安徽省安庆一中高二数学人教A版选修2-1课件:2.1.2 求曲线的方程(共25张ppt)_图文

2.1.2 求曲线的方程 “天宫一号”运行要经过两次轨道控制, 从入轨时的椭圆轨道进入近圆轨道. 在这里我们必须要知道“天宫一号”运行的轨 道(轨迹),那么科学家们是如何进行计算的呢? 接下来我们就来探究一下轨迹方程的求法. 1.理解坐标法的作用及意义. 2.掌握求曲线方程的一般方法和步骤,能根据所给 条件,选择适当坐标系.(重点、难点) 探究 求曲线的方程的步骤 上一节,我们已经学习了曲线的方程与方程的曲 线的概念.利用这两个重要概念,就可以借助于坐标 系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的 集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x, y)所满足的方 程f(x, y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性质. 问题1:解析几何与坐标法. 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法 叫做坐标法. 在数学中,用坐标法研究几何图形 的知识形成的学科叫做解析几何.因此,解析几 何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 问题2:平面解析几何研究的两个基本问题. (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过曲线的方程,研究平面曲线的性质. 【例1】设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程. 解析:设点M(x,y)是线段AB的垂直平分 线上的任意一点,也就是点M属于集合 P ? { M MA ? MB }. 由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为 (x ? 1) ? (y ? 1) ? (x ? 3) ? (y ? 7) . 上式两边平方,并整理得 2 2 2 2 x+2y-7=0. ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平分线上每一 点的坐标都是方程①的解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解,即 x1+2y1-7=0, x1=7-2y1. 点M1到A,B的距离分别是 M 1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1) 2 ? (8 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13); M1 B ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7 )2 ? ( 4 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 7)2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13). 所以 M1 A ? M1B , 即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线 的方程. 由上述例子可以看出,求曲线的方程,一般有下面 几个步骤: (1)建系设动点:建立适当的坐标系,用有序实数对 (x,y)表示所求曲线上任意一点M的坐标;(求谁设谁) (2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合 P={M|p(M)}; (3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 曲线上. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的, 步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当 予以说明. 另外,也可以根据情况省略步骤(2), 直接列出曲线方程. 【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到l 的距离是2.一条曲线也在l的上方,它上面的每一 点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的 坐标系,求这条曲线的方程. 分析:在建立坐标系时,一般应当充分 利用已知条件中的定点、定直线等, 这样可以使问题中的几何特征得到更好的 表示,从而使曲线方程的形式简单一些. 解:如图,取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线 为y轴, 建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上任意一点,作MB⊥x轴, 垂足为B,那么点M属于集合 P ? { M MF ? MB ? 2}. 由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为 x 2 ? ( y ? 2 )2 ? y ? 2, ① 将①式移项后两边平方,得 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 , 1 2 化简得 y? x . 8 因为曲线在x轴的上方,所以y>0.虽然原点O的坐 标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所 以曲线的方程应是 1 2 y ? x( x ? 0) . 8 【提升总结】 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法, 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础; 同时,根据曲线上的点应适合的条件列出等式, 是求曲线方程的重要环节,严格按步骤解题是基 本能力. 【变式练习】 两个定点的距离为6,点 M 到这两个定点 的距离的平方和为26,求点 M 的轨迹方程 . 解:如图建立坐标系,设两定点 A(-3,0),B(3,0),动点M(x , y ), 则|MA| ?|MB| ? 26 , 即 2 2 y A ?3 M B O (x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 26, 2 2 2 2 3 x 化简得 x ? y ? 4. 2 2 【提升总结】 建立适当坐标系的基本原则: (1)定点、定线段常选在坐标轴上; (2)原点有时选在定点; (3)充分利用对称性,坐标轴可选为对称轴. 另外注意:坐标系不同虽曲线形状一样其方程 却不同;要注意选择几何图形与坐标系的适当 相对位置,以简化方程形式. 1.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0),B(-4,0),则圆C的方程为 _______. 答案:(x+3)2+(y-2)2=5 2.在△ABC中,B,C 坐标分别为(-3,0), (3,0),且三角形周长为16,则点A的轨迹方 程是_______________________________. x y 答案: + = 1(x≠±5) 25 16 2 2 3.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(

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