专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选填题高端精品(解析版)

一.方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题,难度较大,求数列与函数、不等式相结合问 题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌 握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、 数列性质的综合问题、数列与函数的综合问 题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题 进行分析. 二.解题策略 类型一 数列中的恒成立问题 【例 1】【 2018 河南省豫南豫北联考二】数列 ?an ? 满足 a1 ? a ?1 6 , an ? n?1 n ? N * ,若对 n ? N * ,都 5 an ? 1 ? ? 有k ? A. 3 1 1 ? ? a1 a2 B. 4 ? 1 成立,则最小的整数 k 是( ) an D. 6 C. 5 又对 n ? N ,都有 k ? * 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 成立 , an ∴ k ? 5 .故最小的整数 k 是 5.选 C. 【答案】C 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题,仍要转化为求最值的问题求解,解答本题的关键是如何对 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 1 1 1 求和,根据题目的条件经过变形得到 ,可利用列项相消求和,在求 ? ? an an an ? 1 an ?1?1 得数列和的基础上可得到 k 的取值范围,解题时要注意等号是否可以取得.学&科网 【举一反三】【2017 陕西洛南永丰中学高三月考】已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ,其前 n 项和为 Sn ,且满 足 Sn ? Sn?1 ? 4n A. ? 3,5? 2 ? n ? 2, n ? N? ? ,若对任意 n ? N? , an ? an?1 恒成立,则 a 的取值范围是( C. ?3,5? D. ? 4,6 ? ) B. ? 4, 6 ? 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例 2】【辽宁省葫芦岛第六高级中学 2018 届高三上学期第二次阶段(期中)】已知数列 ?an ? 的前 n 项 和 Sn , a1 ? 0 且 a2 an ? S2 ? Sn ,对一 切正整数 n 都成立,记 ? 的最大值为( ) ?1? ? 1? ? 的前 n 项和为 Tn ,则数列 ?Tn ? ? 中 Tn ? ? an ? ? A. 2 2 B. ? 2 2 C. 2 D. ? 2 当 n 为奇数时, Tn 随 n 的增大而增大,所以 T1 =- 2 ? 1 ? Tn ? ? 2,??2 ? Tn ? 1 2 ?? Tn 2 当 n 为偶数时, Tn 随 n 的增大而减小,所以 ? 2 ? Tn ? T1 ? ? 2 2 1 2 ,?? ? Tn ? ? 2 2 Tn 2 综上,当 n ? N 时,总有 ?2 ? Tn ? * 1 2 ? Tn 2 故选 A 学&科网 【答案】A 【指点迷津】本题 利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项, 在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力,其中根据 n 的奇偶判断 Tn 的单调性是解题的关键 【举一反三】 【2017 届安徽省宣城市高三下学期第二次调研】 设数列 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和, 若 S1 ? 13 , S4 ? 10 , S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为( A. 3 B. 4 C. ?7 D. ?5 ) 【答案】B 类型三 数列性质的综合问题 【例 3 】【福建省福州市闽侯第六中学 2018 届高三上学期期中考试】若数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 且 ?8? an ? an ?1 ? 2n ? 1 n ? N * , n ? 2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? an ? 1 ? an?1 ? 1 ? ? ? ? 11 ? ? ? n ?1 ,则数列 ?bn ? 的最大项 为第__________项. * 【 解 析 】 由 a1 ? 0 , 且 an ? an ?1 ? 2n ? 1 n ? N , n ? 2 ? ? , 得 an ? an?1 ? 2n ?1? n ? 2? , 则 a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1a ,3 ? a2 ? 2 ? 3 ? a 14 , a3 ? ? 2 , ? 4 ? 1a ,n . ?. an.?1 ? 2n ?1? n ? 2? , 累 加 得 , n ?1 an ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? ? ? n ? 1? ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 1? ? n ? 1 ? n2 ? 1 2 ?8? ?bn ? an ? 1 ? an?1 ? 1 ? ? ? ? 11 ? n ?1 ?8? ? n ? ? n ? 1? ? ? ? ? 11 ? 2 2 n?2 n ?1 ?8? ? n ? n ?? ? ? 11 ? ? 2 ? ,由 { bn ? bn ?1 bn ? bn ?1 ,得 ? { ?8? n ? n ?? ? ? 11 ? 2 ? n ?1 ?8? ? n ? n ?? ? ? 11 ? ? 2 ? ?n 2 ?8? ? n ?? ? ? 11 ? ? n ?1 ?8? ? n 2 ? 3n ? 2 ? ? ? ? 11 ? ? ? n ,即 16 19 ?n? , 3 3 n ? N * ,? n ? 6,?数列 ?bn ? 的最大项为 第 6 项,故答案为 6 .学&科网 【答案】6 【指点迷津】本题主要考查已知数列的递推公式求通项以及数列最大项问题,属于难题题 .由数列的递推 公式求通项常用的方法有:(1)累加法(相邻两项的差成等差、等比数列);累乘法(相邻两项的积为 特殊数列); (

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