第二章推理与证明2.3数学归纳法第二课时教案理 新人教A版 选修2 广东省肇庆市高中数学


§2.3 数学归纳法(第二课时) 一、教学目标 1.了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力. 2.了解数学归纳法的原理,能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤. 3.抽象思维和概括能力进一步得到提高. 二、教学重点与难点 重点:借助具体实例了解数学归纳的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整 数 n(n 取无限多个值)有关的数学命题。 难点:1、学生不易理解数学归纳的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易 根据归纳假设作出证明; 2、运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 教学过程: 教学过程: 1. 归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点:特殊→一般 2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不 完全归纳法. 3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法, 又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的 .通常在事物包括的 特殊情况数不多时,采用完全归纳法. 4.数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先 证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; 然后假设当 n=k(k?N*, k≥n0)时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 5. 数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0,如果当 n=n0 时, 命题成立,再假设当 n=k(k≥n0,k∈N )时,命题成立.(这时命题是否成立不是确定的),根据 这个假设,如能推出当 n=k+1 时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 * n0+1,n0+2,?,命题都成立. 6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 学生探究过程:数学归纳法公理; 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? 用数学归纳法证明:当 n ? N * 时1 ? ? ? ? ??? ? . 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 数学运用 例 1.设 n ? N * , f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 . (1)当 n ? 1, 2,3, 4 时,计算 f ( n) 的值; (2)你对 f ( n) 的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想. 解:(1)当 n ? 1 时, f (1) ? 51 ? 2 ? 31?1 ? 1 ? 8 ? 8 ?1 ; 当 n ? 2 时, f (2) ? 52 ? 2 ? 32?1 ? 1 ? 32 ? 8 ? 4 ; 当 n ? 3 时, f (3) ? 53 ? 2 ? 33?1 ? 1 ? 144 ? 8 ?18 ; 当 n ? 4 时, f (4) ? 54 ? 2 ? 34?1 ? 1 ? 680 ? 8 ? 85 . (2)猜想:当 n ? N * 时, f (n) ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1 能被 8 整除. ①当 n ? 1 时,有 f (1) ? 51 ? 2

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