2011版高中数学二轮专题复习学案-专题七_第四讲_转化与化归思想

专题七:思想方法专题
第四讲
【思想方法诠释】
数学问题的解答离不开转化与化归,它既是一种数学思想,又是一种数学能力,是高考重点考查的最重要的思 想方法.在高中数学的学习中,它无个不在,比如:处理立体几何问题时,将空间问题转化到一个平面上解决;在 解析几何中,通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题;复数问题化归为实数问题等. 1.转化与化归的原则 (1)目标简单化原则:将复杂的问题向简单的问题转化. (2)和谐统一性原则:即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形关系上趋于统一的方向 进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当. (3)具体化原则:即化归言论自由应由抽象到具体. (4)低层次原则:即将高维空间问题化归成低维空间问题. (5)正难则反原则:即当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题 获解. 2.转化与化归常用到的方法 (1)直接转化法:把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转 化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (5)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径. (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题. (8)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的. (9)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即命题的结论加强为原命题 的充分条件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,比如在证明不等式时:原命题往往难以得证,这时常把 结论加强,使之成为原命题的充分条件,从而易证. (10)补集法:如果下面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而包含该问题的整体问题的结果类 比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 使原问题得以解决.

转化与化归思想

【核心要点突破】
要点考向 1:函数、方程、不等式之间的转化
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例 1:已知函数 f(x)=x2+2x+alnx.或函数 f(x)在区间(0,1]上为单调增函数,求实数 a 的取值范围. 思路精析:单调增函数→不等式恒成立→分离参数→求函数最值→实数 a 的范围 解析:
2

∵f(x)在区间(0,1]上为单调增函数.∴f ’(x)≥0 在(0,1]上恒成立.

亦即:a≥-(2x +2x) 在(0,1]上恒成立,



在(0,1]上为单调递减,

∴当 a≥0 时,f(x)在区间(0,1]上为单调增函数 注:函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟” ,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题 需要 方程,不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系化 为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 要点考向 2:正面与反面的转化 例 2:有 9 张卡片分别写着数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,甲、乙二人依次从中抽取一张卡片(不放回) , 试求: (1)甲抽到写有奇数数字卡片,且乙抽到写有偶数数字卡片的概率. (2)甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率. 思路精析: (1)甲、乙二人依次各抽一张的可能结果→甲抽到含奇数,乙抽到含偶数数字卡片的结果→求概率. (2)找对立事件→求对立事件 概率→求出原事件概率. 解答: (1)甲、乙二人依次从九张卡 片中各抽取一张的可能结果有 抽到写有偶数数字卡片的结果有 则 ,甲抽到写有奇数数字卡片,且乙

种,设甲抽到写有奇数数字卡片,且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为 P1,

(2)设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字的概率为 P2,甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为 两人均抽到写有偶数数字卡片.设为 ,

则 注:一般地,一个题目若出现多种成立的情况,则不成立的情况一般较少,宜从反而考虑,多使用于“至多” “至少”这种情形. 要点考向 3:命题的等价转化

例 3:已知 f(x)为定义在实数 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数.当

时,是否存在这样的

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实数 m,使 适合条件的实数 m;若不存在,请说明理由. 思路精析:由奇偶性及单调性→f(x)单调性→ 关于 范围.

对所有的

均成立?若存在,求出所有

的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m 的

解析:由 f(x)是 R 上的奇函数可得 f(0)=0.又在[0,+∞)上是增函数,故 f(x)在 R 上为增函数.由题设条件可得 又由 f(x)为奇函数, 可得 ∵f(x)在 R 上为增函数,∴ 即

.令 等式 t -mt+2m-2>0 恒 成立.
2

于是问题转化为对一切 0≤t≤1,不

又 ∴存在实数 m 满足题设的条件, 注:根据问题的特点转化命题,使原问题转化为与之相关,易于解决的新问题,是我们解决数学问题的常用思 路,常见的有: (1)在三角函数中,涉及到三角式的变形,一般通过转化与化归将复杂的三角 问题转化为已知或易解的三角 问题,以起到化暗为明的作用,主要的方法有公式化的“三用” (顺用、逆用、变形用) 、角度的转化、函数的转化 等. (2)换元法:是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一 种重要方法. (3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数, 平面几何、解析几何语言进行转化. (4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解. (5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值) 、切线问题,转化为其导函数 f ’(x)构成的 方程、不等问题求解. (6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化. (7)实际问题与数学模型之间的转化.

【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.若复数 (1 ? bi) ? (2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ?
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A. ?2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.2

2 . 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 像 关 于 点 (1,0) 对 称 , 若 x, y 满 足

f ( x2 ? 6x ? 21) ? f ( y 2 ? 8 y)<0 ,则当 x >3 时, x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. (3,7) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)



x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 F 、F F b 3.已知 1 2 分别是双曲线 a 的左、右焦点,过 1 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于 A 、 B
两点,若 (A)

?ABF2 为锐角三角形,则双曲线的离心率的范围是(
(B)

) (D)

?1,1 ? 2 ?

?1 ?

2, ??

?

(C)

?1 ?

2,1 ? 2

?

?

2, 2 ? 1

?

4.将一个正方体截去四个角得到一个四面体 BDA1C1,这个四面体的体积是正方体体积的 ( )

5.对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,如果点 P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( (A)(-∞,0) (B)(-∞,2] (C)[0,2] (D)(0,2)



6 . 设 e1 , e2 分 别 为 具 有 公 共 焦 点 F1与F2 的 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 , P 为 两 曲 线 的 一 个 公 共 点 , 且 满 足

PF1 ? PF2 ? 0, 则

1 1 ? 2 2 e1 e2 的值为
3 B. 2





A.2

C.4

5 D. 2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7. 有且只有一个元素时,a、b 满足的关系式是 8. 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是_______. 9.如图,三棱锥 P—ABC 中,各条棱的长都是 2,E 是侧棱 PC 的中点,D 是侧棱 PB 上任一点,则△ADE 的最小周长为_____. ,当 A∩B

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三、解答题(10、11 题每题 15 分,12 题 16 分,共 46 分) 10.已知向量 m=(1,1),向量 (1)求向量 (2)若向量 ; 与向量 + =(1,0)的夹角为 ?的取值范围。 ,向量 =(c osA,2cos2 ),其中 A、C 为?ABC 的内角,且 A、B、C 依次成 与向量 夹角为 ,且 · =-1,

等差数列,试求?

11. 已知可行域

的外接圆 C 与

轴交于点 A1、 A2, 椭圆 C1 以线段 A1A2 为短轴, 离心率

(Ⅰ)求圆 C 及椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过 椭圆 C1 上一点 P(不在坐标轴上)向圆 C 引两条切线 PA、PB、A、B 为切点,直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于点 M、N.求△MON 面积的最小值. (O 为原点) .

12.设函数 (Ⅰ)当 曲线 处的切线斜率

(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 有三个互不相同的零点 0, ,且 。若对任意的 , 恒成

立,求 m 的取值范围。

参考答案
1.A 2.C 3.A 4.解析:选 B.设正方体棱长为 a,则

5.

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6.A

7.解析:A∩B 有且只有一个元素可转化为直线

与圆

相切,故

8. 【解析】不等式 x2+mx+4<0 在(1,2)恒成立,

又 x∈(1,2)∴g′(x)>0,∴g(x)在(1,2)为单调增函数,∴m≤-5.答案:m≤-5 9. 【解析】把空间问题化归成平面问题,是立体几何中化归思想最重要的内容.有这种思想作指导,结合题干图,由于

AE 是定长:

故只要把侧面 PAB、PBC 展平,那么当 A、D、E 三点共线时的 AE 长,即 AD+DE 的值最小.

在如图所示的△AEP 中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,故依余弦定理有 AE2=22+12-2·2·1·cos120°=7,所以 AE= 于是得△AED 的最小周长为 .答案:

,

10.解析:(1)设

=(x,y)

则由<

,

>=

得:cos<

,

>=

=



由 (2) ∵<

· ,

=-1 得 x+y=-1 ②联立①②两式得 >= 得 · =0 若 ?B= =(1,0)则 ∴C= ·

或 =-1?0 故 +



=(0,-1)或(-1,0) =(0,-1) ) =(cosA,cosC)

?(-1,0) ∴

∵2B=A+C,A+B+C=?

=(cosA,2co s2

∴?

+

?=

=

=

=

=

=
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=

∵0<A<

∴0<2A<

∴-1<cos(2A+

)<

∴? 及点

+

??(

) 为顶点的三角形,∵ ,∴

11.解析: (Ⅰ)由题意可知,可行域是以 为直角三角形, ┅┅┅┅┅┅┅2 分

∴外接圆 C 以原点 O 为圆心,线段 A1A2 为直径,故其方程为



∵2b=4,∴b=2.又

,可得

.∴所求椭圆 C1 的方程是

. ┅┅┅4 分

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

,OA 的斜率为

,则 PA 的斜率为

,则 PA 的方程为:

化简为: 同理 PB 的方程为

, ┅┅┅┅┅┅┅6 分

又 PA、PB 同时过 P 点,则 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4, ∴AB 的直线方程为:x0x+y0y= 4 ┅┅┅┅┅┅┅8 分

(或者求出以 OP 为直径的圆,然 后求出该圆与圆 C 的公共弦所在直线方程即为 AB 的方程)

从而得到



所以

┅┅8 分

当且仅当

.

┅┅┅┅┅┅┅12 分

(或者利用椭圆的参数方程

、函数求最值等方法求

的最大值)

12.解析:当 所以曲线 (2) 因为 当 x 变化时, 的变化情况如下表: 处的切线斜率为 1. ,令 ,得到

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+

0

-

0

+

极小值

极大值





内减函数,在

内增函数。

函数



处取得极大值

,且

=

函数



处取得极小值

,且

=

(3)由题设,

所以方程

=0 由两个相异的实根

,故

,且

,解得

因为

若 若 则对任意的 有

,而

,不合题意





,所以函数



的最小值为 0,于是对任意





恒成立的充要条件是

,解得

综上,m 的取值范围是

【备课资源】

1.设椭圆 圆的离心率为 ( )

的半径焦距为 c,直线 过(0,a)和(b,0),已知原点到 的距离等于

,则椭

解析:选 B.由已知得:[
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2.某小组共 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为(



解析:选 B.利用正难则反转化:

3.从双曲线

的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2 的切线 l,切点为 T,且 l 交双曲线的右支于点 P, )

若点 M 是线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|OM|-|TM|等于(

4.已知 a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l 是曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线. (1)求 l 的方程; (2)若切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点,求 a 的值; (3)证明:对于任意的 a=n(n∈N*),函数 y=f(x)总有单调递减区间,并求出 f(x)的单调递减区间的长度的取值范围. (区间[x1,x2]的长度=x2-x1) 【解析】(1)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.

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∴f′(0)=-1, 即切点 P(0,1),l 斜率为-1,∴切线 l 的方程:y=-x+1. (2)切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点等价于方程 ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1, 即 ax2-x+ln(x+1)=0 有且只有一个实数解.令 h(x)=ax2-x+ln(x+1), 则方程 h(x)=0 有且只有一个实数解.∵h(0)=0,∴方程 h(x)=0 有一解 x=0.

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5.设函数 f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a. (1)当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (3)是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出 m 的值,若不存在, 说明理由.

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