2019年高等数学77常系数齐次线性微分方程特征根方程解的情况的讨论.ppt_图文

§7. 常系数齐次线性微分方程
一、定义
n阶常系数线性微分方程的标准形式

y ( n ) ? P1 y ( n?1) ? ? ? Pn?1 y? ? Pn y ? f ( x )
二阶常系数齐次线性方程的标准形式

y?? ? py? ? qy ? 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式

y?? ? py? ? qy ? f ( x )

二、二阶常系数齐次线性方程解法
y?? ? py? ? qy ? 0
rx

-----特征方程法

设 y ? e , 将其代入上方程, 得 ( r ? pr ? q )e ? 0
2 rx

? e ? 0,
rx

故有

r ? pr ? q ? 0
2

特征方程

特征根 r1, 2 ?

? p?

p ? 4q , 2
2

(1) 有两个不相等的实根 ( ? ? 0)

特征根为 r1 ?

? p?

p ? 4q ? p ? p ? 4q , r2 ? , 2 2
2 2

两个线性无关的特解

y1 ? e ,
r1 x

y2 ? e ,
r2 x
r1 x

得齐次方程的通解为 y ? C1e

? C2e ;
r2 x

(2) 有两个相等的实根 ( ? ? 0)

p r1 x 特征根为 r1 ? r2 ? ? , 一特解为 y1 ? e , 2
设另一特解为 y2 ? u( x )e ,
r1 x

? ,y2 ?? 代入原方程并化简, 将 y2 ,y2
2 ? ? ? u ? ( 2r1 ? p)u ? ( r1 ? pr1 ? q )u ? 0,

知 u?? ? 0,

取 u( x ) ? x , 则 y2 ? xe ,
r1 x

得齐次方程的通解为 y ? (C1 ? C 2 x )e

r1 x

;

(3) 有一对共轭复根

( ? ? 0)
r2 ? ? ? i? ,
(? ? i? ) x

特征根为 r1 ? ? ? i? ,

1 ?x y ? ( y ? y ) ? e cos ?x, 重新组合 1 1 2 2
1 ?x ? e sin ?x, y2 ? ( y1 ? y2 ) 2i
得齐次方程的通解为

y1 ? e

(? ? i? ) x

,

y2 ? e

,

y ? e (C1 cos ? x ? C 2 sin ? x ).

?x

定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 例1 求方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 的通解. 解 特征方程为 解得

r ? 4r ? 4 ? 0 ,
2

r1 ? r2 ? ?2 ,

?2 x y ? ( C ? C x ) e . 故所求通解为 1 2

例2 求方程 y?? ? 2 y? ? 5 y ? 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 ? 2r ? 5 ? 0 ,

解得 r1, 2 ? ?1 ? 2i , 故所求通解为

y ? e ? x (C1 cos 2 x ? C2 sin 2 x ).

三、n阶常系数齐次线性方程解法
y
( n)

? P1 y

( n ?1 )

? ? ? Pn?1 y? ? Pn y ? 0

特征方程为 r n ? P1r n ?1 ? ? ? Pn ?1r ? Pn ? 0

特征方程的根

通解中的对应项
(C0 ? C1 x ? ? ? Ck ?1 x k ?1 )e rx
[(C0 ? C1 x ? ? ? C k ?1 x k ?1 ) cos ? x ? ( D0 ? D1 x ? ? ? Dk ?1 x k ?1 ) sin? x ]e ?x

若是k重根r
若是k重共轭 复根? ? i?
若是单根 r

Ce rx ,

注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y ? C1 y1 ? C2 y2 ? ? ? Cn yn

例3 求方程

y

(5)

?y

(4)

? 2y

( 3)

? 2 y?? ? y? ? y ? 0 的通解.



特征方程为 r 5 ? r 4 ? 2r 3 ? 2r 2 ? r ? 1 ? 0,

(r ? 1)(r 2 ? 1)2 ? 0,
特征根为

r1 ? ?1, r2 ? r3 ? i , r4 ? r5 ? ?i ,

故所求通解为

y ? C1e ? x ? (C2 ? C3 x ) cos x ? (C4 ? C5 x ) sin x .

小 结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:

(1)写出相应的特征方程;
(2)求出特征根; (3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)

y?? ? py? ? qy ? 0
特征根的情况
1 ? r2 实根r1 ? r2

r ? pr ? q ? 0
通解的表达式

2

实根r 复根r

1, 2

? ? ? i?

y ? C1e r x ? C 2 e r x y ? (C1 ? C 2 x )e r x
1 2 2

y ? e?x (C1 cos ?x ? C 2 sin ?x )

思考题
2 ? ? ? ? ? y y ? y ? y ln y 的通解. 求微分方程 2

思考题解答

2 2 ? ? ? 求 yy ? ? y ? ? y ln y
2

的通解.

yy ?? ? ? y ? ? ? ? ln y , ? y ? 0, 2 y ? ? y? ? ? y? ? ? ? ? ln y , ? ?ln y ? x ? , ? ?ln y ? ? ln y , y ? y?
令 z ? ln y
x

则 z ?? ? z ? 0,
?x

特征根 ? ? ?1
x ?x

通解 z ? C1e ? C 2e

? ln y ? C1e ? C 2 e .

练 习 题
一、求下列微分方程的通解:
d2x dx 1、 y ?? ? 4 y ? ? 0 ; 2、4 2 ? 20 ? 25 x ? 0 ; dt dt 3、 y ?? ? 6 y ? ? 13 y ? 0 ; 4、 y ( 4 ) ? 5 y ?? ? 36 y ? 0 .

二、下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、4 y ?? ? 4 y ? ? y ? 0 , y x ? 0 ? 2 , y ?x ? 0 ? 0 ; 2、 y ?? ? 4 y ? ? 13 y ? 0 , y x ? 0 ? 0 , y ?x ? 0 ? 3 . 三、求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使 1 , e x , 2e x , e x ? 3 都是它的解 . 四、设圆柱形浮筒,直径为0.5m , 铅直放在水中, 当稍 向下压后突 然放开, 浮筒 在水中上 下振动的 周期为 2 s ,求浮筒的质量 .

练习题答案
一、1、 y ? C1 ? C 2 e 4 x ; 2、 x ? (C1 ? C 2 t )e ; 3、 y ? e ? 3 x (C1 cos 2 x ? C 2 sin 2 x ) ; 4、 y ? C1e 2 x ? C 2 e ? 2 x ? C 3 cos 3 x ? C 4 sin 3 x . 二、1、 y ? e ( 2 ? x ) ; 2、 y ? e 2 x sin 3 x . 三、 y ?? ? y ? ? 0 . (提示: 1, e x 为两个 线性无关的解) 四、 M ? 195kg.
? x 2 5 t 2

作业
P310:1(偶),2(奇),5


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