版高中数学第二章推理与证明222反证法学案新人教B版选修1 2(数学教案)

2.2.2 明目标、知重点 反证法 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会 用反证法证明数学问题. 1.反证法的定义 一般地,由证明 p? q 转向证明:綈 q? r? …? t,t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而 判定綈 q 为假,推出 q 为真的方法,叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、 公式、定义或已被证明了的结论矛盾,或与公认的简单事实矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下 结论词 反设词 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 (不存在) 只有一个 没有或至 少有两个 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立 一定是 不一定是 至少有 n 个 至多有 (n-1)个 至多有 n 个 至少有 (n+1)个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 p或q 綈 p 且綈 q p且q 綈 p 或綈 q [情境导学] 王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一 哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王 戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这 树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.” 这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述, 运用的方法即是本节课所要学的方法——反 证法. 探究点一 反证法的概念 思考 1 结合情境导学描述反证法的一般模式是什么? 1 答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定,即“李子苦”),(2)以此为条件,经过正确 的推理, 最后得出一个结论(“早被路人摘光了”), (3)判定该结论与事实(“树上结满李子”) 矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法称为反证法. 思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况? 答 (1)与假设矛盾; (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾; (3)与公认的简单事实矛盾. 思考 3 反证法主要适用于什么情形? 答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或 很少的几种情形. 探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例 1 已知直线 a,b 和平面 α ,如果 a?α ,b? α ,且 a∥b,求证:a∥α . 证明 因为 a∥b, 所以经过直线 a,b 确定一个平面 β . 因为 a?α ,而 a? β ,所以 α 与 β 是两个不同的平面. 因为 b? α ,且 b? β ,所以 α ∩β =b. 下面用反证法证明直线 a 与平面 α 没有公共点. 假设直线 a 与平面 α 有公共点 P,如图所示, 则 P∈α ∩β =b,即点 P 是直线 a 与 b 的公共点, 这与 a∥b 矛盾.所以 a∥α . 反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法 极少, 宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路, 即一个命题的结论如果难以直接 证明时,可考虑用反证法. 跟踪训练 1 如图,已知 a∥b,a∩平面 α =A.求证:直线 b 与平面 α 必相交. 证明 假设 b 与平面 α 不相交,即 b? α 或 b∥α . ①若 b? α ,因为 b∥a,a?α ,所以 a∥α , 这与 a∩α =A 相矛盾; 2 ②如图所示,如果 b∥α , 则 a,b 确定平面 β . 显然 α 与 β 相交, 设 α ∩β =c,因为 b∥α , 所以 b∥c.又 a∥b, 从而 a∥c,且 a?α ,c? α , 则 a∥α ,这与 a∩α =A 相矛盾. 由①②知,假设不成立,故直线 b 与平面 α 必相交. 探究点三 用反证法证明否定性命题 例 2 求证: 2不是有理数. 证明 假设 2是有理数.于是,存在互质的正整数 m,n, 使得 2= ,从而有 m= 2n,因此 m =2n , 所以 m 为偶数.于是可设 m=2k(k 是正整数),从而有 4k =2n ,即 n =2k , 所以 n 也为偶数.这与 m,n 互质矛盾. 由上述矛盾可知假设错误,从而 2不是有理数. 反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时, 由于此类问题的反面比较具体,适于应用反证法. 跟踪训练 2 已知三个正数 a,b,c 成等比数列,但不成等差数列,求证: a, b, c不 成等差数列. 证明 假设 a, b, c成等差数列,则 2 2 2 2 m n 2 2 a+ c=2 b,即 a+c+2 ac=4b, 而 b =ac,即 b= ac,∴a+c+2 ac=4 ac, ∴( a- c) =0.即 a= c, 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 a, b, c不成等差数列. 探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明 例 3 若函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个 实根. 3 2 2 证明 假设方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至少有两个实根,设 α 、β 为其中的两个实根.因 为 α ≠β ,不妨设 α <β ,又因为函数 f(x)在[a,b]上是增函数,所以 f(α )<f(β ).这与 假设 f(α )=0=f(β )矛盾,所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多有一个实根. 反思与感悟 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等 字样时,常用反证法来证明,用反证法证明时,注意准确写出命题的假设. π π π 2 2 2 跟踪训练 3 若 a,b,c 均为实数,且

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