4向量法求线面角


北京市立新学校

复习:

? ? (1)若a ? ( x1, y1, z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 ) 则

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0

(2)若 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )

??? ? 则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 )

(3)夹角公式:
? ? a ?b ? ? cos a ? b ? ? ? ? | a |?|b | a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32

用于异面直线成角,线面角, 二面角的求解.

(4)法向量概念:
? a

?? ? m n ? c

? b

? ?? ?a ? m ? 0 ? ?? ? ?a?n ? 0 ?

线面角概念:
P

n

θ

?
F O

(一)线面角的向量表示:
? ?? ? ? ?0, ? ? 2?

m

P n

θ
F

?
O

sin ? ? cos ? M ?? ? m?n ? ?? ? m n

所成角; ??? ? 为向量 FP 与法向 ? ?? 量 m 所成角.

? 为斜线PF与面M

【例1】在正方体 AC

'

中,求直线DB1与底面
C1

ABCD所成角.

z
D1 A1 B1

D C A

y

x

B

【例2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 棱AD=DC=3,DD1=4,过点D作D1C的垂线交 C1C于点E,交D1C于点F. z A (Ⅰ)求证:A1C⊥BE; D (Ⅱ)求二面角E-BD-C B C 的大小; (Ⅲ)求BE与平面A1D1C E 所成角的正弦值.
1 1 1

1

F

9 ? 3? 25

A

D

y

x

B

C

立几专题四例4

【练习】四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平 行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD。已知 ∠ABC=45?,AB=2,BC=2 2 ,SA=SB= 3 . (Ⅰ)证明:SA⊥BC; z (Ⅱ)求直线SD与平面 S SAB所成角的大小;

作SO⊥BC, 连OA, ∵SA=SB, ∴OA=OBD
C
A o x

G

B

y


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