2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.1课件新人教A版选修2_3_图文

第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 第1课时 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理及其简单应用 主题1:分类加法计数原理 某志愿者从杭州奔赴北京参加公益活动,假设每天有4 个航班,5列火车. 1.该志愿者要完成的一件事是什么? 提示:从杭州乘火车或飞机奔赴北京参加公益活动. 2.有几类方案可完成这件事?每类方案又各有几种方法? 每种方法是否都能完成这件事? 提示:两类方案,第一类方类:乘飞机,有4种方法; 第二类方案:坐火车,有5种方法. 每种方案中的每种方法都能完成这件事. 3.该志愿者从杭州到北京共有多少种不同方法? 提示:共有4+5=9种不同的方法. 结论: 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不 同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成 这件事共有N=____种不同的方法. m+n 【微思考】 根据分类加法计数原理考虑完成一件事的第1类方案与 第2类方案中的每一种方法有没有重复或遗漏? 提示:每种方法都可以独立地完成这件事,它们之间没 有重复或遗漏. 主题2:分步乘法计数原理 某志愿者从丽水奔赴北京参加公益活动,中间在杭州停 留,假设每天从丽水到杭州有3次汽车,从杭州到北京有 4个航班. 1.该志愿者要完成这件事需要几个步骤? 提示:两个,即先坐汽车到杭州,再从杭州乘飞机到北京. 2.完成每一步各有几种方法? 提示:第一步(坐汽车):有3种方法,第二步(乘飞机):有 4种方法. 3.该志愿者从丽水到北京共有多少种不同的方法? 提示:共有3×4=12种方法. 结论: 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方 法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有 N=_____种不同的方法. m ×n 【微思考】 1.分步乘法计数原理的特征是什么? 提示:分步就是说完成这件事的任何一种方法,都要分 成若干个步骤,要完成这件事必须且只需连续完成这若 干个步骤后,这件事才算完成. 2.第1步采用不同的方法对第2步方法的选取有没有影 响? 提示:第1步与第2步互相独立,没有影响. 【预习自测】 1.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具, 如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一 天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A.1+1+1=3 C.3×4×2=24 B.3+4+2=9 D.以上都不对 【解析】选B.乘汽车有3种方法,乘火车有4种方法,坐 轮船有2种方法.根据分类加法计数原理,共有3+4+2=9 种不同的走法. 2.某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到 该体育场练习跑步,则他进出门的方案有 A.12种 B.7种 C.24种 ( D.49种 ) 【解析】选D.该学生从南侧进、南侧出有4×4=16种方 案;从北侧进、北侧出有3×3=9种方案;从一侧进另一 侧出有2×4×3=24种方案,所以共有16+9+24=49种方案. 3.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)的展开式中共有 ( A.60项 C.30项 B.12项 D.以上都不对 ) 【解析】选B.完成这件事需分两步,第一步:从第一个 括号中取一字母有3种方法;第二步:从第二个括号中取 一字母有4种方法.故共有3×4=12项. 4.加工某个零件分三道工序,第一道工序有5人可以选 择,第二道工序有6人可以选择,第三道工序有4人可以 选择,从中选3人每人做一道工序,则选法有________种. 【解析】选第一、第二、第三道工序各一人的方法数 依次为5,6,4,由分步乘法计数原理知,选法总数为 N=5×6×4=120. 答案:120 5.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩 画. (1)从中任取一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间, 有几种不同的选法?(仿照教材P5例3的解析过程) 【解析】(1)从中任取一幅画,有三类方法: 第1类方法是从国画中取一幅有5种不同方法; 第2类方法是从油画中取一幅有2种不同方法; 第3类方法是从水彩画中取一幅有7种不同方法. 所以不同取法的种数是5+2+7=14. (2)从三种画中各取一幅,可分成三个步骤完成: 第1步,从国画中取1幅,有5种方法; 第2步,从油画中取1幅,有2种方法; 第3步,从水彩画中取1幅,有7种方法. 所以不同取法的种数是5×2×7=70. 类型一 分类加法计数原理的应用 【典例1】(1)(2017·日照高二检测)如图所示,在A,B 间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则 电路不通,现发现电路不通,则焊接点脱落的不同情况 有 ( ) A.16种 C.9种 B.15种 D.8种 (2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为________. 【解题指南】(1)根据题意,可将其分为1个、2个、3个、 4个焊接点脱落的情形,即分成四类,按照分类加法计数 原理求解. (2)分a=0与a≠0两种情况,当a≠0时再借助判别式讨论 求解. 【解析】(1)选B.按照可能脱落的个数可分成四类: 第一类:1个焊接点脱落,有4种情况. 第二类:2个焊接点脱落,有6种情况.即 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 第三类:3个焊接点脱落,有4种情况.即 (1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4). 第四类:4个焊接点脱落,有1种情况.即(1,2,3,4). 所以共有4+6+4+1=15种情况. (2)当a=0时,关于x的方程为2x+b=0, 此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求; 当a≠0时,由Δ=4-4

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