数学---江苏省南通中学2016-2017学年高二(上)期末试卷(解析版)

2016-2017 学年江苏省南通中学高二(上)期末数学试卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 置上. 1. (5 分)若直线经过 A(1,0) 、B(0,﹣1)两点,则直线 AB 的倾斜角为 2. (5 分)如果平面 α∥平面 β 且直线 l⊥α,那么直线 l 与平面 β 的位置关系是 3. (5 分)函数 f(x)=x?ex,则 f′(1)= . . . . . 4. (5 分)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 5. (5 分)已知抛物线的准线方程为 x=﹣2,则抛物线的标准方程为 6. (5 分)棱长为 1 的正方体的外接球的表面积为 7. (5 分)已知双曲线 C: 曲线 C 的离心率为 . ﹣ . =1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则双 8. (5 分)已知函数 f(x)=lnx+x,若函数 f(x)在点 P(x0,f(x0) )处切线与直线 3x﹣y+1=0 平行,则 x0= . 9. (5 分)如果平面直角坐标系中的两点 A(a﹣1,a+1) ,B(a,a)关于直线 L 对称,那 么直线 L 的 方程为 . + =1(a>b>0)与圆 x2+y2=( +c)2(c 为椭圆半焦距)有四个不 . . . 10. (5 分)椭圆 同交点,则离心率的取值范围是 11. (5 分) 已知函数 ( f x) =x3﹣ax2+1 在区间[0, 2]内单调递减, 则实数 a 的取值范围是 12. (5 分) 若直线 ax﹣by+1=0 平分圆 C: x2+y2+2x﹣4y+1=0 的周长, 则 ab 的取值范围是 13. (5 分)定义在(0,+∞)上的单调函数 f(x) ,对任意 x∈(0,+∞) ,f[f(x)﹣log2x]=3 成立,若方程 f(x)﹣f'(x)=2 的解在区间(k,k+1) (k∈Z)内,则 k= . 14. (5 分)过点 P(1,3)的动直线与抛物线 y=x2 交于 A,B 两点,在 A,B 两点处的切线 2 分别为 l1、 l2, 若 l1 和 l2 交于点 Q, 则圆 x2+ (y﹣2) =4 上的点与动点 Q 距离的最小值为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)已知函数 f(x)=﹣ x3+x2+3x+a(a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)若函数 f(x)在区间[﹣4,4]上的最大值为 26,求 a 的值. 16. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,∠ABC=90° ,PA⊥平面 ABC,E,F 分别为 PB, PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 AEF⊥平面 PAB. 17. (14 分)已知圆 M 的方程为 x2+(y﹣2)2=1,直线 l 的方程为 x﹣2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA、PB,切点为 A、B. (1)若点 P 的坐标为(0,0) ,求∠APB; (2)若点 P 的坐标为(2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C、D 两点,当 CD 的方程; (3)经过 A、P、M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标; 若不经过,请说明理由. 时,求直线 18. (16 分)请你设计一个仓库.它的上部是底面圆半径为 5m 的圆锥,下部是底面圆半径 为 5m 的圆柱,且该仓库的总高度为 5m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用 料的单价分别为 4 百元/m2, 1 百元/m2, 设圆锥母线与底面所成角为 θ, 且 (1)设该仓库的侧面总造价为 y,写出 y 关于 θ 的函数关系式; (2)问 θ 为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:百元)最少?并求出此时圆锥的高度. . 19. (16 分) 已知椭圆 (1)求椭圆 C 的标准方程; 的离心率为 , 一条准线方程为 . (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆交于 P,Q 两点. ①若 m=﹣2,当△OPQ 面积最大时,求直线 l 的方程; ②当 k≠0 时,若以 PQ 为直径的圆经过椭圆的右顶点,求证:直线 l 过定点. 20. (16 分)已知函数 垂直. (1)求 a 的值及 f(x)的极值; (2)是否存在区间 ,曲线 f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 y=e2x+e ,使函数 f(x)在此区间上存在极值和零点?若存 在,求实数 t 的取值范围,若不存在,请说明理由; (3)若不等式 x2f(x)>k(x﹣1)对任意 x∈(1,+∞)恒成立,求整数 k 的最大值. 参考答案 一、填空题 1. 【解析】∵直线经过 A(1,0) 、B(0,﹣1)两点,故直线 AB 的斜率 k=1, 设倾斜角为 α,则 0≤α<π,且 tanα=1,∴α= 故答案为: 2.l⊥β 【解析】∵平面 α∥平面 β 又∵直线 l⊥平面 α 故直线 l⊥平面 β 故答案为:l⊥β 3. 2e 【解析】f′(x)=(x?ex)′=ex+xex, ∴f′(1)=e+e=2e. 故答案为:2e. 4. x2+(y﹣2)2=1 【解析】由圆心在 y 轴上,设出圆心坐标为(0,b) ,又半径为 1, ∴所求圆的方程为 x2+(y﹣b)2=1, 由所求圆过(1,2) , 代入圆的方程得:1+(2﹣b)2=1, 解得:b=2, 则所求圆的方程为:x2+(y﹣2)2=1. 故答案为:x2+(y﹣2)2=1 5. y2=8x 【解析】由题意,设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0) ,准线方程是 x=﹣ , ∵抛物线的准线方程为 x=﹣2, ∴ =2,解得 p=4, 故所求抛物线的标准方程为 y2=8x. . , 故答案为:y2=8x. 6

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