江西省丰城中学、樟树中学、高安中学2011-2012学年高二上学期期末联考数学(理)试卷

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江西省丰城中学、樟树中学、高安中学 2011-2012 学年高二 上学期期末联考数学(理)试卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若直线 l1 : y ? k ? x ? 4? 与直线 l 2 关于点 (2,1) 对称,则直线 l 2 恒过定点( A. (0, 4) B. (0, 2) C. (- 2, 4) D. (4, - 2) )

2.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每 天做作业的时间为 x 分钟.有 1000 名小学生参加了此项调查,调查 所得数据用程序框图处理,若输出的结果是 680,则平均每天做作 业的时间在 0~60 分钟内的学生的频率是 A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm , 则球的表面积是( ) A. 8? cm
2

开始 T = 1, S = 0 输入x x ≤ 60?


S = S+ 1


T = T+ 1

B. 12? cm
2

2

否 T > 1000? 是
输出S 结束

C. 16? cm

D. 20? cm

2

4.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足

PF1 : F1F2 : PF2
1 3 或 2 A. 2

=4:3:2,则曲线 r 的离心率等于(



2 B. 3 或 2

1 或 C. 2 2

2 3 或 2 D. 3

5.一只蚂蚁在边长为 3 的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于的地 方的概率是( ) A.

? 9

B。

4 9

C。1-

? 9

D。

5 9


6.下列四个命题中,真命题的个数为 ①随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值; ②任意事件 A 发生的概率 p(A)总满足 0<p(A)<1; ③互斥事件一定是对立事件,对立事件也一定是互斥事件; ④一枚硬币连掷三次,则出现两正一反的概率为



1 4

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A.0 B.1

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C.2 D.3

7.已知两条不同直线 a 、 b ,两个平面 ? , ? ,且 ? // ? , a ⊥ ? ,设命题 p: b // ? ; 命题 q: a ? b ,则 p 是 q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ( ) D.既不充分也不必要条件

8.有五条线段长度分别为 1,3,5,7,9 ,从这 5 条线段中任取 3 条,则所取 3 条线段能构成一 个三角形的概率为( A. ) B.

1 10

1 2

C.

3 10

D.

7 10

9.在正四面体 P-ABC 中,M 为 ? ABC 内(含边界)一动点,且到三个侧面 PAB,PBC,PCA 的距离成等差数列,则点 M 的轨迹是( ) A.一条线段 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 10.已知点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上 16 9

一点, F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,

I 为 ?PF1F2 的内心,若 S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? ?S ?IF1F2
成立,则 ? 的值为 A.

5 8

B.

4 5

C.

4 3

D.

3 4

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其 平均数为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有 列) 12.下列程序是求一个函数的函数值的程序: INPUT x IF x<=0 THEN y=-x ELSE IF x>0 AND x<=1 THEN y=0 ELSE y=x-1 END IF END IF PRINT y END 若执行的结果为 3,则输入的 x 值为 . 。 (用“) ”将 a,b,c 从大到小排

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13.若 A(0, 2,

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19 5 5 ) , B (1, ?1, ) , C ( ?2,1, ) 是平面 ? 内的三点,设平面 ? 的法向量 8 8 8

? a ? ( x, y, z ) ,则 x : y : z ? _______________。
14.已知抛物线 C: y ? 4 x ,弦 AB 的中点 P 到 y 轴的距离为 2,则弦 AB 的长的最大值为
2

。 15.给出以下命题:①命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? 0 ” ; ②若 n ? ? , m∥n, 则 m∥ ? ; ③设圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 与坐标轴 4 个交点, 分别为 A( x1 ,0) , ( x2 , 0) , (0, y1 ) , B C
2 2

D(0, y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ;

④“ m ? ?2 ”是“直线 (m ? 2) x ? my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直” 的必要不充分条件。 其中真命题是: (写出所有你认为正确的命题序号)

三 。本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 c ? 0 ,设 p : y ? c x 在 R 上单调递减, q : g ( x) ? ln(2cx2 ? 2x ? 1) 的值域为 R, 如果“ ? p 或 ? q ”为真命题, p 或 q ”也为真命题,求实数 c 的取值范围。 “

17.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC; D

E C A

·M

4 2 2 2 B 左视图 俯视图

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2

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2 2

18.已知 m∈R,直线 l:mx-(m +1)y=4m 和圆 C:x +y -8x+4y+16=0. (1)求直线 l 斜率的取值范围; 1 (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么? 2

19.某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
370

y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1) 求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3) 已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率.

20.如图,在直四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ,

?ABC ? 60?, BB1 ? BC ? 2, M 为 BC 中点,点 N 在 CC1 上。
(1)试确定点 N 的位置,使 AB1 ? MN ; (2)当 AB1 ? MN 时,求二面角 M ? AB1 ? N 的正切值。

21.设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

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江西省

丰城中学 樟树中学 高安中学

2013 届高二年级期末三校联考

理科数学答题卡
题号 得分 一 二 16 17 18

2012.1.10 三 19 20 21

座位号

总分

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共有 5 小题,每小题 5 分共 25 分.把答案填在题中横线上) 11. 12. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分

14. 15. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写在对应框内。) 16.解:

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17. 解:

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18. 解:

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19. 解:

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20.解:

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21.解:

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理科数学参考答案:

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一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 C 6 B 7 A 8 C 9 A 10 B

二、填空题(本大题共有 5 小题,每小题 5 分共 25 分.把答案填在题中横线上) 11.
c?b?a

12.

-3 或 4

13.

2 : 3: (?4)

14. 6 15. ①③ 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写在对应框内。)
16.解:? c ? 0, 若 p 为真,则 0〈c〈1;若 q 为真,则 ? ? 4 ? 8c ? 0,? c ? 又由已知,p、q 一真一假,故所求的 c 的取值范围为 ( ,1) 17、解:由题意知,EA ? 平面 ABC,DC ? 平面 ABC,AE∥DC,AE=2,DC=4, AB ? AC,且 AC=2。 (Ⅰ)∵EA ? 平面 ABC,∴EA ? AB,又 AB ? AC,∴AB ? 平面 ACDE ∴四棱锥 B—ACDE 的高 h ? AB ? 2 ,又梯形 ACDE 的面积 S=6 ∴ VB ? ACDE ?

1 ?6 分 2

1 2

1 Sh ? 4 3

????6 分

(Ⅱ)取 BC 的中点 G,连结 EM,MG,AG。∵M 为 DB 的中点,∴MG∥DC,且 MG=

∴MG∥AE,且 MG=AE,所以,四边形 AGME 为平行四边形,∴EM∥AG 又 EM ? 平面 ABC, AG ? 平面 ABC, ∴EM∥平面 ABC; ????12 分 m 4m m 18.解:(1)直线 l 的方程可化为 y= 2 x- 2 ,直线 l 的斜率 k= 2 , m +1 m +1 m +1 1 2 因为|m|≤ (m +1), 2 所以|k|= |m| 1 ≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立. m2+1 2 ????6 分

1 DC 2

1 1 所以斜率 k 的取值范围是[- , ]. 2 2 (2)不能. 1 由(1)知 l 的方程为 y=k(x-4),其中|k|≤ . 2 圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2. 圆心 C 到直线 l 的距离 d= 2 1+k
2

.

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1 4 r 由|k|≤ ,得 d≥ >1,即 d> . 2 2 5 2π 从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 . 3 1 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧. 2 19.解: (1)? ????12 分 ???4 分

x ? 0.19 2000

?

x ? 380

(2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 ? 500 ? 12 名 2000
由(2)知 y ? z ? 500 ,且

????8 分

(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z) ;

y, z ? N ,

基本事件空间包含的基本事件有: (245,255)(246,254)(247,253) 、 、 、??(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有: (251,249)(252,248)(253,247) 、 、 、(254,246)、 (255,245) 共 5 个 20.解:(1)连结 AM、AC、B1 M
? AM ? BC

?

P ( A) ?

5 11

???12 分

AB ? BC

?ABC ? 60? ? ?ABC 为正△ ?1 分

AM ? MN

?
面 ABCD ? 面 BCC1 B1

? MN ? 面 AB1 M ? MN ? B1 M 3 分
AB1 ? MN

? ?BB1 M ? ?NMC ?

NC BM 1 1 ? ? ? NC ? MC BB1 2 2

即点 N 的位置在线段 CC1 的四等分点且靠近 C 处 ???????????????6 分 (2)过 M 作 ME ? AB1 于 E ,连 NE 由(1)知 MN ? 面 AB1 M ? NE ? AB1 (三垂线定理) ∴ ?MEN 为二面角 M ? AB1 ? N 的平面角??9 分

MN ? MC 2 ? CN 2 ?

5 2

AM ? 3

B1 M ? 5

AB1 ? 2 2

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在 Rt?AB1 M 中, ME ?

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AM ? B1 M 30 ? AB1 4
MN 6 ????12 分 ? ME 3

在 Rt?MEN 中, tan ?MEN ?

21.解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? ? ? 1 ????5 分 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ??? ??? ? ? ? 且 OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , 金太阳新课标资源网
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 2

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
要 使 O A ?

? ? ??

? ? ?? O , 需 使 x1 x2 B ?

y1 ? 0 , 即 y2

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? m2 ? 2 3m2 ? 8 2 2 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 k ? ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 ,所以 8 ? 3m ? 8
2 2

2

m2 ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切 3 3 3

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m

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2

m2 m2 8 2 6 ? ? ,r ? 线,所以圆的半径为 r ? ,r ? ,所求的圆 2 2 2 3m ? 8 3 1? k 3 1? k 1? 8
为x ? y ?
2 2

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? ,而当切线的 3 3 3

斜率不存在时切线为 x ? ?

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( 与椭圆 ,? )或 8 4 3 3 3

(?

??? ??? ? ? 8 2 6 2 6 ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆 3 3 3 ??? ? ??? ?

的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

①当 k ? 0 时 | AB |?

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 32 32 1 ? ,所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 1 8 3 3 2 2 4k ? 2 ? 4 4k ? 2 ? 4 k k

所以

4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 金太阳新课标资源网 3 2

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3

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2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

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