一类解析几何试题的统一推广


《 数学之友>  

2 01 6年第 8期 

豳  一 类 解 析 几 何 试 题 的 统 一 推 广  
路 家福 
( 江苏省苏州实验 中学 , 2 1 5 0 1   1 )  

我们先看下列几道高考数学模拟试题 :   试题 1 ( 2 0 1 3年 盐 城 
V 

( 1 ) 求直线 A B的方程 ;   ( 2 ) 若点 P为椭圆 c上异于 A, B的动点 , 且直  线A P,   P分别交直线 Y=  于点  , Ⅳ , 证明: O M?   O N 为定值.  
试题 4 ( 2 0 1 4年 苏锡 常 
, 一  

摸底) 如图 1 , 直线 A B与 
2  


Q  
‘ 

2  

椭圆F :  + 旨= 1 ( Ⅱ > b >  
Ⅱ  ( ,  

~  

O  
  .

0 ) 交于 A , B两点 , 与 轴和 

C 

镇 高 三 第 一 次 模 拟 试 题 第  1 8题 ) 如图 4 , 在 平 面 直 角  坐标 系 x o y中 , 已知 A, B, C  
..

Y 轴分别交于点 P和点 q,   点 C是点 B关于  轴 的 对 称点 , 直线 A C与  轴 交 
于点 .  

0  
M 

/   j  

2  


. 2  

≥ 
图 4  

( 1 ) 若 点 P为 ( 6 , 0 ) , 点 Q为 ( 0 , 3 ) , 点 A, 届恰 

是 椭圆  + 旨= l ( 口 > b >  

好是线段 P Q的两个三等分点.   ①求椭圆的方程 ;   ②过坐标原点 0引 L k A B C外接圆的切线 , 求切  线长 ;   ( 2 ) 当椭 圆 J r ’ 给定时, 试探究 O P? O R是 否 为  定值?若是 , 请求 出此定值 ; 若不是 , 请说明理 由.   试题 2 ( 2 0 1 5届 泰 州 高三 
J  

o ) 上 不同 的 三 点, A f   3  ,   4 z   l , B ( 一 3 , 一 3 ) , c 在   、   ‘   ,  
第三象限, 线段 B C的中点在直线 O A上.   ( 1 ) 求椭圆的标准方程 ;  
( 2 ) 求 点 C的坐 标 ;   ( 3 ) 设 动点 P在椭 圆上 ( 异于 点 A,  , C ) 且 直线 

P B , P C分别交直线  于  , Ⅳ两点, 证 明  ? 研 
为定值 。 并求出该定值.   经过我们 的研究 , 这四道试题涉及椭圆共轭直  径 的一 个性质 , 可 以统 一推广 为下 列定理 :  
2  
. ,

第一 次调研 第 l 8题 ) 如图 2 ,  
一  

2 

2  

离 心 率 为 孚 的 椭 圆c :  + 告  
-  ‘ ‘  ‘ ,  

A  

‘  

= 1 ( 口 > b > 0 ) 的左顶点为 A ,   过原点 0 的直线 ( 与 坐标轴 

Ⅳ 

2  

图2  

定理 : 已知椭 圆  +   =1 ( 口>0 , b> 0 ) 的中 心 
U  l , 

不重合 ) 与椭圆 C交于 P , Q两点 , 直线 P Q, q A分别 

为0 , A , B , C , P是椭 圆上 的四个不 同的点 , 且直线 
O A经过线段 B C的中点, 直线 P B , P C分别交直线  O A于  , J 7 v 两点 , 则0 1 1 1? O N=O A   .   证法一 : 首先证明如下引理 :   引理 : 如图 5 , 若点 A ,  , C  
。 

与轴交于  , Ⅳ两点, 若P Q的斜率为半时, P Q=  
‘  

2 压  ( 1 ) 求椭圆 c的标准方程;   ( 2 ) 试问以 M N为直径的圆是否经过定点 ( 与 

J  

是圆 D上的三个定点 , 曰, C两  点关 于直线 O A对称 , P是圆上  的动点, 直线 P B , P C分别交直 
露  

直线 P Q的斜率无关 ) ?请证明你的结论.  
试题 3 ( 苏州   2 0 1 5届 

高三 调 研 测 试 第 l 8题 ) 如 

。 

  图3 , 已知椭圆 c : i 5   2 +   2   =   f
l , 点  是其下顶点 , 过点 
的直 线 交 椭 圆 C于 另 外 一 

I  
B  

线0  于  , Ⅳ两点 , 则有  ?   图5   D  = O A   为定值.   证明: 要 证 明  .   :O A z , 即 证 AO N P  
/ x OPM.   ‘  

首先有 / _ N O P=/ _ . P O M, 下只要说 明 / _ . . O P N=  
O MP即可 :  

点A ( 点 A在 轴下方 ) , 且线段 A B的中点  在直  线 Y=  上.  

设点 Q为 B C中点 ,  
?

8l ?  

《 数学之友》  
y—b s i n   : 一- = b ’  

2 0 1 6年第 8 期 

得 到  Q ∞ = LB O C=/B P C;  

口   c 。 t  Z  ( 、  一   口 c 。 s  ) ,   ② 

又因为在 圆 0中, O B=O P= r ,  
则 LP B O=LB P O;  
且 LBPO: LBP C+   O P N.  

同理直线 | P C的方程是  ③  ) , _ 6 s i   = 一 告 c 。 t  ( x - a c o  ̄ ) .  

LP B O=   Q O B+  O MP;   由此 可知  ) Ⅳ=/O MP, 即 AO N P   AO P M。   则 有  . O 一 N:O A z 为定 值 

将①代人② , 解得点  的横坐标为 



当然, 本 题 的结论 还可 以进 一 步推 广到 椭 圆   中去 :   设平面上任意一点 Q (  , Y ) 经仿射变换  后为 
r  



。   ∞ ∞。。 。  
’  

 

=  ,  

r   =  

,  

且 


则 i y =  进 而 椭 圆   C 变  

n   C O S O / C O S   2   唧i n   ) c o s   s i n   s i n 字 …s   c o s  
cos  

换为圆 0 :  + Y   = a   .由于仿射变换下 , 图形 的结 
合性 保持 不变 , 共 线 线 段 的 长 度 比保 持 不 变 , 因此 ,   记直 线 O Q交椭 圆 C于点 A, 且 O M? O N=O A   .   设 B(  , Y   ) , C(  , Y : ) , 将 椭  圆 c:  




s  

co s  

+ 


=l  

同理 可得点 Ⅳ 的横 坐标 为  =  
cos 

和直 线  : y=  

y1+, , 2  
1 +  2  

方程联 立方 程 组 , 得到 :  
+Y


于是 

a 2 c o s 2  

;  

O A 2 = X  ̄ +  = [ , + Y l2 )   】   2  


点  , Ⅳ的纵 坐标分 别 为 
b X   M
: Y M  

b x N


其中,  
xA 
2  

Y   N =  

扭 n  t a n  

,   ,  

口 

n   6 2  
。  

a 2 b   (   +   2 )  

② 

所 以  O M .   O N :  


N + y M y N  

6 2 + 0 z f 、   y l + ) , 2  
1 +  2  

( - +   b 2 t a n  
2 a   c C 0 8   2  
—  

那 么得到 :  

o M? O N=   n 2 b   [ (   1 +   2 )  +( y 1   +  )   ]  
2a   b  +2 a   Yl Y 2+2 b  1  

= a

+b 2 s ㈡ i n  —  十

.  
. 

2  

2  

(  1 +  2 ) 2 +( Y 1 + Y 2 )  

将①代人椭圆方程  +   =l , 得点 A的坐标 满  a
足  =a 2 C 0 ¥   — ‘   + 一 8  2  


2 f \   l +  

+ 

’  

a 

6  J  

\  

y  

s i n  

.  

证 法二 : 设 点 B, c , P 的 坐标 分 别 是  ( a c o s  ,  

所 以  z :   :   于是 ,   .  



= 口



o s 2  

s i n 2  , ’  

b s i n c t ) , C ( a c o s  ̄, b s i n / 3 ) , P( a c o s y , b s i n y ) , 则 线段 

:   .  

c 的 中 点 Q (   警  ,  
X O A的方程为 y= b t a n  2 ± 昼 ①

. 

) ' 贝 J I 直  

证法三: 过 坐标原 点 0作线 段 B C的平 行 线 B  

I x   = 1 , 设a ( x 1 , Y 1 ) , B   (   2 , Y 2 ) ,   线  的 斜 率 为  = 筹   詈   器= 告 t a n , 直 线  明A:+
则. i } B , c , k o a   m   I }   c 后   =一   b 2
,  

c , 交椭圆于  , c   , 设  = A 。   +  

, 我们证 

直线 P B的斜率为 

即 ∞ ,   =一  , 也就是 
。 
,  

=一   b 2   即 
口 ‘  

k ? :垒 ! !   旦  二   2:一   鱼  ∞  鱼  
v n  一 

1   2  

口 


l  


直线 船 的方程 为 
?

2+  

, , 1 ) , 2  

= 0 .   ① 

( 下转第 8 5页)  

8 2?  


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