11-12学年高二数学:第二章_推理与证明章末归纳总结_课件(人教A版选修2-2)共32页_图文

第二章 推理与证明

? 归纳是通过对特例的观察和综合去发现一 般规律,一般通过观察图形或分析式子寻 找规律,归纳过程的典型步骤是:先在诸 多特例中发现某些相似性,再把相似性推 广为一个明确表述的一般命题,最后对该 命题进行检验或论证.

? [例1] 在德国布莱梅举行的第48届世乒赛
期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成 若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1 堆只有一层,就一个乒乓球;第2,3,4、… 堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固
定摆放.从第二层开始,每层的乒乓球自 然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一 个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数, 则f(3)=________;f(n)=________(答案用 n表示).

[解析] f(1)=1,观察图可知 f(2)=4,f(3)=10,f(4)

=20,即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的

个数,而第一层的个数构成数列 1,3,6,10,…,其第 n 项

是n(n+ 2 1),所以 f(n)=f(n-1)+n(n+ 2 1),所以有 f(2)-f(1)



2×(2+1) 2



f(3)



f(2)



3×(3+1) 2



f(4)



f(3)



4×(42+1),…,f(n)-f(n-1)=n(n+ 2 1).

以上各式相加,整理得 f(n)=f(1)+22+2+32+3+422+4+…+n2+n =12+22+32+…+2n2+1+2+…+n =n(n+1)6(2n+21)+n(n+ 2 1)=n(n+16)(n+2). [答案] 10;n(n+16)(n+2)

? 类比是提出新问题和作出新发现的一个重 要源泉,是一种较高层次的信息迁移,应 用类比的关键就在于如何把相关对象在某 些方面的一致性说清楚.常见的类比题型 有两类:一类是类比旧知识,推出新结论; 另一类是类比新知识,推出新结论.

? [例2] 如图①所示,在△ABC中,射影定 理可表示为a=b·cosC+c·cosB,其中a,b, c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理, 写出对空间四面体性质的猜想.

[分析] 平面图形与空间图形的类比 →
平面图形的结论 → 空间图形的相应结论
? [解析] 如图②所示,在四面体P-ABC中,设 S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA, △ ABC 的 面 积 , α , β , γ 依 次 表 示 面 PAB , 面 PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.我 们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现 形式应为
? S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.

? 从思维过程的指向来看,演绎推理是以某 一类事物的一般判断为前提,而做出关于 该类事物的判断的思维过程,因此是从一 般到特殊的推理.数学中的演绎法一般是 以三段论的格式进行的.三段论由大前提、 小前提和结论三个命题组成,大前提是一 个一般性原理;小前提给出了适合这个原 理的一个特殊场合,结论是大前提和小前 提的逻辑结果.

[例 3] 若定义在区间 D 上函数 f(x)对于 D 上的几个



x1 , x2 , … , xn







1 n

[f(x1)



f(x2)







f(xn)]≤f????x1+x2+n …+xn????称函数 f(x)为 D 上的凸函数,现 已知 f(x)=sinx 在(0,π)上是凸函数,则在△ABC 中,sinA

+sinB+sinC 的最大值是________.

[答案] [解析]

33 2
由1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]

≤f????x1+x2+n …+xn????,(大前提) 因为 f(x)=sinx 在(0,π)上是凸函数,(小前提)

所以 f(A)+f(B)+f(C)≤3f????A+B3+C????,(结论)

即 sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=323,

因此

sinA+sinB+sinC

的最大值是3

3 2.

? 综合法是我们在已经储存了大量的知识积累了 丰富的经验的基础上所用的一种方法,其优点 是叙述起来简洁、直观、条理、清楚,综合法 可使我们从已知的知识中进一步获得新知识.
? [例4] 已知二次函数f(x)=ax2+bx+ c(a≠0)(a>b>c)的图象与x轴有两个不同的交点A, B,且f(1)=0.
(1)求ac的范围;
(2)证明:32<|AB|<3.

[解析] (1)解:∵f(1)=0,∴a+b+c=0. 又 a>b>c,且 a≠0,∴a>0,c<0. ∵a+b+c=0,∴b=-a-c.从而 a>-a-c>c. ∴?????- 2aa>>-2cc ?-2<ac<-12 .

(2)证明:∵ax2+bx+c=ax2-(a+c)x+c=(ax -c)(x-1)=0
∴xA=ac,xB=1 或 xA=1,xB=ac, ∴|AB|=|xA-xB|=???ac-1???=1-ac, 由(1)知-2<ac<-12, ∴1+12<1-ac<1+2, 即32<|AB|<3.

? 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方 法.在探求问题的证明时,它可以帮助我 们构思,因而在一般分析问题时,较多地 采用分析法,只是找到思路后,往往用综 合法加以叙述,正如恩格斯所说“没有分 析就没有综合”,在数学证明中不能把分 析法和综合法绝对分开.

[例 5] 设 a,b 为实数,求证 a2+b2≥ 22(a+b). [分析] 验证a+b≤0时不等式成立 → 当a+b>0时,两边平方 → 寻找a2+b2≥12(a2+b2+2ab)成立的条件 → 寻找a2+b2≥2ab成立的条件 → a2+b2≥2ab对一切实数成立 → 结论

[解析] 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0,
∴ a2+b2≥ 22(a+b)成立. 当 a+b>0 时,用分析法证明如下:
要证 a2+b2≥ 22(a+b), 只需证( a2+b2)2≥[ 22(a+b)]2, 即证 a2+b2≥12(a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,
∴ a2+b2≥ 22(a+b)成立. 综上所述,不等式得证.

? 反证法不是去直接证明结论,而是先否定 结论,在此基础上运用演绎推理,导出矛 盾,从而肯定结论的真实性.
[例 6] 已知函数 f(x)=ln(1+ex)-x(x∈R)有下列性
质:“若 x∈[a,b],则存在 x0∈(a,b),使得f(bb)- -fa(a)=
f′(x0)”成立.利用这个性质证明 x0 唯一.

[证明] 假设存在 x′0,x0∈(a,b)且 x′0≠x0,使得 f(bb)- -fa(a)=f′(x0),f(bb)- -fa(a)=f′(x′0).
∴f′(x0)=f′(x′0),∵f′(x)=1+exex-1=-1+1 ex,

记 g(x)=f′(x)=-1+1 ex.

∴g′(x)



ex (1+ex)2

>0



f(x)



[a



b]













数.∴x0=x′0,这与 x′0≠x0 矛盾,即 x0 是唯一的.

? 数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的 一种方法.它是一种完全归纳法,它的证明共 分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为 “归纳基础”(或称特殊性).第二步解决的是延 续性(又称传递性)问题.运用数学归纳法证明有 关命题要注意以下几点:
? 1.两个步骤缺一不可.
? 2.第二步中,证明“当n=k+1时结论正确”的 过程里,必须利用“归纳假设”即必须用上 “当n=k时结论正确”这一结论.

? 3.在第二步的证明中,“当n=k时结论 正确”这一归纳假设起着已知的作用, “当n=k+1时结论正确”则是求证的目 标.在这一步中,一般首先要凑出归纳假 设里给出的形式,以便利用归纳假设,然 后再去凑出当n=k+1时的结论.
? 数学归纳法可以用来证明与正整数有关的 代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除 性问题及几何问题.

[例 7] (2010·全国Ⅰ理,22)已知数列{an}中,a1=1, an+1=c-a1n.
(1)设 c=52,bn=an-1 2,求数列{bn}的通项公式; (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围.

? [分析] 本小题主要考查数列的通项公式、 等比数列的定义、递推数列、不等式等基 础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、 探究和推理论证问题的能力,在解题过程 中也渗透了对函数与方程思想、化归与转 化思想的考查.(1)利用取倒数构造等比数 列.(2)利用数学归纳法求解.

[解析]

(1)an



1



2



5 2



1 an



2



an-2 2an











an+11-2=a2n-an2=an-4 2+2

∴bn+1=4bn+2 得 bn+1+23=4???bn+23???,

又 a1=1,故 b1=a1-1 2=-1

所以?????bn+23?????是首项为-13,公比为 4 的等比数列, bn+23=-13×4n-1,即 bn=-4n3-1-13.

(2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1 得 c>2 用数学归纳法证明:当 c>2 时,an<an+1 ①当 n=1,a2=c-a11>a1,命题成立; ②设当 n=k 时,ak<ak+1,则当 n=k+1 时,ak+2 =c-ak1+1>c-a1k=ak+1, 故由①②知当 c>2 时,an<an+1 当 c>2 时,令 α=c+ 2c2-4,

由 an+a1n<an+1+a1n=c 得 an<α 当 2<c<130时,an<α≤3 c>130时,α>3,且 1≤an<α, 于是 α-an+1=a1nα(α-an)≤13(α-an), α-an+1≤31n(α-1) 当 n>log3αα--31时,α-an+1≤α-3,an+1≥3.
因此 c>130不合要求,所以 c 的取值范围为???2,130???.

谢谢!
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