2019秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理课件新人教A版必修5_图文

第一章 解三角形

第 2 课时 余弦定理
[学习目标] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明 余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本 的三角形问题.

[知识提炼·梳理] 1.余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两 边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两 倍,即 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2 =a2+b2-2abcos C. 特别:在△ABC 中,已知 C=90°,三边 a,b,c 的 关系为: c2=a2+b2(勾股定理).

2.△ABC 中,用三边 a,b,c 表示 cos A=b2+2cb2c-a2, cos B=a2+2ca2c-b2,cos C=a2+2ba2b-c2.
3.运用余弦定理可以解决两类解三角形的问题. (1)已知三边,求三角. (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 温馨提示 勾股定理实际上是余弦定理的特殊情形.

[思考尝试·夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC 中,若 a2+b2=c2,则△ABC 为直角三 角形.( ) (2)在△ABC 中,若 cos A=b2+2cb2c-a2>0,则△ABC 为锐角三角形.( ) (3) 已 知 三 角 形 两 边 及 夹 角 , 则 此 三 角 形 完 全 确 定.( )

(4)在△ABC 中,若 b2+c2-a2<0,则△ABC 为钝角 三角形.( )
解析:(1)因为 a2+b2=c2,所以 C=90°,故△ABC 为直角三角形,正确.(2)由 cos A>0 可知 A 必为锐角, 但还有 B,C 不能确定,故不正确.(3)当已知两边及夹角 时,可由余弦定理求出另一边,从而可知三角形已确定了, 故正确.(4)由 b2+c2-a2<0,知 cos A<0,故 A 为钝角, 显然△ABC 为钝角三角形成立,故正确.
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√

2.在△ABC 中,b=5,c=5 3,A=30°,则 a 等于

()

A.5

B.4

C.3

D.10

解析:由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=52+

(5 3)2-2×5×(5 3)× 23=25, 所以 a=5.

答案:A

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,

c,若 C=120°,c= 2a,则( )

A.a>b

B.a<b

C.a=b

D.a 与 b 的大小关系不确定

解析:cos 120°=a2+2ba2b-c2=a2+2ba2-b 2a2=-12,

所以 b=

5-1 2 a<a.

答案:A

4.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

且 a=2bsin A,b2+c2-a2=bc,则△ABC 的形状为( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

解析:因为 b2+c2-a2=bc,所以 cos A=b2+2cb2c-a2=

2bbcc=12,因为 A 为三角形内角,所以 A=60°,所以 a=

2bsin A= 3b.

利用正弦定理化简,得 sin A= 3sin B,即 sin B=12, 所以 B=30°或 B=150°(不合题意,舍去), 所以 C=90°,即△ABC 为直角三角形. 答案:C

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,若 a=1,b= 7,c= 3,则 B=________.
解析:由余弦定理的推论,得 cos B=a2+2ca2c-b2=- 23,所以 B=150°.
答案:150°

类型 1 已知两边及其一角解三角形

[典例 1] (2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cosC2= 55, BC=1,AC=5,则 AB=( )

A.4 2

B. 30

C. 29

D.2 5

解析:本题考查倍角公式和余弦定理.

因为 cos C=2cos2C2-1=2×15-1=-35, BC=1,AC=5,

所以 AB= BC2+AC2-2BC·AC·cos C= 1+25-2×1×5×???-35???=4 2.
答案:A

归纳升华 已知三角形的两边及其夹角解三角形
1.利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种 思路:一是利用余弦定理的推论求出其余角,二是利用正 弦定理(已知两边和一边的对角)求解.
2.用正弦定理求解时,需根据“大边对大角”对角 的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题[因为 在(0,π)上,余弦值对应的角是唯一的],故用余弦定理 求解较好.

[变式训练] 在△ABC 中,a=2 3,c= 6+ 2,B =45°,解这个三角形.
解:根据余弦定理得, b2=a2+c2-2accos B=(2 3)2+( 6+ 2)2-2×2 3 ×( 6+ 2)×cos 45°=8,所以 b=2 2. 又因为 cos A=b2+2cb2c-a2= 8+2(×26+2×2()26-+(22)3)2=12, 所以 A=60°,C=180°-(A+B)=75°.

类型 2 已知三边解三角形

[典例 2] (1)已知△ABC 的三边长为 a=2 3,b=2 2,

c= 6+ 2,求△ABC 的各角度数;

(2)已知△ABC 的三边长为 a=3,b=4,c= 37,求△

ABC 的最大内角.

解:(1)由余弦定理得:

cos A=b2+2cb2c-a2=

(2

2)2+( 6+ 2×2 2×(

2)2-(2 6+ 2)

3)2=12,

所以 A=60°.

cos B=a2+2ca2c-b2=

(2

3)2+( 6+ 2×2 3×(

2)2-(2 6+ 2)

2)2= 22,

所以 B=45°,所以 C=180°-A-B=75°.

(2)因为 c>a,c>b,所以角 C 最大.

由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C,

即 37=9+16-24cos C,

所以 cos C=-12,

因为 0°<C<180°,所以 C=120°.

所以△ABC 的最大内角为 120°.

归纳升华 1.已知三角形三边求角时,可先利用余弦定理求角, 再用正弦定理求解.在用正弦定理求解时,要根据边的 大小确定角的大小,防止产生增解或漏解. 2.若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性 质引入 k,从而转化为已知三边解三角形.

[变式训练] 在△ABC 中,已知 BC=7,AC=8,AB =9,试求 AC 边上的中线长.
解:由余弦定理和条件得 cos A=AB2+2·AABC·A2-CBC2= 922+×892×-872=23,
设中线长为 x,由余弦定理得 x2=???A2C???2+AB2-2·A2C·ABcos A=42+92-2×4×9 ×23=49, 所以 x=7.所以所求 AC 边上的中线长为 7.

类型 3 利用正、余弦定理判断三角形形状 [典例 3] 在△ABC 中,若(a-c·cos B)·sin B=(b- c·cos A)·sin A,判断△ABC 的形状. 解:法一(角化边) 因为(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A, 所以由正、余弦定理可得: ????a-c·a2+2ca2c-b2????·b=????b-c·b2+2cb2c-a2????·a,

整理得:(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2, 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以 a2+b2-c2=0 或 a2=b2. 所以 a2+b2=c2 或 a=b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 法二(边化角) 根据正弦定理,原等式可化为:(sin A -sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A, 即 sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A.

因为 sin C≠0, 所以 sin Bcos B=sin Acos A. 所以 sin 2B=sin 2A. 所以 2B=2A 或 2B+2A=π, 即 A=B 或 A+B=π2. 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

归纳升华 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需 要从“统一”入手,即使用转化的思想解决这类问题.一 般有两条思考路线:①化边为角,再进行三角恒等变换, 求出角的大小或角的正、余弦值.②化角为边,再进行代 数恒等变换,求出三条边之间的关系式. 2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论: (1)△ABC 为直角三角形?a2=b2+c2 或 b2=a2+c2 或 c2=a2+b2.

(2)△ABC 为锐角三角形?a2+b2>c2 且 b2+c2>a2 且 c2+a2>b2.
(3)△ABC 为钝角三角形?a2+b2<c2 或 b2+c2<a2 或 c2+a2<b2.

[变式训练] 在△ABC 中,若 B=60°,2b=a+c, 试判断△ABC 的形状.
解:法一 根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 因为 B=60°,2b=a+c, 所以????a+2 c????2=a2+c2-2accos 60°, 整理得(a-c)2=0,所以 a=c. 又因为 2b=a+c,所以 2b=2c,即 b=c. 所以△ABC 是等边三角形.

法二 根据正弦定理,2b=a+c 可转化为 2sin B= sin A+sin C.
又因为 B=60°,所以 A+C=120°. 所以 C=120°-A, 所以 2sin 60°=sin A+sin(120°-A), 整理得 sin(A+30°)=1,所以 A=60°,C=60°, 所以△ABC 是等边三角形.

1.余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律,勾 股定理是余弦定理的特殊情形.
2.余弦定理的应用范围是: (1)已知三边求三角. (2)已知两边及一个内角,求第三边及其他两个角. 3.已知两边及其中一边所对角,用余弦定理时可能 有两个解,注意用三边长度关系特点进行取舍. 4.注意数形结合数学思想的运用.


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