ? ?

? ?

? 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × (1) 函数 y = x2 , x∈(0 ,+ ∞ ) 是偶函数. ( ) × (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的 图象一定过原点. ( ) √ (3) 若函数 y = f(x + a) 是偶函数,则函数 y =f(x)关于直线 √ x=a对称. ( )
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2.(2014· 广东卷)下列函数为奇函数的是 ( 1 A.y=2 - x 2
x

)

B.y=x3sin x D.y=x2+2x
x

C.y=2cos x+1 解析

1 易知 y=2 -2x是奇函数,y=x3sin x 和 y=2cos x+1

是偶函数,y=x2+2x 是非奇非偶函数,故选 A. 答案 A

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? 3.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x) 的定义域都为 R ,且 f(x) 是奇函数, g(x) 是 偶函数,则下列结论中正确的是 ? ( ) ? A.f(x)g(x)是偶函数 ? B.|f(x)|g(x)是奇函数 ? C.f(x)|g(x)|是奇函数 ? D.|f(x)g(x)|是奇函数
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? 解析 依题意得对任意x∈R,都有f(-x)= -f(x),g(-x)=g(x),因此,f(-x)g(-x)= - f(x)g(x) =- [f(x)·g(x)] , f(x)g(x) 是奇函数, A 错 ; |f( - x)|·g( - x) = | - f(x)|·g(x) = |f(x)|g(x) , |f(x)|g(x) 是 偶 函 数 , B 错 ; f( - x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|= ? -[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C正确; ? |f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|, ? |f(x)g(x)|是偶函数,D错. ? 答案 C 基础诊断 考点突破 课堂总结

? 4.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4) =f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 015) 等于 ( ) ? A.-2 B.2 C.-98 D.98 ? 解析 ∵f(x+4)=f(x), ? ∴f(x)是以4为周期的周期函数, ? ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1). ? 又f(x)为奇函数, ? ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, ? 即f(2 015)=-2. ? 答案 A 基础诊断 考点突破 课堂总结

? 5.(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是 定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x) = x(1 +x),则x<0时,f(x)=________. ? 解析 当x<0时,则-x>0, ? ∴f(-x)=(-x)(1-x). ? 又f(x)为奇函数, ? ∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ? ∴f(x)=x(1-x). ? 答案 x(1-x)
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考点一

函数奇偶性的判断

【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x2+1); (2)f(x)=(1-x) 1+x ; 1-x

2 ? ?-x +2x+1 ?x>0?, (3)f(x)=? 2 ? ?x +2x-1 ?x<0?;

4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3
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解 (1)∵ x2+1>|x|≥0, ∴函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ ?-x?2+1) =-xlg( x2+1-x) =xlg( x2+1+x)=f(x). 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 1+x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义, 1-x ∴-1≤x<1, 由于定义域关于原点不对称,∴函数 f(x)是非奇非偶函数.
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(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x), 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
2 ? ?4-x ≥0, (4)∵? ? ?|x+3|≠3

?-2≤x≤2 且 x≠0,

∴函数的定义域关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x , x+3-3 4-?-x?2 4-x2 又 f(-x)= =- x , -x ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
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? 规律方法 判断函数的奇偶性,包括两个 必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是 函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以 首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具 有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可 以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x) +f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函 数))是否成立.

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【训练 1】 (1)(2015· 郑州质量预测)下列函数中,既是偶函数又 在区间(1,2)上单调递增的是 ( A.y=log2|x| 2x-2 C.y= 2
-x

)

B.y=cos 2x 2-x D.y=log2 2+x

(2)(2014· 台州高三模拟)函数 f(x)=log2(x+ x2+1)(x∈R)与 g(x) = lg |x - 2| 分 别 为 ________ 和 ________ 函 数 ( 填 “奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”).

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解析 (1)对于 A,函数 y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增 函数;对于 B,函数 y=cos 2x 在区间(1,2)上不是增函数;对于 2x-2-x 2-x C,函数 y= 2 不是偶函数;对于 D,函数 y=log2 不 2+x 是偶函数,故选 A. (2)法一 易知 f(x)的定义域为 R. 1 ∵f(-x)=log2[-x+ ?-x? +1]=log2 x+ x2+1
2

=-log2(x+ x2+1)=-f(x), ∴f(x)是奇函数.
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对于 g(x),由|x-2|>0,得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}. ∵g(x)的定义域关于原点不对称, ∴g(x)为非奇非偶函数. 法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(-x)+f(x)=log2[-x+ ?-x?2+1]+ log2(x+ x2+1)=log21=0,即 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

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对于 g(x),由|x-2|>0,得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}. ∵g(x)的定义域关于原点不对称, ∴g(x)为非奇非偶函数. 答案 (1)A (2)奇函数 非奇非偶

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考点二 函数周期性的应用 【例 2】 (1)(2014· 安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函 数,且在[0,2]上的解析式为
?29? ?41? f? 4 ?+f? 6 ?=________. ? ? ? ? ? ?x?1-x?,0≤x≤1, f(x)=? ? ?sin πx,1<x≤2,



(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=-f(x),当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=________.

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解析

(1)由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,所以

?29? ?41? f? 4 ?+f? 6 ? ? ? ? ?

? ?3? ?7? 3? ? 7? ? 3? ? 7? =f?2×4-4?+f?2×4-6?=f?-4?+f?-6?=-f?4?-f?6?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3 π 5 - +sin = . 16 6 16 (2)由 f(x+2)=-f(x), 得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x), 所以函数 f(x)的周期为 4, ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5. 答案 5 (1)16 (2)2.5
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? 规律方法 函数的周期性反映了函数在整 个定义域上的性质.对函数周期性的考查, 主要涉及函数周期性的判断,利用函数周 期性求值.

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【训练 2】 (2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函 数,且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1)时, f(x)=2x-1,则 f(log 6)的值为 ( 5 1 A.-2 B.-5 C.-2 D.-6 )

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解析 ∴f(

∵f(x)是周期为 2 的奇函数.
? 6)=f? ?

3? ? 2? 3? ? 2?

? ? 3? =f?-log22?=-f?log2 ? ? ?

= 答案 C

1 =-2.

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? 考点三 函数性质的综合应用 ? 【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满 足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函 数,则 ? ( ) ? A.f(-25)<f(11)<f(80) ? B.f(80)<f(11)<f(-25) ? C.f(11)<f(80)<f(-25) ? D.f(-25)<f(80)<f(11) ? (2)(2014·新课标全国Ⅱ卷)偶函数y=f(x) 的图象关于直线 x = 2 对称, f(3) = 3 ,则
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? 解析 (1)∵f(x)满足f(x-4)=-f(x), ? ∴ f(x - 8) = f(x) , ∴ 函数 f(x) 是以 8 为周期的 周期函数,则 ? f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3). ? 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4) =-f(x), ? 得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). ? ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数, ? f(x)在R上是奇函数, ? ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,
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? (2)因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以 f(x)=f(4-x), ? f(- x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)= f(4+x),则 ? f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. ? 答案 (1)D (2)3

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? 规律方法 比较不同区间内的自变量对应 的函数值的大小.对于偶函数,如果两个 自变量的取值在关于原点对称的两个不同 的单调区间上,即正负不统一,应利用图 象的对称性将两个值化归到同一个单调区 间,然后再根据单调性判断.

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【训练 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0, +∞)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a)+f( 则 a 的取值范围是 ( A.[1,2] 深度思考
? 1? B.?0,2? ? ? ?1 ? C.?2,2? ? ?

a)≤2f(1),

)

D.(0,2]

你知道奇偶性与单调性的关系了吗 ? 奇函数在对

称区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反??在 解决有关偶函数问题时, 常利用 f?x?=f?|x|?这一结论进行转化.

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解析

因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)=f(|x|),又因为 a=-log2a,且 f(x)是偶函数,所以 f(log2a)+f( a)=

2f(log2a)=2f(|log2a|)≤2f(1),即 f(|log2a|)≤f(1),又函数在 [0,+∞)上单调递增,所以 0≤|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1, 1 解得2≤a≤2.

答案 C

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【训练 4】 (2015· 金丽衢十二校联考)设函数 f(x)是定义在 R 上 的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当
?1? - x∈[0,1]时,f(x)=?2?1 x,则: ? ?

①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ④当
?1? - x∈(3,4)时,f(x)=?2?x 3. ? ?

其中所有正确命题的序号是________.

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解析

由已知条件:f(x+2)=f(x),则 y=f(x)是以 2 为周期的

周期函数,①正确;当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1,
? 1? + f(x)=f(-x)=?2?1 x, ? ?

函数 y=f(x)的图象如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0,
?1? - f(x)=f(x-4)=?2?x 3,因此②④正确,③不正确. ? ?

答案 ①②④
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[思想方法] 1. 奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一, 为了便于判 断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变通形式: f?-x? f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? =± 1(f(x)≠0). f?x? 2. 已知函数的奇偶性求参数问题的一般思路是: 利用函数的奇 偶性的定义, 转化为 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x))对 x∈R 恒 成立,从而可轻松建立方程,通过解方程,使问题获得解决.

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3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 1 1 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- (a 是常数且 f?x? f?x? a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数.

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? ?

?

?

[易错防范] 1.在用函数奇偶性的定义进行判断时,要注意自变量在 定义域内的任意性.不能因为个别值满足f(-x)=±f(x), 就确定函数的奇偶性. 2.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断, 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否 定函数在整个定义域的奇偶性. 3.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象 的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明 的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.

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