《成才之路》2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词.1、2_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章 常用逻辑用语

第一章
1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and) 1.3.2 或(or)

1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业

自主预习学案

? 1.了解逻辑联结词“且”、“或”的意义, 会用联结词“且”、“或”联结或改写某些 数学命题,会判断命题“p且q”、“p或q” 的真假.
? 2.能把文字语言,符号语言相互转化.

? 重点:了解“且”与“或”的含义,能判定 由“且”、“或”组成的新命题的真假.
? 难点:对“或”的含义的理解

逻辑联结词“且”
? 新知导学
? 1.一般地,用联结词“且”把命题p和q联结 起来,就得到一p∧个q 新命题,记p作且q__________, 读作__________.
? 2.关于逻辑联结词“且” ? (“同1)时及“”且、”“的和含”义相与当日,常是语连言词中“的既“…并…且”、
又……”的意思,二者须__________成立.

? (2)从如图所示串联开关电路上看,当两个开 关都S闭1、合S2__________时,灯才能亮;当两个开 关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时,灯 都不会亮.

? (3)从集合角度理解“且”即集合运交算 “__________”.
? 设命题p:x∈A,命题q:x∈B,
? 则p∧q?x∈A,且x∈B?x∈(A∩B).

? (都4)是“真p∧命q题”时是,这假p样∧的q是一_个__复__合__命__题_命:题当;p、当qp、 q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是 __________命题.

? 牛刀小试 ? 1.“xy≠0”是指( ) ? A.x≠0且y≠0 ? B.x≠0或y≠0 ? C.x,y至少一个不为0 ? D.不都是0 ? [答案] A ? [解析] xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.

? 2.p:点P在直线y=2x-3上;q:点P在曲线 y=-x2上,则使“p∧q”为真命题的一个点 P(x,y)是( )

? A.(0,-3)

B.(1,2)

? C.(1,-1) D.(-1,1)

? [答案]
[解析]

C


P(x,y)满足?????yy==-2x-x2 3

,解得 P(1,-1)或 P(-

3,-9),故选 C.

逻辑联结词“或”
? 新知导学
? 3.一般地,用联结词“或”把命题p和q联结 起来,就得到一p个∨新q 命题,记p或作q__________, 读作__________.
? 4.关于逻辑联结词“或” ? (1)“或”的含义和日常语言中一个的“或者”相
当.是“要么……要么……”的意义,二者 中有__________成立即可. 都断开 ? (2)从并联开关电路上看,当两个开关S1、S2 至少有一个闭合时,灯就亮,只有当两个开

? (3)从集合角度理解“或”即集合运并算 “__________”.
? 设命题p:x∈A,命题q:x∈B,
? 则p∨q?x∈A,或x∈B?x∈(A∪B).

? (4)当p、q两个命题有一个命题是真命题时, p真∨q是__________命题;当p、q两个命题都 是假假命题时,p∨q是__________命题.
? 逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”、 “可能”相当,但自然语言中的“或者”有 两种用法:一是“不可兼”的“或”;二是 “可兼”的“或”,而我们仅研究可兼“或” 在数学中的含义.

? 牛刀小试
? 3.下列判断正确的是( ) ? A.命题p为真命题,命题“p或q”不一定是
真命题
? B.命题“p且q”是真命题时,命题p一定是 真命题
? C.命题“p且q”是假命题,命题p一定是假 命题
? D.命题p是假命题,命题“p且q”不一定是 假命题

? 4.由下列各组命题构成的新命题“p或q”、 “p且q”都为真命题的是( )
? A.p:4+4=9,q:7>4 ? B.p:a∈{a,b,c},q:{a} {a,b,c} ? C.p:15是质数,q:8是12的约数 ? D.p:2是偶数,q:2不是质数 ? [答案] B ? [解析] “p或q”“p且q”都为真,则p真q
真,故选B.

? 5.给出如下条件: ? (1)“p成立,q不成立”; ? (2)“p不成立,q成立”; ? (3)“p与q都成立”; ? (4)“p与q都不成立”. ? 其中能使“p或q”成立的是__________(填序
号). ? [答案] (1)(2)(3)

典例探究学案

命题的构成形式

?

分别指出下列命题的构成形式.

? (1)小李是老师,小赵也是老师;

? (2)1是合数或质数;

? (3)他是运动员兼教练员;

? (4)这些文学作品不仅艺术上有缺点,而且政 治上有错误.

? [分析] 本题考查命题的构成形式,是本节课 的重点,也是以后学习的基础.

? [解析] (1)这个命题是“p且q”的形式,其 中,p:小李是老师;q:小赵是老师.
? (2)这个命题是“p或q”的形式,其中,p:1 是合数;q:1是质数.
? (3)这个命题是“p且q”的形式,其中,p: 他是运动员;q:他是教练员.
? (4)这个命题是“p且q”的形式,其中,p: 这些文学作品艺术上有缺点;q:这些文学作 品政治上有错误.

? [方法规律总结] 1.辨别复合命题的构成形式 时,应根据组成复合命题的语句中所出现的 逻辑联结词,或语句的意义确定复合命题的 形式.
? 2.准确理解语义应注意抓住一些关键词.如 “是…也是…”“兼”,“不但…而且…”, “既…又…”,“要么…,要么…”,“不 仅…还…”等.
? 3.要注意数学中和生活中一些特殊表达方式 和特殊关系式.
? 如a≥3是a>3或a=3;xy=0是x=0或y=0;x2 +y2=0是x=0且y=0.

? 指出下列命题的形式及构成它的简单命题:
? (1)24既是8的倍数,也是6的倍数;
? (2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边 形.
? [解析] (1)这个命题是“p∧q”的形式,其 中p:24是8的倍数,q:24是6的倍数.
? (2)这个命题是“p∨q”的形式,其中p:菱 形是圆的内接四边形,q:菱形是圆的外切四 边形.

含有逻辑联结词的复合命题的写法

?

分别写出由下列各组命题构成的

“p∧q”,“p∨q”形式的命题

(1)p: 2是无理数,q: 2大于 1; (2)p:N?Z,q:{0}?N; (3)p:35 是 15 的倍数,q:35 是 7 的倍数.

? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ? ①给定两个命题p、q.
? ②写出由它构成的含有逻辑联结词的复合命 题.
? 解答这类题目的关键是要正确地使用联结词, 并注意语法上的要求.

[解析] (1)p∧q: 2是大于 1 的无理数, p∨q: 2是无理数或大于 1. (2)p∧q:N?Z 且{0}?N, p∨q:N?Z 或{0}?N. (3)p∧q:35 是 15 与 7 的公倍数, p∨q:35 是 15 的倍数或是 7 的倍数.

[方法规律总结] 用逻辑联结词“且”、“或”联结两个 命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同 义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺 也可进行适当的省略和变形.

将下列命题用“且”“或”联结成新命题. (1)p:三角形两边之和大于第三边,q:三角形两边之差小 于第三边; (2)p:函数 y=1x在(-∞,0)上递减,q:函数 y=1x在(0,+ ∞)上递减.

[解析] (1)p 或 q:三角形两边之和大于第三边或两边之差 小于第三边;
p 且 q:三角形两边之和大于第三边且两边之差小于第三 边.
(2)p 或 q:函数 y=1x在(-∞,0)或(0,+∞)上递减; p 且 q:函数 y=1x既在(-∞,0)上递减,又在(0,+∞)上 递减.

含有逻辑联结词的命题真假的判断

?

指出下列命题的真假:

? (1)48是16与12的公倍数;

? (2)相似三角形的周长相等或对应角相等;
? (3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角 形.

[解析] (1)这个命题是“p∧q”的形式,其中 p:48 是 16 的倍数,是真命题;q:48 是 12 的倍数,是真命题,所以“48 是 16 与 12 的公倍数”是真命题.
(2)这个命题是“p∨q”的形式.其中 p:相似三角形的周 长相等,是假命题;q:相似三角形的对应角相等,是真命题, 所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题.
(3)是“p∧q”形式的命题,其中 p:有两个内角是 45°的三 角形是等腰三角形;q:有两个内角是 45°的三角形是直角三角 形.“p∧q”是真命题.

[方法规律总结] 判断“p∧q”、“p∨q”形式复合命题 真假的步骤:
第一步,确定复合命题的构成形式; 第二步,判断简单命题 p、q 的真假; 第三步,根据真值表作出判断. 注意:一真“或”为真,一假“且”为假.

? 指出下列各命题的构成形式并判断命题的真 假.
? (1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边; ? (2)4或3是15的约数; ? (3)10≤10; ? (4)矩形的对角线互相垂直平分.

? [解析] (1)这一命题是“p且q”的形式. ? 其中p:等腰三角形的顶角平分线垂直于底边, ? q:等腰三角形的顶角平分线平分底边. ? 因为p、q都是真命题,所以这一复合命题是
一个真命题.
? (2)是“p或q”形式的命题,其中p:4是15的 约数;
? q:3是15的约数.“p或q”为真命题. ? (3)是“p或q”形式的命题,其中p:10=10;
q:10<10.“p或q”为真命题. ? (4)是“p且q”形式的命题,其中p:矩形的

求解含逻辑联结词命题中的参数

?

(2015·山东省菏泽市期中)已知命

题p:关于x的不等式|x-1|>m-1的解集为R,

命题q:函数f(x)=(5-2m)x是R上的增函数,

若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m

的取值范围.

? [解题思路探究] 第一步,审题:

? 审结论明确解题方向:“求实数m的取值范 围”,应依据命题p∨q为真,p∧q为假建立 关于m的不等式组求解.

? 审条件挖掘解题信息:由关于x的绝对值不等 式|x-1|>m-1的解集为R,知m-1<0;由指 数函数f(x)=(5-2x)x为增函数知5-2m>1;由 “p∨q”为真,p∧q为假结合真值表可得p、 q的真假.
? 第二步,探求条件与结论之间的联系,确定 解题突破口和解答步骤,先求p为真时m的取 值范围,再求q为真时m的取值范围,然后由 复合命题真假确定简单命题p、q的真假,并 求m的相应取值范围,最后下结论.
? 第三步,规范解答.

? [解析] 不等式|x-1|>m-1的解集为R,须m -1<0,即p是真命题时,m<1;
? 函数f(x)=(5-2m)x是R上的增函数,须5- 2m>1,即q是真命题时,m<2.
? ∵p或q为真命题,p且q为假命题, ? ∴p、q中一个为真命题,另一个为假命题. ? (1)当p真,q假时,m<1且m≥2,此时无解; ? (2)当p假,q真时,m≥1且m<2,此时1≤m<2, ? 因此1≤m<2.

? [点评] “p∧q”为真,则p真且q真; “p∧q”为假,则p、q至少一假;“p∨q” 为真,则p、q至少一真;“p∨q”为假,则p、 q都为假.

? 已知命题p:函数y=-x2+mx+1在(-1,+ ∞)上单调递减;命题q:函数y=mx2+x-1<0 恒成立.若p∨q为真命题,p∧q为假命题, 则[答m案的] 取(-值2范,-围14)是__________.
[解析] 函数 y=-x2+mx+1 图象的对称轴为 x=m2 ,由条
件m2 ≤-1,∴m≤-2,即命题 p:m≤-2;

∵函数 y=mx2+x-1<0 恒成立,∴?????mΔ=<01+4m<0 , ∴m<-14,∴命题 p:m<-14, ∵p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真, p 真 q 假时,无解;p 假 q 真时,-2<m<-14, ∴m 的取值范围是(-2,-14).

? 注意审题时隐含条件的发掘

?

已知a>0,设命题p:函数y=ax在R

上单调递增;命题q:不等式x2-ax+1>0对

x∈R恒成立.若p∨q为真命题,p∧q为假命

题,求实数a的取值范围.

? [错解] ∵函数y=ax在R上单调递增,

? ∴a>1,∴p:a>1.

? ∵不等式x2-ax+1>0对x∈R恒成立,

? ∴Δ=a2-4<0,

? ∴-2<a<2.

∴q:-2<a<2. 又∵p∨q 为真,p∧q 为假.∴p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,?????aa>≤1-2或a≥2 ,∴a≥2. 当 p 假 q 真时,?????a-≤2<1a<2 ,∴-2<a≤1. 综上可知,实数 a 的取值范围为(-2,1]∪[2,+∞).
? [辨析] 错解的原因是忽视了前提条件a>0.

[正解] ∵函数 y=ax 在 R 上单调递增,∴a>1, ∴p:a>1. ∵不等式 x2-ax+1>0 时 x∈R 恒成立, ∴Δ=a2-4<0,∴-2<a<2. ∴q:0<a<2. 又∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p、q 一真一假.

当 p 真 q 假时,?????aa>≥12 ,∴a≥2.



p



q

真时,???0<a≤1 ??0<a<2

,∴0<a≤1,

综上可知,实数 a 的取值范围是(0,1]∪[2,+∞).

课时作业
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