一类解析几何试题的统一推广_图文
《 数学之友>
2 01 6年第 8期
豳 一 类 解 析 几 何 试 题 的 统 一 推 广
路 家福
( 江苏省苏州实验 中学 , 2 1 5 0 1 1 )
我们先看下列几道高考数学模拟试题 : 试题 1 ( 2 0 1 3年 盐 城
V
( 1 ) 求直线 A B的方程 ; ( 2 ) 若点 P为椭圆 c上异于 A, B的动点 , 且直 线A P, P分别交直线 Y= 于点 , Ⅳ , 证明: O M? O N 为定值.
试题 4 ( 2 0 1 4年 苏锡 常
, 一
摸底) 如图 1 , 直线 A B与
2
,
Q
‘
2
椭圆F : + 旨= 1 ( Ⅱ > b >
Ⅱ ( ,
~
O
.
0 ) 交于 A , B两点 , 与 轴和
C
镇 高 三 第 一 次 模 拟 试 题 第 1 8题 ) 如图 4 , 在 平 面 直 角 坐标 系 x o y中 , 已知 A, B, C
..
Y 轴分别交于点 P和点 q, 点 C是点 B关于 轴 的 对 称点 , 直线 A C与 轴 交
于点 .
0
M
/ j
2
.
. 2
≥
图 4
( 1 ) 若 点 P为 ( 6 , 0 ) , 点 Q为 ( 0 , 3 ) , 点 A, 届恰
是 椭圆 + 旨= l ( 口 > b >
好是线段 P Q的两个三等分点. ①求椭圆的方程 ; ②过坐标原点 0引 L k A B C外接圆的切线 , 求切 线长 ; ( 2 ) 当椭 圆 J r ’ 给定时, 试探究 O P? O R是 否 为 定值?若是 , 请求 出此定值 ; 若不是 , 请说明理 由. 试题 2 ( 2 0 1 5届 泰 州 高三
J
o ) 上 不同 的 三 点, A f 3 , 4 z l , B ( 一 3 , 一 3 ) , c 在 、 ‘ ,
第三象限, 线段 B C的中点在直线 O A上. ( 1 ) 求椭圆的标准方程 ;
( 2 ) 求 点 C的坐 标 ; ( 3 ) 设 动点 P在椭 圆上 ( 异于 点 A, , C ) 且 直线
P B , P C分别交直线 于 , Ⅳ两点, 证 明 ? 研
为定值 。 并求出该定值. 经过我们 的研究 , 这四道试题涉及椭圆共轭直 径 的一 个性质 , 可 以统 一推广 为下 列定理 :
2
. ,
第一 次调研 第 l 8题 ) 如图 2 ,
一
2
2
离 心 率 为 孚 的 椭 圆c : + 告
- ‘ ‘ ‘ ,
A
‘
= 1 ( 口 > b > 0 ) 的左顶点为 A , 过原点 0 的直线 ( 与 坐标轴
Ⅳ
2
图2
定理 : 已知椭 圆 + =1 ( 口>0 , b> 0 ) 的中 心
U l ,
不重合 ) 与椭圆 C交于 P , Q两点 , 直线 P Q, q A分别
为0 , A , B , C , P是椭 圆上 的四个不 同的点 , 且直线
O A经过线段 B C的中点, 直线 P B , P C分别交直线 O A于 , J 7 v 两点 , 则0 1 1 1? O N=O A . 证法一 : 首先证明如下引理 : 引理 : 如图 5 , 若点 A , , C
。
与轴交于 , Ⅳ两点, 若P Q的斜率为半时, P Q=
‘
2 压 ( 1 ) 求椭圆 c的标准方程; ( 2 ) 试问以 M N为直径的圆是否经过定点 ( 与
J
是圆 D上的三个定点 , 曰, C两 点关 于直线 O A对称 , P是圆上 的动点, 直线 P B , P C分别交直
露
直线 P Q的斜率无关 ) ?请证明你的结论.
试题 3 ( 苏州 2 0 1 5届
高三 调 研 测 试 第 l 8题 ) 如
。
图3 , 已知椭圆 c : i 5 2 + 2 = f
l , 点 是其下顶点 , 过点
的直 线 交 椭 圆 C于 另 外 一
I
B
线0 于 , Ⅳ两点 , 则有 ? 图5 D = O A 为定值. 证明: 要 证 明 . :O A z , 即 证 AO N P
/ x OPM. ‘
首先有 / _ N O P=/ _ . P O M, 下只要说 明 / _ . . O P N=
O MP即可 :
点A ( 点 A在 轴下方 ) , 且线段 A B的中点 在直 线 Y= 上.
设点 Q为 B C中点 ,
?
8l ?
《 数学之友》
y—b s i n : 一- = b ’
2 0 1 6年第 8 期
得 到 Q ∞ = LB O C=/B P C;
口 c 。 t Z ( 、 一 口 c 。 s ) , ②
又因为在 圆 0中, O B=O P= r ,
则 LP B O=LB P O;
且 LBPO: LBP C+ O P N.
同理直线 | P C的方程是 ③ ) , _ 6 s i = 一 告 c 。 t ( x - a c o  ̄ ) .
LP B O= Q O B+ O MP; 由此 可知 ) Ⅳ=/O MP, 即 AO N P AO P M。 则 有 . O 一 N:O A z 为定 值
将①代人② , 解得点 的横坐标为
一
当然, 本 题 的结论 还可 以进 一 步推 广到 椭 圆 中去 : 设平面上任意一点 Q ( , Y ) 经仿射变换 后为
r
’
一
。 ∞ ∞。。 。
’
= ,
r =
,
且
,
则 i y = 进 而 椭 圆 C 变
n C O S O / C O S 2 唧i n ) c o s s i n s i n 字 …s c o s
cos
换为圆 0 : + Y = a .由于仿射变换下 , 图形 的结
合性 保持 不变 , 共 线 线 段 的 长 度 比保 持 不 变 , 因此 , 记直 线 O Q交椭 圆 C于点 A, 且 O M? O N=O A . 设 B( , Y ) , C( , Y : ) , 将 椭 圆 c:
a
…
s
co s
+
o
=l
同理 可得点 Ⅳ 的横 坐标 为 =
cos
和直 线 : y=
y1+, , 2
1 + 2
方程联 立方 程 组 , 得到 :
+Y
一
于是
a 2 c o s 2
;
O A 2 = X  ̄ + = [ , + Y l2 ) 】 2
一
点 , Ⅳ的纵 坐标分 别 为
b X M
: Y M
b x N
,
其中,
xA
2
Y N =
扭 n t a n
, ,
口
n 6 2
。
a 2 b ( + 2 )
②
所 以 O M . O N :
=
N + y M y N
6 2 + 0 z f 、 y l + ) , 2
1 + 2
( - + b 2 t a n
2 a c C 0 8 2
—
那 么得到 :
o M? O N= n 2 b [ ( 1 + 2 ) +( y 1 + ) ]
2a b +2 a Yl Y 2+2 b 1
= a
+b 2 s ㈡ i n — 十
.
.
2
2
( 1 + 2 ) 2 +( Y 1 + Y 2 )
将①代人椭圆方程 + =l , 得点 A的坐标 满 a
足 =a 2 C 0 ¥ — ‘ + 一 8 2
,
2 f \ l +
+
’
a
6 J
\
y
s i n
.
证 法二 : 设 点 B, c , P 的 坐标 分 别 是 ( a c o s ,
所 以 z : : 于是 , .
2
= 口
c
o s 2
s i n 2 , ’
b s i n c t ) , C ( a c o s  ̄, b s i n / 3 ) , P( a c o s y , b s i n y ) , 则 线段
: .
c 的 中 点 Q ( 警 ,
X O A的方程为 y= b t a n 2 ± 昼 ①
口
.
) ' 贝 J I 直
证法三: 过 坐标原 点 0作线 段 B C的平 行 线 B
I x = 1 , 设a ( x 1 , Y 1 ) , B ( 2 , Y 2 ) , 线 的 斜 率 为 = 筹 詈 器= 告 t a n , 直 线 明A:+
则. i } B , c , k o a m I } c 后 =一 b 2
,
c , 交椭圆于 , c , 设 = A 。 +
, 我们证
直线 P B的斜率为
即 ∞ , =一 , 也就是
。
,
=一 b 2 即
口 ‘
k ? :垒 ! ! 旦 二 2:一 鱼 ∞ 鱼
v n 一
1 2
口
一
l
a
直线 船 的方程 为
?
2+
, , 1 ) , 2
= 0 . ①
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8 2?