江苏省沭阳银河学校2013-2014学年高二下学期期末考试 数学


沭阳银河学校 2013~2014 学年度第二学期高二年级期末考试 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。 1. 已知集合 A ? ?? 1, 2, 4?, B ? ?0, 2, 6?,则 A ? B ? _________。 2. 如果复数 ?1 ? i ??1 ? mi? 是实数,则实数 m ? _________。 3. 已知 cos x ?

3? ?? ? 0 ? x ? ? ,则 sin 2 x 的值为_________。 5? 2?

4. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m , n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x ? y ? 5 上 的概率为_________。 5. 已知函数 f ? x ? ? ?

?? x ? 2, x ? 0 ,则 f ? f ?? 2?? 的值为_________。 ?log 2 x, x ? 0

6. 执行下边的程序框图,若 p ? 4 ,则输出的 S ? _________。

2 2 7. 直线 y ? x ? b 平分圆 x ? y ? 8x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 b ? __________。

8. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前三项的和为 21,则 a4 ? a5 ? a6 ? __________。
·1 ·

?y ? x ? 1 ? 9. 已 知 实 数 x, y 满 足 ? x ? y ? 1 , 若 z ? 3x ? y 在 ?x, y ? 处 取 得 最 小 值 , 则 此 时 ?? 2 x ? y ? 2 ?

?x, y ? ? __________。
10. 在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x ⊙ ?x ? 2? ? 0 的实数 x 的取值范围是 __________。 11. 在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,D 为斜边 BC 的中点,则 AB ? AD 的值为__________。 12. 已知函数 f ?x ? ? 2 sin? x ?

? ?

??

? ?? ?, x ? ?0, ? ,则该函数的值域为__________。 6? ? 2?

13. 把数列 ?

?1? k ?1 ? 的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所示的数表,第 k 行有 2 个 ? 2n ?
1 可记为__________。 2012

数,第 k 行的第 s 个数(从左数起)记为 ?k , s ? ,则

14. 如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动,设顶点 P?x, y ? 的纵坐标与横坐标的函数 关系式是 y ? f ?x ? , y ? f ?x ? 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积记为 S ,则 S=__________。

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 14 分)
·2 ·

在△ABC 中,AB= 2 ,BC=1, cos C ?

3 。 4

(1)求 sin A 的值; (2)求 BC ? CA 的值。 16. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE。

(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD。 17. (本小题满分 14 分) 如图,在半径为 30 cm 的

1 圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC,其中点 B 在圆 4

弧上,点 A、C 在两半径上,现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面(不
3 计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长 AB ? xcm ,圆柱的体积为 Vcm 。

(1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大? 18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

a 2 的定义域为(0, ? ? ) ,且 f ?2? ? 2 ? ,设点 P 是函数图象上的任 x 2

意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M、N。 (1)求 a 的值; (2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由; (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值。

·3 ·

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左、右顶点分别 A、B,椭圆过点(0,1)且离心率 e ? 。 2 2 a b

(1)求椭圆的标准方程; (2) 过椭圆上异于 A, B 两点的任意一点 P 作 PH⊥ x 轴, H 为垂足, 延长 HP 到点 Q, 且 PQ=HP, 过点 B 作直线 l ? x 轴,连结 AQ 并延长交直线 l 于点 M,N 为 MB 的中点,试判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系。

20. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,令 bn ? an ? an?1 ,数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 ? bn ?

Tn 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证: Tn ?

1 ; 3

(3)是否存在正整数 m , n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 ,Tm ,Tn 成等比数列?若存在,求出 m , n
·4 ·

的值,若不存在,请说明理由。

·5 ·

高二(文)参考答案
一、填空题: 1.

?2?

2. -1

3.

24 25

4.

1 9

5. 2 11. 18

6.

15 16

7. -5

8. 168

9. (-1,0) 14.

10. (-2,1)

12. [1,2]

13. (10,495)

2 3 ?? 3 4

二、解答题 15. 解: (1)在△ABC 中,∵ cos C ?

3 7 ,∴ sin C ? 4 4

由正弦定理得:

1 c 1 ? ,即 ? sin A sin C sin A
2

2 7 4

,∴ sin A ?

14 。 (7 分) 8

(2)由余弦定理可得: 2 ? b ? 1 ? 2b ?
2

3 1 , b ? 2, b ? ? (舍) 。 4 2

∴ BC ? CA ? 1 ? 2 ? cos?? ? C ? ? 1 ? 2 ? ? ?

3 ? 3? (14 分) ??? 。 2 ? 4?

16. 证明: (1)AD⊥平面 ABE,AE ? 平面 ABE,∴AD⊥AE, 在矩形 ABCD 中,有 AD∥BC,∴BC⊥AE。 ∵BF⊥平面 ACE,AE ? 平面 ABE,∴BF⊥AE, 又∵BF ? BC=B,BF,BC ? 平面 BCE, ∴AE⊥平面 BCE。 (7 分) (2)设 AC ? BD=H,连接 HF,则 H 为 AC 的中点。 ∵BF⊥平面 ACE,CE ? 平面 ABE,∴BF⊥CE, 又因为 AE=EB=BC,所以 F 为 CE 上的中点。 在△AEC 中,FH 为△AEC 的中位线,则 FH∥AE 又∵AE ? 平面 BFE,而 FH ? 平面 BFE ∴AE∥平面 BFD。 (14 分)

·6 ·

17. 解: (1)连结 OB,∵ AB ? x ,∴ OA ? 900? x 2 , 设圆柱底面半径为 r ,则 900? x 2 ? 2?r , 即 4? r ? 900 ? x ,
2 2 2

900 ? x 2 900x ? x 3 ?x ? 所以 V ? ?r x ? ? ? 4? 4? 2
2

其中 0 ? x ? 30 。 (7 分)

900 ? 3x 2 ? 0 ,得 x ? 10 3 (2)由 V ? ? 4?
因此 V ?

900x ? x 3 在(0, 10 3 )上是增函数,在( 10 3 ,30)上是减函数。 4?

所以当 x ? 10 3 时,V 有最大值。 (14 分)

S OMPN ? S △OPN ? S △OPM ?

1? 2? 1? 1 ? 1 1 2 1 ? x0 ? ? ? x0 ? ? 2 x0 ? ? ? x0 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2? x0 ? 2? x0 ? x0 2 2 x0

?

1? 2 1 ? 1 ? ? x ? ? 2 ? ? 2 1 ? 2 ? 1? 2 0 2 2? 2 x0 ? ? ?
2

当且仅当 x0 ?

1 ,即 x0 ? 1 时取等号,故四边形 OMPN 面积的最小值 1 ? 2 。 (16 分) 2 x0
·7 ·

19. 解: (1)因为椭圆经过点(0,1) ,所以 b ? 1 ,又椭圆的离心率 e ?
2 2 2 2 2 2 2 即 3a ? 4c ,由 a ? b ? c 得 a ? 1 ? c ,所以 a ? 2 ,

3 c 3 得 ? , 2 a 2

x2 ? y2 ? 1。 故所求椭圆方程为 (6 分) 4
(2)设 P?x0 , y0 ? ,则
2 x0 2 ? y0 ? 1 ,设 Q?x, y ? ,∵HP=PQ,∴ x ? x0 , y ? 2 y0 4

即 x 0 ? x, y 0 ?

x2 1 2 y ,将 ?x0 , y0 ? 代入 0 ? y 0 ? 1得 x2 ? y2 ? 4 , 2 4
? 8 y0 ? 2 y0 ?, 2, ?x ? 2?,令 x ? 2 ,则 M ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? ? 2 x0 y 0 ? 4 y0 ? ? ? x0 ? 2, ,OQ ? ?x0 , 2 y0 ? ,NQ ? ? ? ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? ?

所以 Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的圆上,即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上。 又 A(-2,0) ,直线 AQ 的方程为 y ?

又B (2, 0) , N 为 MB 的中点, ∴ N? ? 2,

? ?

2 2 x0 y 0 4 x0 y 0 ∴ OQ ? NQ ? x0 ?x0 ? 2? ? 2 y0 ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2

(16 分) ? x0 ?x0 ? 2? ? x0 ?2 ? x0 ? ? 0 ,∴ OQ ? NQ ,∴直线 QN 与圆 O 相切。 20. 解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12。 解得 a1 ? 1 , d ? 3 ,∴ an ? 3n ? 2 。 (4 分) (2)∵ an ? 3n ? 2 , an?1 ? 3n ? 1,∴ bn ? an ? an?1 ? ?3n ? 2??3n ? 1? ∴

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bn ?3n ? 2??3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?
1? 1 ? 1 (8 分) ?1 ? ?? 。 3 ? 3n ? 1 ? 3
n 1 m n ,∴ T1 ? , Tm ? , Tn ? , 3n ? 1 4 3m ? 1 3n ? 1

∴ Tn ?

(3)由(2)知, Tn ?

·8 ·

6m ? 1 3n ? 4 1 n ? m ? ? ∵ T1 , Tm , Tn 成等比数列,∴ ? ,即 ? ? ? n m2 4 3n ? 1 ? 3m ? 1 ?

2

13 3n ? 4 ? , n ? 16 ,符合题意; 4 n 19 3n ? 4 ? 当 m ? 3 时, , n 无正整数解; 9 n 25 3n ? 4 ? 当 m ? 4 时, , n 无正整数解; 16 n 31 3n ? 4 ? 当 m ? 5 时, , n 无正整数解; 25 n 37 3n ? 4 ? 当 m ? 6 时, , n 无正整数解; 36 n
当 m ? 2 时, 当 m ? 7 时, m2 ? 6m ? 1 ? ?m ? 3? ? 10 ? 0 ,则
2

6m ? 1 3n ? 4 4 ? 1 ,而 ? 3? ? 3, 2 n n m

所以,此时不存在正整数 m , n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列。 综上,存在正整数 m ? 2, n ? 16,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列。 (16 分)

·9 ·


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