一类解析几何试题的统一推广
《 数学之友＞
２ ０１ ６年第 ８期
豳 一 类 解 析 几 何 试 题 的 统 一 推 广
路 家福
（ 江苏省苏州实验 中学 ， ２ １ ５ ０ １ １ ）
我们先看下列几道高考数学模拟试题 ： 试题 １ （ ２ ０ １ ３年 盐 城
Ｖ
（ １ ） 求直线 Ａ Ｂ的方程 ； （ ２ ） 若点 Ｐ为椭圆 ｃ上异于 Ａ， Ｂ的动点 ， 且直 线Ａ Ｐ， Ｐ分别交直线 Ｙ＝ 于点 ， Ⅳ ， 证明： Ｏ Ｍ? Ｏ Ｎ 为定值．
试题 ４ （ ２ ０ １ ４年 苏锡 常
， 一
摸底） 如图 １ ， 直线 Ａ Ｂ与
２
，
Ｑ
‘
２
椭圆Ｆ ： ＋ 旨＝ １ （ Ⅱ ＞ ｂ ＞
Ⅱ （ ，
～
Ｏ
．
０ ） 交于 Ａ ， Ｂ两点 ， 与 轴和
Ｃ
镇 高 三 第 一 次 模 拟 试 题 第 １ ８题 ） 如图 ４ ， 在 平 面 直 角 坐标 系 ｘ ｏ ｙ中 ， 已知 Ａ， Ｂ， Ｃ
．．
Ｙ 轴分别交于点 Ｐ和点 ｑ， 点 Ｃ是点 Ｂ关于 轴 的 对 称点 ， 直线 Ａ Ｃ与 轴 交
于点 ．
０
Ｍ
／ ｊ
２
．
． ２
≥
图 ４
（ １ ） 若 点 Ｐ为 （ ６ ， ０ ） ， 点 Ｑ为 （ ０ ， ３ ） ， 点 Ａ， 届恰
是 椭圆 ＋ 旨＝ ｌ （ 口 ＞ ｂ ＞
好是线段 Ｐ Ｑ的两个三等分点． ①求椭圆的方程 ； ②过坐标原点 ０引 Ｌ ｋ Ａ Ｂ Ｃ外接圆的切线 ， 求切 线长 ； （ ２ ） 当椭 圆 Ｊ ｒ ’ 给定时， 试探究 Ｏ Ｐ? Ｏ Ｒ是 否 为 定值？若是 ， 请求 出此定值 ； 若不是 ， 请说明理 由． 试题 ２ （ ２ ０ １ ５届 泰 州 高三
Ｊ
ｏ ） 上 不同 的 三 点， Ａ ｆ ３ ， ４ ｚ ｌ ， Ｂ （ 一 ３ ， 一 ３ ） ， ｃ 在 、 ‘ ，
第三象限， 线段 Ｂ Ｃ的中点在直线 Ｏ Ａ上． （ １ ） 求椭圆的标准方程 ；
（ ２ ） 求 点 Ｃ的坐 标 ； （ ３ ） 设 动点 Ｐ在椭 圆上 （ 异于 点 Ａ， ， Ｃ ） 且 直线
Ｐ Ｂ ， Ｐ Ｃ分别交直线 于 ， Ⅳ两点， 证 明 ? 研
为定值 。 并求出该定值． 经过我们 的研究 ， 这四道试题涉及椭圆共轭直 径 的一 个性质 ， 可 以统 一推广 为下 列定理 ：
２
． ，
第一 次调研 第 ｌ ８题 ） 如图 ２ ，
一
２
２
离 心 率 为 孚 的 椭 圆ｃ ： ＋ 告
－ ‘ ‘ ‘ ，
Ａ
‘
＝ １ （ 口 ＞ ｂ ＞ ０ ） 的左顶点为 Ａ ， 过原点 ０ 的直线 （ 与 坐标轴
Ⅳ
２
图２
定理 ： 已知椭 圆 ＋ ＝１ （ 口＞０ ， ｂ＞ ０ ） 的中 心
Ｕ ｌ ，
不重合 ） 与椭圆 Ｃ交于 Ｐ ， Ｑ两点 ， 直线 Ｐ Ｑ， ｑ Ａ分别
为０ ， Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， Ｐ是椭 圆上 的四个不 同的点 ， 且直线
Ｏ Ａ经过线段 Ｂ Ｃ的中点， 直线 Ｐ Ｂ ， Ｐ Ｃ分别交直线 Ｏ Ａ于 ， Ｊ ７ ｖ 两点 ， 则０ １ １ １? Ｏ Ｎ＝Ｏ Ａ ． 证法一 ： 首先证明如下引理 ： 引理 ： 如图 ５ ， 若点 Ａ ， ， Ｃ
。
与轴交于 ， Ⅳ两点， 若Ｐ Ｑ的斜率为半时， Ｐ Ｑ＝
‘
２ 压 （ １ ） 求椭圆 ｃ的标准方程； （ ２ ） 试问以 Ｍ Ｎ为直径的圆是否经过定点 （ 与
Ｊ
是圆 Ｄ上的三个定点 ， 曰， Ｃ两 点关 于直线 Ｏ Ａ对称 ， Ｐ是圆上 的动点， 直线 Ｐ Ｂ ， Ｐ Ｃ分别交直
露
直线 Ｐ Ｑ的斜率无关 ） ？请证明你的结论．
试题 ３ （ 苏州 ２ ０ １ ５届
高三 调 研 测 试 第 ｌ ８题 ） 如
。
图３ ， 已知椭圆 ｃ ： ｉ ５ ２ ＋ ２ ＝ ｆ
ｌ ， 点 是其下顶点 ， 过点
的直 线 交 椭 圆 Ｃ于 另 外 一
Ｉ
Ｂ
线０ 于 ， Ⅳ两点 ， 则有 ? 图５ Ｄ ＝ Ｏ Ａ 为定值． 证明： 要 证 明 ． ：Ｏ Ａ ｚ ， 即 证 ＡＯ Ｎ Ｐ
／ ｘ ＯＰＭ． ‘
首先有 ／ ＿ Ｎ Ｏ Ｐ＝／ ＿ ． Ｐ Ｏ Ｍ， 下只要说 明 ／ ＿ ． ． Ｏ Ｐ Ｎ＝
Ｏ ＭＰ即可 ：
点Ａ （ 点 Ａ在 轴下方 ） ， 且线段 Ａ Ｂ的中点 在直 线 Ｙ＝ 上．
设点 Ｑ为 Ｂ Ｃ中点 ，
?
８ｌ ?
《 数学之友》
ｙ—ｂ ｓ ｉ ｎ ： 一－ ＝ ｂ ’
２ ０ １ ６年第 ８ 期
得 到 Ｑ ∞ ＝ ＬＢ Ｏ Ｃ＝／Ｂ Ｐ Ｃ；
口 ｃ 。 ｔ Ｚ （ 、 一 口 ｃ 。 ｓ ） ， ②
又因为在 圆 ０中， Ｏ Ｂ＝Ｏ Ｐ＝ ｒ ，
则 ＬＰ Ｂ Ｏ＝ＬＢ Ｐ Ｏ；
且 ＬＢＰＯ： ＬＢＰ Ｃ＋ Ｏ Ｐ Ｎ．
同理直线 ｜ Ｐ Ｃ的方程是 ③ ） ， ＿ ６ ｓ ｉ ＝ 一 告 ｃ 。 ｔ （ ｘ － ａ ｃ ｏ ￣ ） ．
ＬＰ Ｂ Ｏ＝ Ｑ Ｏ Ｂ＋ Ｏ ＭＰ； 由此 可知 ） Ⅳ＝／Ｏ ＭＰ， 即 ＡＯ Ｎ Ｐ ＡＯ Ｐ Ｍ。 则 有 ． Ｏ 一 Ｎ：Ｏ Ａ ｚ 为定 值
将①代人② ， 解得点 的横坐标为
一
当然， 本 题 的结论 还可 以进 一 步推 广到 椭 圆 中去 ： 设平面上任意一点 Ｑ （ ， Ｙ ） 经仿射变换 后为
ｒ
’
一
。 ∞ ∞。。 。
’
＝ ，
ｒ ＝
，
且
，
则 ｉ ｙ ＝ 进 而 椭 圆 Ｃ 变
ｎ Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ／ Ｃ Ｏ Ｓ ２ 唧ｉ ｎ ） ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ 字 …ｓ ｃ ｏ ｓ
ｃｏｓ
换为圆 ０ ： ＋ Ｙ ＝ ａ ．由于仿射变换下 ， 图形 的结
合性 保持 不变 ， 共 线 线 段 的 长 度 比保 持 不 变 ， 因此 ， 记直 线 Ｏ Ｑ交椭 圆 Ｃ于点 Ａ， 且 Ｏ Ｍ? Ｏ Ｎ＝Ｏ Ａ ． 设 Ｂ（ ， Ｙ ） ， Ｃ（ ， Ｙ ： ） ， 将 椭 圆 ｃ：
ａ
…
ｓ
ｃｏ ｓ
＋
ｏ
＝ｌ
同理 可得点 Ⅳ 的横 坐标 为 ＝
ｃｏｓ
和直 线 ： ｙ＝
ｙ１＋， ， ２
１ ＋ ２
方程联 立方 程 组 ， 得到 ：
＋Ｙ
一
于是
ａ ２ ｃ ｏ ｓ ２
；
Ｏ Ａ ２ ＝ Ｘ ￣ ＋ ＝ ［ ， ＋ Ｙ ｌ２ ） 】 ２
一
点 ， Ⅳ的纵 坐标分 别 为
ｂ Ｘ Ｍ
： Ｙ Ｍ
ｂ ｘ Ｎ
，
其中，
ｘＡ
２
Ｙ Ｎ ＝
扭 ｎ ｔ ａ ｎ
， ，
口
ｎ ６ ２
。
ａ ２ ｂ （ ＋ ２ ）
②
所 以 Ｏ Ｍ ． Ｏ Ｎ ：
＝
Ｎ ＋ ｙ Ｍ ｙ Ｎ
６ ２ ＋ ０ ｚ ｆ 、 ｙ ｌ ＋ ） ， ２
１ ＋ ２
（ － ＋ ｂ ２ ｔ ａ ｎ
２ ａ ｃ Ｃ ０ ８ ２
—
那 么得到 ：
ｏ Ｍ? Ｏ Ｎ＝ ｎ ２ ｂ ［ （ １ ＋ ２ ） ＋（ ｙ １ ＋ ） ］
２ａ ｂ ＋２ ａ Ｙｌ Ｙ ２＋２ ｂ １
＝ ａ
＋ｂ ２ ｓ ㈡ ｉ ｎ — 十
．
．
２
２
（ １ ＋ ２ ） ２ ＋（ Ｙ １ ＋ Ｙ ２ ）
将①代人椭圆方程 ＋ ＝ｌ ， 得点 Ａ的坐标 满 ａ
足 ＝ａ ２ Ｃ ０ ￥ — ‘ ＋ 一 ８ ２
，
２ ｆ ＼ ｌ ＋
＋
’
ａ
６ Ｊ
＼
ｙ
ｓ ｉ ｎ
．
证 法二 ： 设 点 Ｂ， ｃ ， Ｐ 的 坐标 分 别 是 （ ａ ｃ ｏ ｓ ，
所 以 ｚ ： ： 于是 ， ．
２
＝ 口
ｃ
ｏ ｓ ２
ｓ ｉ ｎ ２ ， ’
ｂ ｓ ｉ ｎ ｃ ｔ ） ， Ｃ （ ａ ｃ ｏ ｓ ￣， ｂ ｓ ｉ ｎ ／ ３ ） ， Ｐ（ ａ ｃ ｏ ｓ ｙ ， ｂ ｓ ｉ ｎ ｙ ） ， 则 线段
： ．
ｃ 的 中 点 Ｑ （ 警 ，
Ｘ Ｏ Ａ的方程为 ｙ＝ ｂ ｔ ａ ｎ ２ ± 昼 ①
口
．
） ＇ 贝 Ｊ Ｉ 直
证法三： 过 坐标原 点 ０作线 段 Ｂ Ｃ的平 行 线 Ｂ
Ｉ ｘ ＝ １ ， 设ａ （ ｘ １ ， Ｙ １ ） ， Ｂ （ ２ ， Ｙ ２ ） ， 线 的 斜 率 为 ＝ 筹 詈 器＝ 告 ｔ ａ ｎ ， 直 线 明Ａ：＋
则． ｉ ｝ Ｂ ， ｃ ， ｋ ｏ ａ ｍ Ｉ ｝ ｃ 后 ＝一 ｂ ２
，
ｃ ， 交椭圆于 ， ｃ ， 设 ＝ Ａ 。 ＋
， 我们证
直线 Ｐ Ｂ的斜率为
即 ∞ ， ＝一 ， 也就是
。
，
＝一 ｂ ２ 即
口 ‘
ｋ ? ：垒 ！ ！ 旦 二 ２：一 鱼 ∞ 鱼
ｖ ｎ 一
１ ２
口
一
ｌ
ａ
直线 船 的方程 为
?
２＋
， ， １ ） ， ２
＝ ０ ． ①
（ 下转第 ８ ５页）
８ ２?