【人教版】2020学年高二数学4月月考试题 理 新版 新人教 版

2020 学年高二数学 4 月月考试题 理

题号







总分

得分

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1. 若复数 z 满足

,则复数 z 在复平面内对应的点在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

※ -精 品 人教 试 卷- ※

2. 若

,则

A.

B.

C.

D.

3. 下列求导运算正确的是

A.

B.

C.

D.

4. 已知 m 为实数,i 为虚数单位,若

,则

A. i

B. 1

C.

D.

5. 已知曲线

在点

处切线的斜率为 1,则实数 a 的值为

A.

B.

C.

6. 用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是

D. 2

A.

B.

C.

D.

7. 设

,则

的值为

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A.

B.

C.

8.



的关系为

A.

B.

C.

D.

9. 函数

的图象大致为

A.

B.

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D.

C.

D.

10. 观察下列各式: A. 28
11. 设点 P 是曲线

B. 76

C. 123

,则 D. 199

上的任意一点,点 P 处切线的倾斜角为 ,则角 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

12. 已知定义在 R 上的偶函数 ,其导函数为 ;当 时,恒有

的解集为

A.

B.

,若

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

13. 如图所示,图中曲线方程为

,则围成封闭图形阴影部分的面积是______ .

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,则不等式

14. 若由曲线

与直线

及 y 轴所围成的平面图形的面积

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,则 ______ .

15. 已知 为偶函数,当 时,

,则曲线

在点 处的切线方程是______.

16. 已知边长分别为 的三角形 ABC 面积为 S,内切圆 O 的半径为 r,连接

,则三角形

的面积分别为

,由



,类比得四面体的体积为 V,四个面的面积分别为

,则内切球的半径 ______ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 72.0 分)

17. 已知



求 的单调区间; 求函数 在 上的最值.

18. 已知函数

,在点

实数 的值; 函数 的单调区间以及在区间

处的切线方程为 上的最值.

,求

19. 已知曲线 求曲线

及曲线

上一点



在 P 点处的切线方程;Ⅱ求曲线

过 P 点的切线方程.

20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 单位:万元与隔热层厚度
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单位: 满足关系:

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,设 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.Ⅰ求 的

表达式;Ⅱ隔热层修建多厚对,总费用 达到最小,并求最小值.

21. 已知函数

Ⅰ当 时,求 在区间 上的最大值和最小值;Ⅱ求

在 处的切线方程;Ⅲ若在区间

上,

恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. 已知函数



讨论 的单调性;

若 有两个零点,求 a 的取值范围.

【答案】

1. D

2. B

8. B

9. B

13. 2

14. 3

15.

16.

答案和解析

3. D

4. A

5. B

6. D

7. A

10. B 11. B 12. A

17. 解:依题意得,



定义域是



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0'/>,得 或 ;令

,得



且函数定义域是



函数 的单调增区间是

,单调递减区间是





,得

舍,

由于函数在区间 上为减函数,区间 上为增函数,





在 上的最大值是

,最小值是



18. 解: 因为在点

处的切线方程为



所以切线斜率是 ---------------------- 分





求得

,即点

---------------------- 分

又函数

,则

---------------------- 分

所以依题意得

---------------------- 分

解得

---------------------- 分

由知

所以

---------------------- 分



,解得 或



或 ;当

所以函数 的单调递增区间是

单调递减区间是

---------------------- 分



所以当 x 变化时, 和 变化情况如下表:

X

0

2

3

0

0

4

极小值

1

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所以当

时,



---------------------- 分

19. 解:





则在

处直线的斜率



所求直线的方程为 .

设切点坐标为



则直线 l 的斜率







解得 或



,所求直线的方程为

,所求直线斜率



于是所求直线的方程为

,即



综上所述,所求直线的方程为 或



20. 解: 每年能源消耗费用为

,建造费用为 6x,



,令

得或

舍.



时,

,当

时,



在 上单调递减,在

上单调递增.

当 时, 取得最小值



当隔热层修建 5cm 厚时,总费用最小,最小值为 70 万元.

21. 解: 当 时,



对于

恒成立, 在区间 上单调递增.




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在 处的切线方程是

,即



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函数

的定义域为



当 时,恒有



函数 在区间

上单调递减.

要满足在区间

上,

恒成立,则

实数 a 的取值范围是



即可,解得 .

当 时,令

,解得





时,即

时,在区间

上有

,此时 在此区间上单调递增,不合题意,应舍去.



时,即 ,在区间

上有

,此时 单调递增,不合题意.

综上 可知:实数 a 的取值范围是



22. 解: 由

,求导



当 时,





单调递减,

当 时,





,解得:





,解得:





,解得:



时, 单调递减,

单调递增;

当 时,

,恒成立,



单调递减,

综上可知:当 时, 在 R 单调减函数,

当 时, 在

是减函数,在

是增函数;

若 时,由 可知: 最多有一个零点,

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当 时,





时,





时,





,且远远大于 和 x,





函数有两个零点, 的最小值小于 0 即可,

由在

是减函数,在

是增函数,



,即



设 ,则



求导

,由



,解得:



的取值范围 .

方法二: 由

,求导



当 时,





单调递减,

当 时,





,解得:





,解得:





,解得:



时, 单调递减,

单调递增;

当 时,

,恒成立,



单调递减,

综上可知:当 时, 在 R 单调减函数,

当 时, 在

是减函数,在

是增函数;

若 时,由 可知: 最多有一个零点,

当 时,由 可知:当

时, 取得最小值,

当 ,时,

,故 只有一个零点,

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时,由

,即



故 没有零点,



时,



由 故在

, 有一个零点,

假设存在正整数 ,满足

,则

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因此在

有一个零点.

的取值范围 .

【解析】

1. 解:复数 z 满足

则复数 z 在复平面内对应的点

在第四象限.

故选:D. 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

2. 解:



故选:B 利用求 的导数的定义,化简求得. 本题主要考查了极限及其运算,涉及导数的定义和应用,合理的恒等变形是解决本题的关键,属于基础题.

3. 解:对于 A:



对于 B: 对于 C;

, ,

对于 D:



故选:D. 根据导数的运算法则求导即可判断. 本题考查了导数的运算法则,掌握基本导数公式是关键,属于基础题.

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4. 解:

, ,解得: .

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故选:A.



,得

,求解得到 m 的值,然后代入 ,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

5. 解:





处切线斜率为 1,即



,解得 .

故选:B.

求出函数的导数 ,利用

,解 a 即可.

本题主要考查导数的几何意义,以及导数的基本运算,考查学生的运算能力,比较基础.

6. 解析:由定积分的几何意义知

区域内的曲线与 X 轴的面积代数和.



选项 D 正确. 故选 D.

先将阴影部分的面积用定积分表示

,然后根据定积分的意义进行选择即可.

本题考查定积分在求面积中的应用,解题是要注意分割,关键是要注意在 x 轴下方的部分积分为负积分的几何意义 强调代数和,属于基础题.

7. 解:根据定积分性质可得



根据定积分的几何意义,

是以原点为圆心,以 1 为半径圆面积的 ,


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, 故答案选:A.

根据定积分性质可得

,然后根据定积分可得.

本题求一个分段函数的定积分之值,着重考查了定积分的几何意义和积分计算公 式等知识,属于基础题.

8. 解: 表示的几何意义是以直线

及函数 在图象第一象限内

圆弧与坐标轴围成的面积,

表示的几何意义是以直线

及函数

在图象第一象限内圆弧

与坐标轴围成的面积, 如图



时,

,故有:

故选:B.

根据积分所表示的几何意义是以直线

及函数 或

在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积,

只需画出函数图象观察面积大小即可. 本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可利用几何意义进行求解,属于 基础题.

9. 解:函数

的定义域为:

,当 时,函数

,可得函数的极值点为: ,当

时,函数是减函数, 时,函数是增函数,并且

,选项 B、D 满足题意.

当 时,函数

,选项 D 不正确,选项 B 正确.

故选:B. 利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域,判断函数的图象即可. 本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及函数的图象的判断,考查计算能力.

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10. 解:由于



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通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.

因此,



故选 B.

根据给出的几个等式,不难发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和,再写出四个

等式即得.

本题考查归纳推理的思想方法,注意观察所给等式的左右两边的特点,这是解题的关键.

11. 解:





故答案选 B. 先求函数的导数的范围,即曲线斜率的取值范围,从而求出切线的倾斜角的范围. 本题考查导数的几何意义,直线的倾斜角与斜率. 12. 解: 定义在 R 上的偶函数 ,

时,恒有











为减函数,

为偶函数,

为偶函数,



上为增函数,







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解得



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故选:A

根据函数 为偶函数,则 也为偶函数,利用导数可以判断 在

为减函数,则不等式

转化



,解得即可

本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系,考查了学生分析问题和解决问题的能力,属于中档题

13. 解:曲线方程为

,则围成封闭图形阴影部分的面积是



故答案为:2.

利用定积分的几何意义表示阴影部分面积,然后计算定积分.

本题考查了定积分的应用求封闭图形的面积;关键是正确利用定积分表示封闭图形的面积.

14. 解:由曲线

与直线

,联立解得



当 时,

曲线

与直线

及 y 轴所围成的平面图形的面积



解得 ,

故答案为:3

先联立曲线

与直线

,求出交点,以确定积分公式中 x 的取值范围,最后根据定积分的几何意义表示

出区域的面积,根据定积分公式解之即可.

本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及定积分的计算,比较基础.

15. 解:已知 为偶函数,当 时,



设 ,则 ,









曲线

在点 处的切线方程是



即.

故答案为: .

由已知函数的奇偶性结合 时的解析式求出 时的解析式,求出导函数,得到 ,然后代入直线方程的点斜

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式得答案.

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本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了函数解析式的求解及常用方法,是中档题.

16. 解:由条件可知,三角形的面积公式是利用的等积法来计算的.

根据类比可以得到,将四面体分解为四个小锥体,每个小锥体的高为内切球的半径,

根据体积相等可得



即内切球的半径



故答案为



由三角形的面积公式可知,是利用等积法推导的,即三个小三角形的面积之和等于大三角形 ABC 的面积,根据类比 推理可知,将四面体分解为四个小锥体,则四个小锥体的条件之和为四面体的体积,由此单调内切球的半径. 本题主要考查类比推理的应用,要求正确理解类比的关系,本题的两个结论实质是利用了面积相等和体积相等来推 导的.

17. 由定积分计算公式,结合微积分基本定理算出

再利用导数,研究

的正负,即可得到

函数 的单调增区间是

,单调递减区间是 .

根据 的单调性,分别求出 、 、 的值并比较大小,可得 在

上的最大值是

,最小值





本题利用定积分求一个函数的原函数,并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用

导数研究函数的单调性与最值等知识,属于中档题.

18. 求出曲线的斜率,切点坐标,求出函数的导数,利用导函数值域斜率的关系,即可求出 .

求出导函数的符号,判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值.

本题考查函数的导数的应用,切线方程以及闭区间上函数的最值求法,考查转化思想以及计算能力.

19. 由已知可得斜率函数为

,进而求出所过点切线的斜率,代入点斜式公式即可.

设切点为

,求出切点坐标,即可求曲线过点 P 处的切线方程.

本题主要考查函数切线方程的求解,根据导数的几何意义,求出切线斜率和方程是解决本题的关键注意区分在点 P

处与过点 P 处的切线方程.

20. 将建造成本和能源消耗总费用相加即可得出 ;

利用导数判断 的单调性,根据单调性求出 的最小值.

本题考查了利用导数求函数最值的方法,解析式的求解,属于中档题.

21. 当 时,

由于

恒成立,即可得到 在区间

上单调递性,即可得出最值.
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分别计算出 函数

,利用导数的几何意义可得 的定义域为

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在 处的切线斜率及其方程.
对 a 分类讨论:

当 时,利用导数研究其单调性即可得出 当 时,令

,解得

进一步分类讨论:当

时,即

时, 当

时,即 ,研究函数的单调性即可得出.

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属

于难题.

22. 求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得 单调性;

由 可知:当 时才有两个零点,根据函数的单调性求得 最小值,由

,求

导,由

,即可求得 a 的取值范围.

求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得 单调性; 分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得 a 的取值范围. 本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨 论思想,属于中档题.

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