第二章推理与证明2.3数学归纳法第二课时教案理 新人教A版 选修2 广东省肇庆市高中数学

§2.3 数学归纳法(第二课时) 一、教学目标 1.了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力. 2.了解数学归纳法的原理,能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤. 3.抽象思维和概括能力进一步得到提高. 二、教学重点与难点 重点:借助具体实例了解数学归纳的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整 数 n(n 取无限多个值)有关的数学命题。 难点:1、学生不易理解数学归纳的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易 根据归纳假设作出证明; 2、运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 教学过程: 教学过程: 1. 归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点:特殊→一般 2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不 完全归纳法. 3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法, 又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的 .通常在事物包括的 特殊情况数不多时,采用完全归纳法. 4.数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先 证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; 然后假设当 n=k(k?N*, k≥n0)时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0,如果当 n=n0 时, 命题成立,再假设当 n=k(k≥n0,k∈N )时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据 这个假设,如能推出当 n=k+1 时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 * n0+1,n0+2,?,命题都成立. 6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 学生探究过程:数学归纳法公理; 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? 用数学归纳法证明:当 n ? N * 时1 ? ? ? ? ??? ? . 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 数学运用 例 1.设 n ? N * , f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 . (1)当 n ? 1, 2,3, 4 时,计算 f ( n) 的值; (2)你对 f ( n) 的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想. 解:(1)当 n ? 1 时, f (1) ? 51 ? 2 ? 31?1 ? 1 ? 8 ? 8 ?1 ; 当 n ? 2 时, f (2) ? 52 ? 2 ? 32?1 ? 1 ? 32 ? 8 ? 4 ; 当 n ? 3 时, f (3) ? 53 ? 2 ? 33?1 ? 1 ? 144 ? 8 ?18 ; 当 n ? 4 时, f (4) ? 54 ? 2 ? 34?1 ? 1 ? 680 ? 8 ? 85 . (2)猜想:当 n ? N * 时, f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 能被 8 整除. ①当 n ? 1 时,有 f (1) ? 51 ? 2 ? 31?1 ? 1 ? 8 能被 8 整除,命题成立. ②假设当 n ? k 时,命题成立,即 f ( k ) 能被 8 整除, 那么当 n ? k ? 1 时,有 f (k ? 1) ? 5k ?1 ? 2 ? 3( k ?1)?1 ? 1 ? 5 ? 5k ? 6 ? 3k ?1 ? 1 ? (5k ? 2 ? 3k ?1 ? 1) ? 4(5k ? 3k ?1 ) ? f (k ) ? 4(5k ? 3k ?1 ) . 这里, 它们的和 (5k ? 3k ?1 ) 必为偶数, 从而 4(5k ? 3k ?1 ) 能被 8 整除. 又 5k 和 3k ?1 均为奇数, 依归纳假设, f ( k ) 能被 8 整除,所以 f (k ? 1) 能被 8 整除.这就是说,当 n ? k ? 1 时,命题 也成立. 根据(1)和(2),可知命题对任何 n ? N * 都成立. 变式:求证当 n 取正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除。 证明:(1) n ? 1 时, x1 ? y1 ? x ? y ,能被 x ? y 整除,命题成立。 (2)假设 n ? k ( k 为正奇数)时,有 x k ? y k 能被 x ? y 整除, 当 n ? k ? 2 时, xk ?2 ? y k ?2 ? xk ? x2 ? y k ? y 2 ? xk ? x2 ? y k ? x2 ? y k ? x 2 ? y k ? y 2 ( xk ? y k ) x2 ? y k ( x2 ? y 2 ) ? ( xk ? y k ) x2 ? y k ( x ? y)( x ? y) ∵以上两项均能被 x ? y 整除,∴ x k ? 2 ? y k ? 2 能被 x ? y 整除,即当 n ? k ? 2 时命题仍成 立。 由(1)、(2)可知,对一切正奇数 n ,都有 x n ? y n 能被 x ? y 整除. 例 2.在平面上画 n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条直线不共点.问:这 条直线将平面分成多少个部分? 解:记 n 条直线把平面分成 rn 个部分,我们通过 n ? 1, 2,3, 4,5, 画出图形观察 rn 的情况: n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 从图中可以看出 r1 ? 2 ? 1 ? 1 , r2

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