《创新设计》 2017届二轮专题复习 江苏专用 数学理科 WORD版材料 填空题综合限时练


限时练(一)
(建议用时:40 分钟) 1.若 a+bi= 5 (i 是虚数单位,a,b∈R),则 ab=________. 1+2i 5 =1-2i,所以 a=1,b=-2,ab=-2. 1+2i

解析 a+bi= 答案 -2

2.在区间[20,80]内任取一个实数 m,则实数 m 落在区间[50,75]内的概率为 ________. 解析 选择区间长度度量,则所求概率为 5 答案 12 3.已知平面向量 a=(2,4),b=(1,-2),若 c=a-(a· b)b,则|c|=________. 解析 由题意可得 a· b=2×1+4×(-2)=-6, 所以 c=a-(a· b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),所以|c|=8 2. 答案 8 2 4.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B∩A=B,则实数 m 的取值范围是________. 解析 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B∩A=B,则 B?A,如图所示. 75-50 5 = . 80-20 12

?m+1≥-2, 则?2m-1≤7, 解得 2<m≤4. ?m+1<2m-1,
综上,m 的取值范围为(-∞,4]. 答案 (-∞,4] 5.某地政府调查了工薪阶层 1 000 人的月工资收入, 并根据调查结果画出如图所示

的频率分布直方图,为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度,要采用分层抽 样的方法从调查的 1 000 人中抽出 100 人做电话询访,则(30,35](单位:百元)月 工资收入段应抽取________人.

解析 月工资收入落在(30,35](单位:百元)内的频率为 1-(0.02+0.04+0.05+ 0.05+0.01)×5=1-0.85=0.15,则 0.15÷ 5=0.03,所以各组的频率比为 0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01=2∶4∶5∶5∶3∶1, 3 所以(30,35](单位:百元)月工资收入段应抽取20×100=15(人). 答案 15 6.运行如图所示的伪代码,其结果为________. S←1 For I From 1 S←S+I End For Print S 解析 该伪代码输出的 S=1+1+3+5+7=17. 答案 17 π 7.在△ABC 中,设 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 a=5,A= 4 ,cos B= 3 ,则边 c=________. 5 4 解析 由题意可得 sin B=5,sin C=sin(A+B) π π 2 3 2 4 7 2 ?π ? =sin? +B?=sin 4 cos B+cos 4 sin B= 2 ×5+ 2 ×5= 10 . 4 ? ? To 7 step 2

a c asin C 在△ABC 中,由正弦定理可得sin A=sin C,则 c= sin A = 答案 7

7 2 5× 10 =7. 2 2

8.已知数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列, 则 q=________. 解析 法一 因为数列{an}是等差数列,所以 a1+1,a3+3,a5+5 也成等差数列.

又 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列, 所以 a1+1,a3+3,a5+5 是常数列,故 q=1. 法二 因为数列{an}是等差数列,所以可设 a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知 得(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5), 得 d2+4d+4=0,即 d=-2, 所以 a3+3=a1+1,即 q=1. 答案 1 9.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长均为 2,E 为棱 CC1 的中点,则三棱锥 A1- B1C1E 的体积为________. 1 解析 由题意得 S△A1B1C1=4× 3×22= 3,又因为 E 为棱 CC1 的中点,所以 1 3 EC1=1, 所以 V 三棱锥 A1-B1C1E=V 三棱锥 E-A1B1C1=3EC1· S△A1B1C1= 3 . 答案 3 3

x2 y2 10.设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在 9 一点 P 使得 PF1+PF2=3b,PF1·PF2=4ab,则该双曲线的离心率为________. 解析 由双曲线的定义得|PF1-PF2|=2a,又 PF1+PF2=3b,所以(PF1+PF2)2- (PF1-PF2)2=9b2-4a2,即 4PF1·PF2=9b2-4a2,又 4PF1·PF2=9ab,因此 9b2 ?b?2 ?b? -4a2=9ab,即 9?a? -9?a?-4=0, ? ? ? ? ?3b ??3b ? 则? a +1?? a -4?=0, ? ?? ?

1 b 4?b ? 解得a=3?a=-3舍去?, ? ? 则双曲线的离心率 e= 5 答案 3 11.若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 解析 因为 x2+2y2≥2 x2·2y2=2 2xy=2 2,当且仅当 x= 2y 时,取“=”, 所以 x2+2y2 的最小值为 2 2. 答案 2 2 ?b?2 5 1+?a? =3. ? ?

?1,x>0, 12.设函数 f(x)=?0,x=0, g(x)=x2f(x-1), 则函数 g(x)的递减区间是________. ?-1,x<0,
解析

?x ,x>1, 由题意知 g(x)=?0,x=1, 函数图象如图所示,其递 ?-x2,x<1,

2

减区间是[0,1). 答案 [0,1) 13.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上, → ·AF → =1,CE → ·CF → =-2,则 λ+μ=________. BE=λBC,DF=μDC.若AE 3 解析 如图所示, 以菱形 ABCD 的两条对角线所在直线为坐 标轴, 建立平面直角坐标系 xOy, 不妨设 A(0, -1), B(- 3, → =(1-λ)CB → =( 3λ- 0),C(0,1),D( 3,0),由题意得CE 3,λ-1), → =(1-μ)CD → =( 3- 3μ,μ-1). CF 2 → ·CF → =-2,所以 3(λ-1)· 因为CE (1 - μ ) + ( λ - 1)· ( μ - 1) =- 3 3, 1 即(λ-1)(μ-1)=3. → =AC → +CE → =( 3λ- 3,λ+1),AF → =AC → +CF → =( 3- 3μ,μ+1), 因为AE

→ → 又AE·AF=1,所以(λ+1)(μ+1)=2. 1 ? ?(λ-1)(μ-1)= , 3 整理得 λ+μ=5. 由? 6 ? ?(λ+1)(μ+1)=2, 5 答案 6 14.设 A(1,0),B(0,1),直线 l:y=ax,圆 C:(x-a)2+y2=1.若圆 C 既与线段 AB 有公共点,又与直线 l 有公共点,则实数 a 的取值范围是________. 解析 由于圆与直线 l 有交点,则圆心到直线的距离小于等于半径, 即有 a2 ≤1, 1+a2

? 1+ 5? ?; 所以 a2∈?0, 2 ? ? 由于圆 C 与线段 AB 相交, 则 a≤2 且 |a-1| ≤1, 2

?1- 2≤a≤ 2+1, 即? ?1- 2≤a≤2. ?a≤2 ? 综上可得,实数 a 的取值范围是?1- 2, ? ? 答案 ?1- 2, ? 1+ 5? ? 2 ? 1+ 5? ?. 2 ?

限时练(二)
(建议用时:40 分钟) 1.设集合 A={x||x|≤2, x∈R}, B={y|y=-x2, -1≤x≤2}, 则?R(A∩B)=________. 解析 由已知条件可得 A=[-2,2],B=[-4,0], ∴?R(A∩B)=(-∞,-2)∪(0,+∞). 答案 (-∞,-2)∪(0,+∞) 2.某中学为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一 天各自课外阅读所用时间的数据, 结果用下图的条形图表示.根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时.

解析 一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比,即 0×7+0.5×14+1.0×11+1.5×11+2.0×7 =0.97(小时). 50 答案 0.97 3.若复数 z 满足(1+2i)z=-3+4i(i 是虚数单位),则 z=________. -3+4i (-3+4i)(1-2i) 5+10i 解析 ∵(1+2i)z=-3+4i,∴z= = = 5 =1+ 1+2i (1+2i)(1-2i) 2i. 答案 1+2i 4.下图是某算法的流程图,则算法运行后输出的结果是________.

解析 由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)×1=1,n=n+1=2,依 次循环 s=(1+2)×2=6,n=3,注意此刻 3>3 仍然否,所以还要循环一次 s=(6 +3)×3=27,n=4,此刻输出 s=27. 答案 27 5.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的 5 个小球,这些小球除标注 数字外完全相同,现从中随机取 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________. 解析 从袋子中随机取 2 个小球共有 10 种不同的方法, 其中取出的小球标注的数 3 字之和为 3 或 6 的方法共有 3 种,因此所求的概率等于10.

3 答案 10 2π → ·AC → 的最小值为________. 6.在△ABC 中,BC=2,A= 3 ,则AB 解析 依题意得 a2=b2+c2-2bccos A, 4 → → 即 b2+c2+bc=4≥3bc,bc≤3,AB ·AC=bccos A 1 2 =-2bc≥-3,当且仅当 b=c= → ·AC → 的最小值是-2. 因此AB 3 2 答案 -3 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1)到直线 4x-3y-1=0 的距离为 4,且 点 P 在不等式 2x+y≥3 表示的平面区域内,则 m=________. ?|4m-4| ? =4, 解析 依题意得? 5 解得 m=6. ? ?2m+1≥3, 答案 6 π? 1 ? ?5π ? 8.已知 sin?α + ?=4,则 sin? -α?=________. 12 12 ? ? ? ? π? 1 π? 15 ? ? 解析 由 sin?α+ ?=4,得 cos?α+ ?=± 4 , 12? 12? ? ? π? 15 ?5π ? ? ?=cos?α+ ?=± . 所以 sin? - α 4 12? ? 12 ? ? 15 答案 ± 4 9.已知四棱锥 V ABCD,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,VA⊥平面 ABCD,且 VA=4,则此四棱锥的侧面中,所有直角三角形的面积的和是________. 1 1 解析 可证四个侧面都是直角三角形,其面积 S=2×2×3×4+2×2×3×5=27. 答案 27 x2 y2 10.已知双曲线 C:a2-b2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的 方程为________. 4 3时取等号,

解析 由焦距为 10 知,c=5,即 a2+b2=25,根据双曲线方程可知,渐近线方程 b 2 2 为 y=± ax,代入点 P 的坐标得,a=2b,联立方程组可解得 a =20,b =5,所以 x2 y2 双曲线方程20- 5 =1. x2 y2 答案 20- 5 =1 11.已知函数 y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率 k=(x0-3)(x0+1)2,则 该函数的单调递减区间为________. 解析 由导数的几何意义可知,f′(x0)=(x0-3)(x0+1)2≤0,解得 x0≤3,即该函 数的单调递减区间是(-∞,3]. 答案 (-∞,3] π 12.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,若 b=2 5,B= 4 , 5 sin C= 5 ,则 c=________,a=________. 5 2 5× 5 b c bsin C 解析 由正弦定理得sin B=sin C,所以 c= sin B = =2 2.由 c<b 得 C 2 2 2 5 <B,故 C 为锐角,所以 cos C= 5 ,sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C 3 10 2 5× 10 3 10 b a bsin A = 10 ,由正弦定理得sin B=sin A,所以 a= sin B = =6. 2 2 答案 2 2 6

13.已知函数 f(x)=x3-3a2x-6a2+3a(a>0)有且仅有一个零点 x0,若 x0>0,则 a 的取值范围是________. 解析 已知 f(x)=x3-3a2x-6a2+3a(a>0),则 f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a), ①若 f′(x)≥0 恒成立,则 a=0,这与 a>0 矛盾. ②若 f′(x)≤0 恒成立,显然不可能. ③若 f′(x)=0 有两个根 a,-a,而 a>0,则 f(x)在区间(-∞,-a)上单调递增, 在区间(-a,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,故 f(-a)<0,即 2a2

-6a+3<0,解得

3- 3 3+ 3 2 <a< 2 .

?3- 3 3+ 3? 答案 ? , 2 ? ? 2 ? 4 1 1 14.已知等比数列{an}的首项为3,公比为-3,其前 n 项和为 Sn,若 A≤Sn-S ≤B
n

对 n∈N*恒成立,则 B-A 的最小值为________. 4? 1?n? ?1-? - ? ? ? 3? ? 3? ? ? 1?n ?1?n ?-3? .当 n 为奇数时,Sn=1+?3? ∈ 解析 依题意得 Sn= = 1 - ? ? ? ? ? 1? 1-?-3? ? ? 4? ? ?1,3?; ? ? ?1?n ?8 ? 当 n 为偶数时,Sn=1-?3? ∈?9,1?. ? ? ? ? 1 1 ? 17 ? 由函数 y=x- x在(0,+∞)上是增函数得 Sn-S 的取值范围是?-72,0?∪ ? ? n 7? ? ?0,12?, ? ? 17 7 7 17 59 因此有 A≤-72,B≥12,B-A≥12+72=72, 59 即 B-A 的最小值是72. 59 答案 72

限时练(三)
(建议用时:40 分钟) 1.设全集 U={n|1≤n≤10,n∈N*},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}, 则(?UA)∩B=________. 解析 由题意,得 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故?UA={4,6,7, 9,10},所以(?UA)∩B={7,9}. 答案 {7,9} 4 2.不等式 ≤x-2 的解集是________. x-2 解析 ①当 x-2>0,即 x>2 时,不等式可化为(x-2)2≥4,所以 x≥4;

②当 x-2<0,即 x<2 时,不等式可化为(x-2)2≤4,所以 0≤x<2. 答案 [0,2)∪[4,+∞) 3.已知直线 l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a=-1”是“l1 ⊥l2”的________条件. 解析 若 a=-1,则 l1:x-3y-2=0,l2:-3x-y-1=0,显然两条直线垂直; 若 l1⊥l2,则(a-2)+a(a-2)=0, 所以 a=-1 或 a=2,因此“a=-1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 4.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调增区间是________. 解析 因为 f(x)=(x-3)ex,则 f′(x)=ex(x-2),令 f′(x)>0,得 x>2,所以 f(x)的 单调增区间为(2,+∞). 答案 (2,+∞) π 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= 6 ,a=1,b= 3, 则角 B=________. a b 解析 由正弦定理得sin A=sin B, 得 sin B= π bsin A 3 ?π 5π? ? , ?, = ,又因为 A = ,且 b > a ,所以 B ∈ a 2 6 6 ? ?6

π 2π 所以 B= 3 或 3 . 答案 π 2π 3或 3

6.执行如图所示的流程图,如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S 的取值范围为 ________.

解析 由流程图可知 S 是分段函数求值,
2 ?2t -2,t∈[-2,0), 且 S=? ?t-3,t∈[0,2],

其值域为(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6]. 答案 [-3,6] 7.若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”时真命题,则实数 a 的取值范围是________. ?a<0, 解析 当 a=0 时,不等式显然成立;当 a≠0 时,由题意知? 得 2 ?Δ=a +8a≤0, -8≤a<0.综上-8≤a≤0. 答案 [-8,0] 8.从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 b,则向量 m=(a,b)与向量 n=(1,-1)垂直的概率为________. 解析 由题意可知 m=(a,b)有(2,1),(2,3)(2,5),(3,1),(3,3),(3,5), (4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共 12 种情况.因为 m⊥n,即 m· n =0,所以 a×1+b×(-1)=0,即 a=b, 1 满足条件的有(3,3),(5,5),共 2 个.故所求的概率为6. 1 答案 6 9.已知正四棱锥底面边长为 4 2,体积为 32,则此正四棱锥的侧棱长为________. 解析 设正四棱锥的高为 h,底面正方形的边长为 a, 1 则 a=4 2,V=3a2h=32, 解得 h=3,所以此正四棱锥的侧棱长为 =5. 答案 5 10.已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,且圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称, 则圆 C2 的方程为________. 解析 C1:(x+1)2+(y-1)2=1 的圆心为(-1,1),所以它关于直线 x-y-1=0 对称的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆 C2 的方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 答案 (x-2)2+(y+2)2=1 11.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均 ? 2a?2 ? h2+? ? 2 ?

分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示,7 个剩余分数的方差为________. 8 9 7 7 4 0 1 0 x 9 1

解析 由题图可知去掉的两个数是 87,99,所以 87+90×2+91×2+94+90+x 1 =91×7,解得 x=4,所以 s2=7×[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94 36 -91)2×2]= 7 . 答案 36 7

12.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,an>0,若 S6-2S3=5,则 S9-S6 的最小值 为________. 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则由 an>0 得 q>0,Sn>0.又 S6-2S3=(a4+ 5 a5+a6)-(a1+a2+a3)=S3q3-S3=5,则 S3= 3 ,由 S3>0,得 q3>1,则 S9- q -1 5q6 5 1 1 1 S6=a7+a8+a9=S3q6= 3 = 1 1 ,令q3=t,t∈(0,1),则q3-q6=t-t2= q -1 - q3 q6 1? 1 1 1 1 ? 1?2 1 ? -?t-2? +4∈?0,4?,所以当 t=2,即 q3=2 时,q3-q6取得最大值4,此时 S9 ? ? ? ? -S6 取得最小值 20. 答案 20

?x+y-2≤0, 13.已知变量 x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解 ?2x-y+2≥0.
不唯一,则实数 a 的值为________. 解析 法一 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,

可知 A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则 zA=2,zB= -2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解 不唯一,只要 zA=zB>zC 或 zA=zC>zB 或 zB=zC>zA 即 可,

解得 a=-1 或 a=2. 法二 目标函数 z=y-ax 可化为 y=ax+z,令 l0:y=ax,平移 l0,则当 l0∥AB 或 l0∥AC 时符合题意,故 a=-1 或 a=2. 答案 -1 或 2 ?f(x),x>1, m 14.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=2x+2x,设 g(x)=? 若 ?f(-x),x≤1, 函数 y=g(x)-t 有且只有一个零点,则实数 t 的取值范围是________. 解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数可得 f(0)=1+m=0, 1 解得 m=-1,则 f(x)=2x-2x, ln 2 f′(x)=2xln 2+ 2x >0,则 f(x)在 R 上是递增函数.函数 y=g(x) -t 有且只有一个零点即函数 y=g(x),y=t 的图象只有一个交点,作出函数 y= ? 3 3? g(x),y=t 的图象如图所示,由图可知实数 t 的取值范围是?-2,2?. ? ? ? 3 3? 答案 ?-2,2? ? ?

限时练(四)
(建议用时:40 分钟) 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N=______. 解析 因为 N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1},所以 M∩N={0,1}. 答案 {0,1} 2.一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人.按男女比例用分层抽样 的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本, 那么应抽取女运动员人数是 ________. x 28 解析 设应抽取的女运动员人数是 x,则 =98,易得 x=12. 98-56 答案 12 1 3.复数 =________. 1+i 解析 1-i 1-i 1 1 1 = = 2 =2-2i. 1+i (1+i)(1-i)

1 1 答案 2-2i 4.某算法的伪代码如图所示,该算法输出的结果是________. I←1 S←1 While S≤24 S←S×I I←I+1 End While Print I

解析 逐次写出运行结果.该伪代码运行 5 次,各次 S 和 I 的值分别是 1 和 2;2 和 3;6 和 4;24 和 5;120 和 6,所以该算法输出的 I=6. 答案 6 5.将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数,则点数相同的概率是________. 解析 利用古典概型的概率公式求解.将一颗骰子先后抛掷两次, 向上的点数共有 6 1 36 种不同的结果,其中点数相同的有 6 个,故所求概率为36=6. 1 答案 6 6.已知等比数列{an}满足 a5a6a7=8,则其前 11 项之积为________. 解析 利用等比数列的性质求解.由 a5a6a7=a3 6=8 得,a6=2,所以,其前 11 项之
11 积为 a1a2?a11=a11 6 =2 .

答案 211 7.对于任意 x∈[1,2],都有(ax+1)2≤4 成立,则实数 a 的取值范围为________. 解析 由不等式(ax+1)2≤4 在 x∈[1,2]恒成立,得-2≤ax+1≤2 在 x∈[1,2] ?1? ? ? , ?a≤? ? x?min 恒成立,利用分离参数的方法得? ? 3? - ? a ≥ , ? ? ? ? x?max 3 1 利用反比例函数的单调性得-2≤a≤2. ? 3 1? 答案 ?-2,2? ? ?

π? 3 ? 8.若 α 是锐角,且 cos?α + ?=- 3 ,则 sin α 的值等于________. 3 ? ? π π 5π 解析 ∵α 是锐角,∴ 3 <α+ 3 < 6 , π? π? 3 6 ? ? 又 cos?α+ ?=- 3 ,∴sin?α+ ?= 3 . 3? 3? ? ? π? π? ?? ∴sin α=sin??α+ ?- ? 3? 3? ?? π? π π? π ? ? =sin?α+ ?cos 3 -cos?α+ ?sin 3 3? 3? ? ? 6+3 6 1 ? 3 3? = 3 ×2-?- ?× 2 = 6 . ? 3? 答案 6+3 6

9.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的 棱异面,则 a 的取值范围是________. 解析 由题知令 BD=BC=AD=AC=1,AB=a,则 DC= 2, 分别取 DC, AB 的中点 E, F, 连接 AE、 BE、 EF.由于 EF⊥DC, EF⊥AB.而 BE= =2BF<2BE= 2. 答案 (0, 2) 10.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分成两部分,使得这两部 分的面积之差最大,则该直线的方程为________. 解析 当 OP 与所求直线垂直时面积之差最大,故所求直线方程为 x+y-2=0. 答案 x+y-2=0 11.两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面, 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为________. 解析 在△ACD 中,容易求得 AD=20 10, AC=30 5,又 CD=50,由余弦定理可得 AD2+AC2-CD2 2 cos∠CAD= = 2 ,所以∠CAD=45°, 2AD·AC ? 2?2 1-? ? = ?2? 1 2 1-2= 2 ,BF<BE,AB

即从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 答案 45° 12.两个半径分别为 r1,r2 的圆 M、N,公共弦 AB 长为 3,如图 → ·AB → +AN → ·AB → =________. 所示,则AM 解析 连接圆心 MN 与公共弦相交于点 C,则 C 为公共弦 AB 的 → ·AB → =|AB → ||AM → |·cos∠MAC=|AB → |·|AC → |=1|AB →2 9 中点,且 MN⊥AB,故AM 2 | =2, → ·AB → =|AB → ||AN → |·cos∠NAC=|AB → ||AC → |=1|AB →2 9 同理AN 2 | =2, → ·AB → +AN → ·AB → =9. 故AM 答案 9 2 012 12 011 13.设 a=2 0110.1,b=ln2 010,c=log22 010,则 a,b,c 的大小关系是________. 解析 由指数函数、对数函数图象可知 a>1,0<b<1,c<0,所以 a>b>c. 答案 a>b>c 14.设 f(x)=|ln x|,若函数 g(x)=f(x)-ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的 取值范围是________. 解析 原问题等价于方程|ln x|=ax 在区间(0, 4)上有三个根, 令 h(x)=ln x?h′(x) 1 =x, 1 由 h(x)在(x0,ln x0)处切线 y-ln x0=x (x-x0)过原点得 x0=e,即曲线 h(x)过原点
0

1 ln 2 的切线斜率为e,而点(4,ln 4)与原点确定的直线的斜率为 2 ,所以实数 a 的取 ?ln 2 1? 值范围是? 2 , e?. ? ? ?ln 2 1? 答案 ? 2 , e? ? ?

限时练(五)
(建议用时:40 分钟) 1.已知集合 A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},则 A∩B=________. 解析 由题意得 B={x|x<-1 或 x>1},则 A∩B={2}.

答案 {2} 2.已知复数 z 满足: z(1-i)=2+4i, 其中 i 为虚数单位, 则复数 z 的模为________. 解析 由题意得 z= 2+4i (2+4i)(1+i) = =-1+3i.所以|z|=|-1+3i|= 1-i (1-i)(1+i)

(-1)2+32= 10. 答案 10

3.将四个人(含甲、乙)分成两组,每组两人,则甲、乙为同一组的概率为________. 解析 设 4 个人分别为甲、乙、丙、丁,依题意,基本事件有(甲乙,丙丁),(甲 丙,乙丁),(甲丁,丙乙),共 3 种.满足要求的事件只有(甲乙,丙丁),共 1 种, 1 所以其概率为3. 1 答案 3 4.直线 l:xsin 30°+ycos 150°+1=0 的斜率是________. 解析 设直线 l 的斜率为 k,则 k=- 答案 3 3 sin 30° 3 =3. cos 150°

?log3x,x>0, ? ?1?? 5.已知函数 f(x)=? x 那么 f?f?9??=________. ? ? ?? ?2 ,x≤0, 1 ?1? 解析 因为 f?9?=log39=log33-2=-2, ? ? 1 ? ?1?? 所以 f?f?9??=f(-2)=2-2=4. ? ? ?? 1 答案 4 6.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分 布直方图.样本数据分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. 若采用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据 16 个,则其 中分数在[90,100]范围内的样本数据有________个.

解析 分数在[80,100]内的频率为(0.025+0.015)×10=0.4,而分数在[90,100] 内的频率为 0.015×10=0.15.设分数在[90,100]内的样本数据有 x 个, 16 0.4 则由 x =0.15,得 x=6. 答案 6 7.如果关于 x 的不等式 5x2-a≤0 的正整数解是 1,2,3,4,那么实数 a 的取值 范围是________. 解析 由 5x2-a≤0, 得- <5, 所以 80≤a<125. 答案 [80,125) 8.已知将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆,则圆锥的体积是________. 解析 依题意可得原圆锥的母线长为 l=2, 设底面半径为 r,则 2πr=π×2?r=1, 从而高 h= l2-r2= 22-12= 3, 3π 1 1 所以圆锥的体积为 V=3Sh=3πr2h= 3 . 答案 3π 3 a 5≤x≤ a 因为正整数解是 1, 2, 3, 4, 则 4≤ 5, a 5

9.执行如图所示的流程图,如果输入的 x,t 均为 2,那么输出的 S=________.

解析 循环体部分的运算为: 第一步,M=2,S=5,k=2; 第二步,M=2,S=7,k=3.故输出的结果为 7. 答案 7 10.已知向量 a,b 均为非零向量,且(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为 ________. 解析 (a-2b)· a=|a|2-2a· b=0,(b-2a)· b=|b|2-2a· b=0,所以|a|2=|b|2,即|a| =|b|, 故|a|2-2a· b=|a|2-2|a|2cos〈a,b〉=0, π 1 可得 cos〈a,b〉=2,又因为 0≤〈a,b〉≤π,所以〈a,b〉= 3 . 答案 π 3

π? 3 π? ? ? 11.设 α 为锐角,若 cos?α + ?=5,则 sin?α - ?=________. 6? 12? ? ? π ?π 2π? π? ? 解析 因为 α∈?0, ?,所以 α+ 6 ∈? , ?, 2? 3 ? ? ?6 π? π? ? ? 故 sin?α+ ?>0,从而 sin?α+ ?= 6? 6? ? ? 9 4 1-25=5,

π π? π π? π? ? ? ? 所以 sin?α- ?=sin?α+ - ?=sin?α+ ?cos 4 - 12 6 4 6 ? ? ? ? ? ? π π? 2 ? cos?α+ ?sin 4 = 10 . 6? ? 答案 2 10

x2 y2 12.设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上, 线段 PF1 的中点在 y 轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆 C 的离心率为________. 解析 法一 设线段 PF1 的中点为 Q,则 OQ 是△PF1F2 的中位线,则 PF2∥OQ,

又由 OQ⊥x 轴,得 PF2⊥x 轴. x2 y2 b2 将 x=c 代入a2+b2=1(a>b>0)中,得 y=±a , b2? ? 则点 P?c,± a ?. ? ? b2 a PF2 3 3 由 tan∠PF1F2=F F = 3 ,得2c= 3 , 1 2 即 3b2=2 3ac,得 3(a2-c2)=2 3ac, 则 3c2+2 3ac-3a2=0, 两边同时除以 a2 得 3e2+2 3e-3=0, 3 解得 e=- 3(舍去)或 e= 3 . 法二 设线段 PF1 的中点为 Q,则 OQ 是△PF1F2 的中位线,则 PF2∥OQ,则由 OQ⊥x 轴,得 PF2⊥x 轴. x2 y2 将 x=c 代入a2+b2=1(a>b>0)中, b2 得 y=±a , b2? b2 ? 则点 P?c,± a ?.由椭圆的定义,得 PF1=2a- a , ? ? 由∠PF1F2=30°,得 PF1=2PF2, b2 2b2 即 2a- a = a ,得 2a2=3b2=3(a2-c2), c2 1 得 a2=3c2,得a2=3, c 3 故椭圆 C 的离心率 e=a= 3 . 答案 3 3

1 1 1 13.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,则a+b+ c的最小值为________. 1 1 1 a+b+c a+b+c 解析 因为 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,所以a+b+c= a + b + a+b+c b c a c a b ?b a? ?c a? ? c b? ?a+b?+?a+c ?+?b+c?≥3+2+2+2= = 3 + + + + + + = 3 + c a a b b c c ? ? ? ? ? ?

1 9.当且仅当 a=b=c=3时,取等号. 答案 9 14.若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积,则称该数列为“m 积数 列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 014 积数列”,且 a1>1,则当其 前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为________. 解析 由题可知 a1a2a3·?·a2 014=a2 014, 故 a1a2a3· ?· a2 013=1, 由于{an}是各项均为正数的等比数列且 a1>1, 所以 a1 007 =1,公比 q∈(0,1), 所以 a1 006>1 且 0<a1 008<1, 故当数列{an}的前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为 1 006 或 1 007. 答案 1 006 或 1 007

限时练(六)
(建议用时:40 分钟) 1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则 M∩N=________. 解析 {1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}. 答案 {2,3} 2.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度, 统计了该运动员在 6 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的方差为 ________.


解析 平均数 x= 22+32)=5. 答案 5

14+17+18+18+20+21 2 1 2 = 18 ,故方差 s =6(4 +12+02+02+ 6

3.已知复数 z 满足(z-2)i=1+i(i 为虚数单位),则 z 的模为________.

1+i 解析 由(z-2)i=1+i,得 z= i +2=3-i,所以|z|= 10. 答案 10

4.如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S=________.

解析 这是一个典型的当型循环结构, 当 n=1,3,5,7,9,11 时满足条件, 执行下面的语句,S=1+3+5+7+9+11=36,当 n=13 时不满足条件,退出循 环,执行输出 S=36. 答案 36 5.已知 m∈{-1,0,1},n∈{-1,1},若随机选取 m,n,则直线 mx+ny+1=0 恰好不经过第二象限的概率是________. 解析 依题意,注意到可形成数组(m,n)共有 6 组,其中相应直线 mx+ny+1=0 恰好不经过第二象限的数组(m,n)共有 2 组(它们是(0,1)与(-1,1)),因此所求 2 1 的概率是6=3. 1 答案 3 → =2DC → ,若AD → =λ AB → +λ AC → ,则λ λ 6.在△ABC 中,BD 1 2 1 解析
2 的值为________.

→ =AB → +BD → =AB → +2BC → =AB → +2(AC → -AB →) 利用向量的运算法则求解.因为AD 3 3

1→ 2→ 1 2 2 =3AB +3AC,所以λ1=3,λ2=3,故 λ1λ2=9. 2 答案 9 7.已知函数 f(x)=|x2+2x-1|,若 a<b<-1,且 f(a)=f(b),则 ab+a+b 的取值范 围是________.

解析 作出函数图象可知若 a<b<-1,且 f(a)=f(b),即为 a2+2a-1=-(b2+ 2b-1), 整理得(a+1)2+(b+1)2=4, ?a=-1+2cos θ, 5π? ? 设? θ∈?π, 4 ?, ? ? ?b=-1+2sin θ, 所以 ab+a+b=-1+2sin 2θ∈(-1,1). 答案 (-1,1) 8.在△ABC 中,a=8,B=60°,C=45°,则 b=________. 解析 由已知得 sin A=sin(B+C)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°= 6+ 2 4 ,又 a=8, 3 8× 2 asin B ∴b= sin A = 6+ 2 4 = 16 3 =12 2-4 6. 6+ 2

答案 12 2-4 6 9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两 点,则弦 AB 的长等于________. |-5| 解析 圆 x2+y2=4 的圆心 O(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离 d= 5 =1, 弦 AB 的长 AB=2 r2-d2=2 3. 答案 2 3 10.已知函数 y=anx2(an≠0, n∈N*)的图象在 x=1 处的切线斜率为 2an-1+1(n≥2), 且当 n=1 时其图象过点(2,8),则 a7 的值为________. 解析 因为 y=anx2 在 x=1 处的切线斜率为 2an, 所以 2an=2an-1+1(n≥2), 1 即 an=an-1+2(n≥2), 又 8=4a1?a1=2,

1 所以 a7=a1+6×2=5. 答案 5 11.设 l 是一条直线,α ,β ,γ 是不同的平面,则在下列命题中,假命题是 ________(填序号). ①如果 α⊥β,那么 α 内一定存在直线平行于 β ②如果 α 不垂直于 β,那么 α 内一定不存在直线垂直于 β ③如果 α⊥γ,β ⊥γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ ④如果 α⊥β,l 与 α,β 都相交,那么 l 与 α,β 所成的角互余 解析 如果 α⊥β,那么 α 内一定存在直线平行于 β, 即命题①正确;如果 α 不垂直于 β, 那么 α 内一定不存在直线垂直于 β, 即命题②正确;如果 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l, 那么 l⊥γ,即命题③正确; 如果 α⊥β,l 与 α,β都相交, 那么 l 与 α,β所成的角不一定互余,即命题④不正确. 答案 ④ π? ? 12.已知函数 y=sin(ωx+φ)?ω >0,0<φ≤ ?的部分图象如图,则 φ 的值为 2? ? ________.

2π ?5π π? ?=π= 解析 由三角函数图象可得周期 T=2? ,解得 ω=2.由函数图 - 3? ω ? 6 ?π ? 象过点? ,0?, ?3 ? π π ? ? 所以 sin?2× +φ?=0?φ= 3 +2kπ,k∈Z, 3 ? ? π π 且 0<φ≤ 2 ,所以φ= 3 .

答案

π 3

13.若函数 f(x)=ax2+20x+14(a>0)对任意实数 t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在 两实数 x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8 成立,则实数 a 的最小值为________. 解析 利用二次函数图象求解.由题意可得(f(x)max-f(x)min)min≥8.f(x)min 越大, 所以当[t-1,t+1]关于对称轴对称时, f(x)max-f(x)min 取得最小值,为 f(t+1)-f(t)=a≥8, 所以实数 a 的最小值为 8. 答案 8 x3 ax2 14.已知函数 f(x)= 3 + 2 +2bx+c 在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取极 小值,则 z=(a+3)2+b2 的取值范围为________. 解析 因为函数 f(x)在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取极小值,

?f′(0)>0, ?b>0, 所以?f′(1)<0,即?1+a+2b<0, ?f′(2)>0, ?a+b+2>0,
对应可行域如图,目标函数 z=(a+3)2+b2 的几何意义是可行域上的点(a,b)到定 ? 1 ?2 1 点 P(-3,0)的距离的平方,点 P 到边界 a+b+2=0 的距离的平方为? ? =2, ? 2? ?1 ? 到点(-1, 0)的距离的平方为 4, 因为可行域不含边界, 所以 z 的取值范围是?2,4?. ? ? ?1 ? 答案 ?2,4? ? ?

限时练(七)
(建议用时:40 分钟) a+3i 1.已知复数 是纯虚数,则实数 a=________. 1-2i

解析

a+3i a-6+(2a+3)i a+3i = ,所以当 a=6 时,复数 为纯虚数. 5 1-2i 1-2i

答案 6 1? ? 2.函数 y=ln?1+x?+ 1-x2的定义域为________. ? ? 1 ? ?1+ >0, x 解析 要使函数有意义,需? ? ?1-x2≥0, ?x+1 ? >0, 即? x 2 ? ?x ≤1, ?x<-1或x>0, 即? 解得 0<x≤1,所以其定义域为(0,1]. ?-1≤x≤1, 答案 (0,1] 3.检验某产品直径尺寸的过程中,将某尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组,抽 查出的个体数在该组上的频率为 m,该组在频率分布直方图上的高为 h,则|a-b| =________. m 解析 根据概率分布直方图的概念可知,|a-b|×h=m,由此可知|a-b|= . h 答案 m h

4.已知集合 A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若 A?B,则实数 a-b 的取值范围是 ________. 解析 集合 A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因为 A?B, 所以 a≤2,b≥4,所以 a-b≤2-4=-2, 即实数 a-b 的取值范围是(-∞,-2]. 答案 (-∞,-2] → =(1, → =(-4, 5.在四边形 ABCD 中, AC 2), BD 2),则该四边形的面积为________. → ·BD → =1×(-4)+2×2=0, 解析 依题意得,AC → ⊥BD → ,所以四边形 ABCD 的面积为1|AC → → 1 所以AC 2 |·|BD|=2× 5× 20=5. 答案 5 6.根据如图所示的伪代码可知,输出的 S=________.

i←1 While i<8 i←i+2 S←2i+3 End While Print S 解析 初始值 i=1,第一次循环:i=3,S=9; 第二次循环:i=5,S=13; 第三次循环:i=7,S=17; 第四次循环:i=9,S=21; 此时不满足条件“i<8”,循环停止,输出 S 的值为 21. 答案 21 2π 7.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 3 弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标 为________. 解析 由三角函数定义可知点 Q 的坐标(x, y)满足 x=cos 3 2. ? 1 3? 答案 ?- , ? ? 2 2? 8.在△ABC 中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,使△ABD 为钝角三角形的概率为________. 解析 过点 A 作 AH⊥BC 于点 H,则 BH=1. 过点 A 作 AG⊥AB 交 BC 于点 G,则 BG=4. 要使△ABD 为钝角三角形,则点 D 在线段 BH 或 CG 上(不含端点 B,H,G),故 1+2 1 所求概率为 P= 6 =2. 1 答案 2 9.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列四个命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; 2π 2π 1 =- , y = sin 3 2 3 =

②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 则其中为真命题的是________(填序号). 解析 由面面平行,线面平行的判定定理可知①②是正确的;③错误;④l 与 α 内的两条直线垂直不能得到直线 l 与 α 垂直,l 与 α 内的两条直线垂直是直线 l 与 α 垂直的必要不充分条件. 答案 ①② x2 2 10.以双曲线 3 -y =1 的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________. x2 p 解析 由双曲线方程 3 -y2=1 得 c=2 ,所以双曲线右焦点的坐标为(2,0),即2 =2,所以 2p=8,所以抛物线的标准方程为 y2=8x. 答案 y2=8x 11.已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则 实数 k 的取值范围是________. 解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数 f(x),g(x)的图象如图所示,

方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点, 结 合图象可知, 当直线 y=kx 的斜率大于坐标原点与点(2, 1)连线的斜率且小于直线 1 y=x-1 的斜率时符合题意,故2<k<1. ?1 ? 答案 ?2,1? ? ? π? 3 ? π ? ? 12.若 sin θ =-5,θ ∈?- ,0?,则 2sin?2θ + ?=________. 3? ? 2 ? ? 3 ? π ? 解析 因为 sin θ=-5,θ∈?- ,0?, ? 2 ?

4 所以 cos θ= 1-sin2θ=5, 24 7 所以 sin 2θ=2sin θcos θ=-25,cos 2θ=2cos2θ-1=25, π π? ? 所以 2sin?2θ+ ?=2sin 2θcos 3 + 3 ? ? π 7 3 7 3-24 ? 24? 1 2cos 2θsin 3 =2×?-25?×2+2×25× 2 = 25 . ? ? 答案 7 3-24 25
2n

an 13.在等差数列{an}中,已知a 是一个与 n 无关的常数,则该常数的可能值的集合 为________. 1 1 2a1-2d an a1+(n-1)d 1 解析 由题意知a = = + . 2n a1+(2n-1)d 2 a1+(2n-1)d 1 当 d=0 时,上式=1;当 a1=d 时,上式=2. 答案
? 1? ?1, ? 2? ?

? 1 1? ? 1?? 1? 14.已知正实数 x, y, z 满足 2x?x+y + z ?=yz, 则?x+ y??x+ z ?的最小值为________. ? ? ? ?? ? x x 1 ? 1?? 1? 解析 由题知,?x+y??x+ z ?=x2+z +y+yz ? ?? ? ? 1 1? 1 =x?x+y + z ?+yz, ? ? ? 1 1? ? 1?? 1? yz 1 又 2x?x+y + z ?=yz,则?x+y??x+ z ?= 2 +yz. ? ? ? ?? ? yz 1 又因为 x,y,z 为正实数,所以 2 +yz≥2 等号成立, ? 1?? 1? 所以?x+y??x+ z ?的最小值为 2. ? ?? ? 答案 2 yz 1 2 ·yz= 2,当且仅当 yz= 2时,

限时练(八)
(建议用时:40 分钟)

1.已知集合 A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x≤0},则 A∩B=________. 解析 ∵B=[0,2],∴A∩B=[0,1]. 答案 [0,1] 5(1+4i)2 2.复数 =________. i(1+2i) 解析 38-i. 答案 38-i 3.某市高三数学抽样考试中, 对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计, 其频率分布 图如图所示,若 130~140 分数段的人数为 90 人,则 90~100 分数段的人数为 ________. 5(1+4i)2 5(-15+8i) 5(-15+8i)(-2-i) 5(38-i) = = = = 5 i(1+2i) -2+i (-2+i)(-2-i)

90 解析 高三年级总人数为:0.05=1 800;90~100 分数段人数的频率为 0.45;分 数段的人数为 1 800×0.45=810. 答案 810 1 4.曲线 y=x 在 x=2 处的切线斜率为________. 解析 根据导数的几何意义, 只要先求出导数以后, 将 x=2 代入即可求解.因为 y′ 1 1 =-x2,所以 y′|x=2=-4,即为切线的斜率. 1 答案 -4 5.将一枚骰子(一种六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后 抛掷 2 次,向上的点数分别记为 m,n,则点 P(m,n)落在区域|x-2|+|y-2|≤2 的概率是________. 解析 利用古典概型的概率公式求解.将一枚骰子先后抛掷 2 次, 向上的点数分别

记为 m,n,则点 P(m,n)共有 36 个,其中落在区域|x-2|+|y-2|≤2 内的点有(1, 1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), 11 (4,2),共 11 个,故所求概率是36. 11 答案 36 1? ? 6.已知向量 a=(3,1),b=?-1,2?,若 a+λb 与 a 垂直,则 λ 等于________. ? ? 解析 根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解.由条件可得 a+λb= 1 ? 1 ? ?3-λ,1+2λ?,所以(a+λb)⊥a?3(3-λ)+1+ λ=0?λ=4. 2 ? ? 答案 4 x+8y 7.已知正数 x,y 满足 x+2y=2,则 xy 的最小值为________. x+8y 解析 利用“1”的代换, 结合基本不等式求解.因为 x, y 为正数, 且 x+2y=2, xy ?1 8?? x ? x 8y =? y+x??2+y?=2y+ x +5≥2 ? ?? ? x+8y 立,所以 xy 的最小值为 9. 答案 9 8.给出四个命题: ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行; ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行; ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行; ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行; 其中真命题的序号是________. 解析 若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ, 即平行于同一平面的两个不重合的平面平行,故①正确; 若 a∥α,a∥β,则α与β平行或相交,故②错误; 若 α⊥γ,β⊥γ,则平面 α 与 β 平行或相交,故③错误; 若 a⊥α,a⊥β,则 α 与 β 平行,故④正确. 答案 ①④ x 8y 4 2y· x +5=9,当且仅当 x=4y=3时,等号成

9.设某流程图如图所示,该算法运行后输出的 k 的值是________.

解析 阅读算法中流程图知: 运算规则是 S=S×k2 故 第一次进入循环体后 S=1×32=9,k=3; 第二次进入 循环体后 S=9×52=225>100,k=5.退出循环,其输出结果 k=5. 故答案为:5. 答案 5 10.已知等差数列{an}的公差不为零,a1+a2+a5>13,且 a1,a2,a5 成等比数列, 则 a1 的取值范围为________. 解析 利用 a1,a2,a5 成等比数列确定公差与首项的关系,再解不等式即可.设等
2 差数列{an}的公差为 d,则 d≠0,所以 a1,a2,a5 成等比数列?a2 2=a1a5?(a1+d)

=a1(a1+4d)?d=2a1,代入不等式 a1+a2+a5>13,解得 a1>1. 答案 (1,+∞) b x2 y2 11.P 为直线 y=3ax 与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________. b 3 2 ? ? ?x=- 4 a, ?y=3ax, 由? 2 得? x y2 2 ? y =- ?a2-b2=1, ? ? 4 b,

解析

3 2 又 PF1 垂直于 x 轴,所以 4 a=c, c 3 2 即离心率为 e=a= 4 . 答案 3 2 4

12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,a=8,b=10,△ABC 的面 积为 20 3,则△ABC 的最大角的正切值是________. 1 3 解析 由 S△ABC=2absin C,代入数据解得 sin C= 2 , 又 C 为三角形的内角,所以 C=60°或 120°. 若 C=60°,则在△ABC 中,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=84, 此时,最大边是 b,故最大角为 B, a2+c2-b2 3 其余弦值 cos B= 2ac = , 2 21 正弦值 sin B= 5 3 5 3 ,正切值 tan B= 3 ; 2 21

若 C=120°,此时,C 为最大角,其正切值为 tan 120°=- 3. 答案 5 3 3 或- 3

13.若存在区间 M=[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间 M 为函 数 f(x)的一个“稳定区间”.给出下列四个函数: ①y=ex, x∈R; ②f(x)=x3; ③f(x) πx =cos 2 ;④f(x)=ln x+1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命 题的序号). 解析 根据新定义逐一判断.因为函数 y=ex,x∈R 递增,且 ex>x,x∈R 恒成立, 函数 y=ex,x∈R 不存在“稳定区间”,故①不存在“稳定区间”;函数 f(x)=x3 存在稳定区间[-1,0]或[0,1]或[-1,1],故②存在“稳定区间”;函数 f(x)= πx cos 2 存在稳定区间[0,1],故③存在“稳定区间”;函数 f(x)=ln x+1 在(0, +∞)上递增,且 ln x+1≤x,x>0 恒成立,函数 f(x)=ln x+1 在定义域上不存在 “稳定区间”,故④不存在“稳定区间”. 答案 ②③ |x| 14.若关于 x 的方程 =kx2 有四个不同的实根, 则实数 k 的取值范围是________. x+2 |x| 解析 由于关于 x 的方程 =kx2 有四个不同的实根,x=0 是此方程的一个根, x+2

|x| 故关于 x 的方程 =kx2 有 3 个不同的非零的实数解. x+2 1 ?x(x+2),x>0, ∴方程k=? 有 3 个不同的非零的实数解, ?-x(x+2),x<0 ?x(x+2),x>0, 1 即函数 y=k 的图象和函数 g(x)=? 的图象有 3 个交点,画出函 ?-x(x+2),x<0 数 g(x)的图象,如图所示,

1 故 0< k<1,解得 k>1. 答案 (1,+∞)

限时练(九)
(建议用时:40 分钟) 1.已知集合 M ? ? {0,1,2,3,4},则满足 M∩{0,1,2}={0,1}的集合 M 的个 数为________. 解析 由题意易知 M={0,1}或{0,1,3}或{0,1,4}或{0,1,3,4},所以满 足 M∩{0,1,2}={0,1}的集合 M 的个数为 4. 答案 4 3+bi 2.若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 1-i 解析 由3+bi (3+bi)(1+i) 3-b+(3+b)i 3-b = = = a + b i ,得 a = 2 2 ,b= 1-i (1-i)(1+i)

3+b 2 ,解得 b=3,a=0,所以 a+b=3. 答案 3 3.若命题 p:|x|=x,命题 q:x2+x≥0,则 p 是 q 的________条件. 解析 设 p:{x||x|=x}=x|x≥0=A,q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0 或 x≤-1}=B,因 为 A ? B,所以 p 是 q 的充分不必要条件. 答案 充分不必要

4.若一组样本数据 2,3,7,8,a 的平均数为 5,则该组数据的方差 s2=________. 解析 因为 2+3+7+8+a 1 2 2 2 2 = 5 ,所以 a = 5 ,所以 s = 5 5[(2-5) +(3-5) +(7-5)

26 +(8-5)2+(5-5)2]= 5 . 答案 26 5

3 5.函数 f(x)=sin xcos x+ 2 cos 2x 的最小正周期为________. 解析 由 f(x)=sin xcos x+ 3 1 cos 2x= sin 2x+ 2 2

π? 3 ? ? ? 2 cos 2x=sin?2x+ 3 ?,得最小正周期为π. 答案 π 6.已知四边形 ABCD 是半径为 2 的圆的内接正方形, 现在圆的内部随机取一点 P, 点 P 落在正方形 ABCD 内部的概率为________. 解析 由已知可得,正方形边长为 2 2,再利用几何概型概率计算公式可得概率 为 (2 2)2 2 = . π×22 π 2 π

答案

7.执行如图所示的流程图,如果输入 a=2,b=2,那么输出的 a 的值为________.

解析 log32>4 不成立,执行第一次循环,a=22=4; log34>4 不成立,执行第二次循环,a=42=16; log316>4=log334=log381 不成立,执行第三次循环,a=162=256; log3256>4=log381 成立,跳出循环,输出的 a 的值为 256. 答案 256

π → → 8.在△ABC 中,已知AB·AC=tan A,则当 A= 6 时,△ABC 的面积为________. → ·AC → 解析 根据平面向量数量积的概念得AB → |·|AC → |cos A, =|AB π → |·|AC → |=2, 当 A= 6 时,根据已知可得|AB 3 1→ → |·sin π=1. 故△ABC 的面积为2|AB |·|AC 6 6 答案 1 6

9.对于数列{an}, 定义数列{bn}满足: bn=an+1-an(n∈N*), 且 bn+1-bn=1(n∈N*), a3=1,a4=-1,则 a1=________. 解析 由 bn+1-bn=1 知数列{bn}是公差为 1 的等差数列,又 b3=a4-a3=-2, 所以 b1=-4,b2=-3,b1+b2=(a2-a1)+(a3-a2)=a3-a1=-7,解得 a1=8. 答案 8

?y≤2, 10.已知实数 x, y 满足?3x-y-3≤0,则目标函数 z=3x+y 的最大值为________. ?2x+y-2≥0,
解析 作出可行域如图所示:

作直线 l0:3x+y=0,再作一组平行于 l0 的直线 l:3x+y=z,当直线 l 经过点 M 时,z=3x+y 取得最大值, ? 5 ?3x-y-3=0, ?x=3, 由? 得? ?y=2, ? ?y=2, ?5 ? 所以点 M 的坐标为?3,2?, ? ?

5 所以 zmax=3×3+2=7. 答案 7 11.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若 截面△BC1D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为 ________. 解析 依题意可知,截面△BC1D 是等腰直角三角形,其面积为 6,可知 BD=C1D=2 3,设 AB=a,AD=h,在直角三角形 ABD 与直角三角形 BCC1 中由勾股定理得:
2 ?a2+h2=(2 3)2, ?a =8, ? 2 解得? 2 2 ?h=2, ?a +4h =(2 6) ,

3 3 所以 V=S△ABC·2h= 4 a2·2h= 4 ×8×4=8 3. 答案 8 3 x2 y2 a x2 12.已知过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点且垂直于 x 轴的弦的长为2,则双曲线a2 y2 -b2=1 的离心率为________. c2 y2 y2 b2 b2 2b2 解析 将 x=c 代入椭圆方程, 得a2+b2=1, 即b2=a2, 解得 y=±a .由题意知 a = a 2 2 2,即 a =4b . c′ 5b 5 设双曲线焦距为 2c′,同 c′2=a2+b2=5b2,所以其离心率为 e= a = 2b = 2 . 答案 5 2

x ?2 -a,x<1, 13.设函数 f(x)=? 若 f(x)恰有两个零点,则实数 a 的取 ?4(x-a)(x-2a),x≥1.

值范围是________. 解析 当 a≥1 时,要使 f(x)恰有两个零点,需满足 21-a≤0,即 a≥2; ?a<1≤2a, 1 当 a<1 时,要使 f(x)恰有两个零点,需满足? 1 解得2≤a<1. ?2 -a>0, ?1 ? 综上,实数 a 的取值范围是?2,1?∪[2,+∞). ? ?

?1 ? 答案 ?2,1?∪[2,+∞) ? ? 14.如图,△ABC 是边长为 2 3的等边三角形,P 是以 C 为圆心, → ·BP → 的最小值为________. 1 为半径的圆上的任意一点,则AP 解析 以点 C 为原点,水平方向为 x 轴,建立如图所示的平面直 角坐标系,则圆 C:x2+y2=1,于是可设点 P(cos θ,sin θ). 又因为△ABC 是边长为 2 3的等边三角形, → =(cos θ+ 3,sin θ+3),BP →= 所以 A(- 3,-3),B( 3,-3),所以AP → ·BP → =cos2θ-3+sin2θ+6sin θ+9=7+ (cos θ- 3,sin θ+3),所以AP 6sin θ, → ·BP → 取得最小值为 1. 所以当 sin θ=-1 时,AP

答案 1

限时练(十)
(建议用时:40 分钟) 1.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元 素的个数为________. 解析 由集合中元素的互异性,可知集合 M={5,6,7,8},所以集合 M 中共有 4 个元素. 答案 4 2.已知 m∈R,复数 解析 因为 m+i 1 - 的实部和虚部相等,则 m=________. 1+i 2

m+i 1 (m+i)(1-i) 1 m+(1-m)i - = - = ,由已知得 m=1- 2 1+i 2 (1+i)(1-i) 2

1 m,得 m=2.

1 答案 2 3.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为偶数的 概率是________. 解析 从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取 2 个数的所有基本事件为(1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有 6 种,而满足所取 2 个数的乘积为 偶数的基本事件为(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共有 5 种,根据古典 5 概型的公式可得所求的概率为 P=6. 5 答案 6 4.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=________. 解析 由条件可得,(a+b)2=10, (a-b)2=6,两式相减得 4a· b=4,所以 a· b=1. 答案 1 5.根据如图所示的伪代码可知,输出的结果 S 为________. S←0 I←1 While S≤10 S←S+I2 I←I+1 End While Print S 解析 根据伪代码, 开始时 S=0, I=1, 此时满足 S≤10, 接下来有 S=0+12=1, I=1+1=2, 此时满足 S≤10, 接下来有 S=1+22=5, I=2+1=3, 此时满足 S≤10, 接下来有 S=5+32=14,I=3+1=4,此时不满足 S≤10,结束循环,输出 S=14. 答案 14 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6 的值为________. ?S2=a1+a1q=3, ?a1+a1q=3, ? 2 解析 由条件可得? 解得 那么 S6=S4 2 3 ?S4=a1+a1q+a1q +a1q =15, ?q =4, +(a1+a1q)q4=63.

答案 63 7.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张 压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16, 17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组,?,第五组.如图是根 据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没 有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为________.

20 解析 第一组和第二组的频率之和为 0.4,故样本容量为0.4=50,第三组的频率 为 0.36,故第三组的人数为 50×0.36=18,故第三组中有疗效的人数为 18-6= 12. 答案 12 8.已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱锥的体积为________. 解析 正三棱锥的高 h= 52-(2 3)2= 13,底面积 3 1 S= 4 ×62=9 3,故体积 V=3×9 3× 13=3 39. 答案 3 39 9.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________. 解析 最短弦为过点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,易知弦心距 d = (3-2)2+(1-2)2= 2,所以最短弦长为 2 r2-d2=2 22-( 2)2= 2 2. 答案 2 2

?x-2≤0, 10.若实数 x,y 满足不等式组?y-1≤0, 目标函数 z=x-2y 的最大值为 2, ?x+2y-a≥0,
则实数 a=________. 解析 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.

?x=2, 由? 可知点 A(2,0)是最优解,直线 x+2y-a=0 过点 A(2,0), ?x-2y=2 所以 a=2. 答案 2 π 11.在△ABC 中, 已知 BC=1, B= 3 , 且△ABC 的面积为 3, 则 AC 的长为________. 1 1 3 解析 由于△ABC 的面积 S=2×AB×BC×sin B=2×AB×1× 2 = 3,所以 AB =4. π 由余弦定理得 AC2=1+16-2×1×4×cos 3 =13,所以 AC= 13,即 AC 的长 为 13. 答案 13

?|lg x|,x>0, 12.已知函数 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是 ?2 ,x≤0, ________. 1 解析 方程 2f2(x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)=2或 1,作出 y=f(x)的图象,由图象 知零点的个数为 5.

答案 5 x2 y2 13.设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别 交于点 A,B.若点 P(m,0)满足 PA=PB,则该双曲线的离心率是________. b 解析 联立直线方程 x-3y+m=0 与双曲线渐近线方程 y=± ax 可得交点坐标为 bm ? ? -am bm ? 1 ? am , ?,则 kAB= , ?3b-a,3b-a?,? 3 ? ? ?3b+a 3b+a?

bm bm + 3b-a 3b+a -0 2 由 PA=PB, 可得线段 AB 的中点与点 P 连线的斜率为-3, 即 = -am am + 3b-a 3b+a -m 2 -3,化简得 4b2=a2,所以 e= 答案 5 2 a2+b2 5 2 = a 2.

14.若 a,b 均为正实数,且 a+ b-a≤m b恒成立,则实数 m 的最小值是 ________. 解析 由于 a,b 均为正实数,且 a+ b-a≤m b, 显然有 m>0,b≥a, 两边平方得 a+b-a+2 a(b-a)≤m2b, 即 b+2 a(b-a)≤m2b, 于是 m2≥1+2 a 令b=t(0<t≤1), 则 m2≥1+2 t-t2在 0<t≤1 时恒成立, 即 m2≥1+2 ? 1?2 1 -?t-2? +4,从而 m2≥2, ? ? a ?a?2 ? ? b-?b? ,

故的最小值为 2. 答案 2

限时练(十一)
(建议用时:40 分钟) 1.设全集 U=R, 集合 A={x|x2-2x<0}, B={x|x>1}, 则集合 A∩?UB=________. 解析 ?UB={x|x≤1},A={x|0<x<2},故 A∩?UB={x|0<x≤1}. 答案 {x|0<x≤1} 2.复数(1+2i)2 的共轭复数是________. 解析 (1+2i)2=1+4i-4=-3+4i,其共轭复数为-3-4i.

答案 -3-4i 3.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3·a9=2a2 5,a2=1,则 a1=________. 解析 利用等比数列的通项公式求出公比,再求首项.设等比数列{an}的公比为 2 2 2 q(q>0),则 a3·a9=2a5 ?a3 ·q6=2(a3q2)2?q= 2,又 a2=1,所以 a1= 2 . 答案 2 2

4.从某项综合能力测试中抽取 10 人的成绩,统计如下表,则这 10 人成绩的方差 为________. 分数 人数 5 3 4 1 3 1 2 3 1 2

- 1 解析 考查统计初步知识,先求平均数,x=10(5×3+4×1+3×1+2×3+1×2) - 1n 1 =3,再根据方差公式 s2=ni∑ ( x - x )2 代入数据,s2=10[3×(5-3)2+(4-3)2+(3 i =1

12 -3)2+3×(2-3)2+2×(1-3)2]= 5 . 答案 12 5

5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0,0<φ <π )的图象如图所 ?π ? 示,则 f? ?的值为________. ?3?

解析 利用三角函数图象求出解析式, 再求解函数值, 由三角函数图象可得 A=2, 11π π 3 2π 3 ?π ? ? ,2?, T = - = π,所以周期 T =π= ,解得 ω = 2. 又函数图象过点 4 12 6 4 ω ?6 ? π π π? ?π? ? ? ? 所以 f? ?=2sin?2× +φ?=2,0<φ<π,解得 φ= 6 ,所以 f(x)=2sin?2x+ ?, 6 6? ?6? ? ? ? ?π? ?2π π? f? ?=2sin? + 6 ?=1. ?3? ? 3 ?

答案 1 6.已知集合 A={2,5},在 A 中可重复的依次取出三个数 a,b,c,则“以 a,b, c 为边恰好构成三角形”的概率是________. 解析 “在 A 中可重复的依次取出三个数 a,b,c”的基本事件总数为 23=8,事 件“以 a,b,c 为边不能构成三角形”分别为(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2), 3 5 所以 P=1-8=8. 5 答案 8

?x+y≥3, 7.设变量 x,y 满足不等式组?x-y≥-1 ,则目标函数 z=2x+3y 的最小值是 ?2x-y≤3,
________. 解析 不等式组对应的可行域如图,由图可知,当目标函数经过 图中点(2,1)时取得最小值 7. 答案 7 8.下图是一个算法的流程图,最后输出的 S=________.

解析 当 a=5,P=25>24,S=25;a=6,P=24<25,输出的 S=25. 答案 25 9.表面积为 12π 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为 ________. 解析 建立目标函数后利用导数求解.设圆柱的底面圆半径为 r, 高为 l, 则表面积 6-r2 6-r2 为 2πr2+2πrl=12π,则 l= r ,r∈(0, 6),体积为 V=πr2l=πr2· r =

π(6r-r3), r∈(0, 6),所以 V′=π(6-3r2), 由 V′=0 解得 r= 2,且 r∈(0, 2)时 V′>0,r∈( 2, 6)时 V′<0, 所以 r= 2时,该圆柱的体积取得最大值,此时高 l= r 1 比值为 l =2. 1 答案 2 10.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c,若 a=4,b=5,△ABC 的面积为 5 3,则 c=________,sin A=________. 解析 由三角形面积公式可以求出 sin C,得到锐角 C 的值,借助余弦定理求出 c 1 3 边,最后利用正弦定理求 sin A.由 S△ABC=2absin C,代入数据解得 sin C= 2 ,又 C 为锐角三角形的内角,所以 C=60°.在△ABC 中,由余弦定理得 c2=a2+b2- 3 4× 2 asin C 2abcos C=21,即 c= 21.再在△ABC 中,由正弦定理得 sin A= c = = 21 2 7 7 . 答案 21 2 7 7 4 =2 2,底面半径与高的 2

11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,+∞)时,都有不等式 f(x) 1?? 1? ? +xf′(x)>0 成立,若 a=40.2f(40.2),b=(log43)f(log43),c=?log416?f?log416?,则 a, ? ?? ? b,c 的大小关系是________. 解析 由 f(x)+xf′(x)>0 得(xf(x))′>0,令 g(x)=xf(x),则 g(x)在(0,+∞)递增,且 1? ? 为偶函数,且 a=g(40.2),b=g(log43),c=g?log416?=g(-2)=g(2),因为 0<log43 ? ? <1<40.2<2,所以 c>a>b. 答案 c>a>b ?log2(1-x),x≤0, 12.已知函数 f(x)=? f(x)=x 的根从小到大构成数列{an},则 ?f(x-1)+1,x>0, a2 015=________.

解析 利用函数图象得数列通项公式,再求第 2 015 项.作出函 数 f(x)的图象如图, 由图象可知方程 f(x)=x 的根依次是 0, 1, 2, 3,?,所以 an=n-1,故 a2 015=2 015-1=2 014. 答案 2 014 x2 y2 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛 物线 y2=4x 的准线相交于 A,B 两点.若△AOB 的面积为 2,则双曲线的离心率为 ________. 解析 利用三角形面积建立基本量的关系求解.抛物线 y2=4x 的准线方程是 x= b? ? b? b ? ?-1,-a?, ?-1,a?. -1, 双曲线的渐近线 y=± x 与 x =- 1 的交点坐标分别是 A B a ? ? ? ? 1 2b 又△AOB 的面积为 2,所以2× a ×1=2, 即 b=2a,b2=c2-a2=4a2,c= 5a, c 所以离心率 e=a= 5. 答案 5

14.如图,Ox、Oy 是平面内相交成 120°的两条数轴,e1,e2 分 → =xe +ye , 别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量,若向量OP 1 2 → 在坐标系 xOy 中的坐标. 则将有序实数对(x,y)叫做向量OP → =3e +2e ,则|OP → |=________; (1)若OP 1 2 (2)在坐标系 xOy 中,以原点为圆心的单位圆的方程为________. 1 解析 由题意可得 e1·e2=cos 120°=-2. → |= (1)|OP (3e1+2e2)2= 9+4-6= 7;

(2)设圆 O 上任意一点 Q(x,y), → =xe +ye ,|OQ → |=1, 则OQ 1 2 ? 1? 即 x2+2xy×?-2?+y2=1, ? ? 故所求圆的方程为 x2-xy+y2-1=0. 答案 (1) 7 (2)x2-xy+y2-1=0

限时练(十二)
(建议用时:40 分钟) 1.集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=________. 解析 M={x|lg x>0}={x|x>1},N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2},M∩N={x|1< x≤2}. 答案 {x|1<x≤2} 2.高三(1)班共有 48 人,学号依次为 1,2,3,?,48,现用系统抽样的方法抽取 一个容量为 4 的样本,已知学号 5,29,41 在样本中,那么还有一个同学的学号 应为________. 解析 根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题.将 48 人分成 4 组, 每组 12 人, 所以用系统抽样抽出的学生学号构成以 12 为公差的等差数列, 所以还有一个学生 的学号是 17. 答案 17 3.设 i 为虚数单位,则复数 解析 依题意: 答案 4-3i 4.执行下图所示的流程图,输出的 S 为________. 3+4i i =________.

3+4i (3+4i)i = =4-3i. i i2

解析 根据流程图得执行的结果是:S=-1+(-1)22+(-1)33+(-1)44+?+ (-1)2 0162 016 =(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+?+(-2 015+2 016)=1 008. 答案 1 008 5.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆

x2+y2=16 内的概率为________. 解析 ∵试验发生的总事件数是 6×6,而点 P 落在圆 x2+y2=16 内包括(1,1), (1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共 8 种,由古典概型公 式得到 P= 2 答案 9 π? ? 6.当 x∈?0, ?时,函数 y=sin x+ 3cos x 的值域为________. 2? ? π ?π 5π? π? ? π? ? ? π? ?1 ? 解析 因为 y=2sin?x+ ?,x∈?0, ??x+ 3 ∈? , ??sin?x+ ?∈?2,1? 3? 2? 6 ? 3? ? ? ? ? ?3 ? ?y∈(1,2],所以值域为(1,2]. 答案 (1,2] 7.若命题“?x∈R, 使得 x2+(a-1)x+1≤0”为假命题, 则实数 a 的范围________. 解析 由题意:x2+(a-1)x+1>0 恒成立. 则对应方程 x2+(a-1)x+1=0 无实数根. 则 Δ=(a-1)2-4<0,即 a2-2a-3<0, 所以-1<a<3. 答案 (-1,3) 8 ? π? 8.已知向量 a=(cos x,sin x),b=( 2, 2),a· b=5,则 cos?x- ?=________. 4? ? ? π? 8 ? π? 4 解析 因为 a· b= 2cos x+ 2sin x=2cos?x- ?=5,所以 cos?x- ?=5. 4? 4? ? ? 4 答案 5 9.在正项等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和.若 a1=1,a2a6=8,则 S8=________.
3 解析 因为{an}是正项等比数列,所以 a2a6=a2 4=8?a4=2 2=a1q ?q= 2,所

8 2 =9. 6×6

1-( 2)8 以 S8= =15( 2+1). 1- 2 答案 15( 2+1) 10.设 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为________. 4 2(x-2)(x+1) 解析 f(x)定义域为(0,+∞),又由 f′(x)=2x-2-x = >0,解 x

得 x>2,所以 f′(x)>0 的解集为(2,+∞). 答案 (2,+∞) 11.曲线 y= 解析 y′= x 在点(-1,-1)处的切线方程为________. x+2

2 ,所以 k=y′|x=-1=2,故切线方程为 y=2x+1. (x+2)2

答案 y=2x+1 12.已知 a、b、c 是△ABC 的三边,且 B=120°,则 a2+ac+c2-b2=________. 解析 利用余弦定理,再变形即得答案. 答案 0 x2 y2 13.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与直线 y=2x 有交点,则离心率 e 的取值范围 为________. 解析 如图所示,

b x2 y2 ∵双曲线的渐近线方程为 y=± ax,若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与直线 y=2x b 有交点,则应有a>2, c2-a2 b2 ∴a2>4, a2 >4, c2 解得 e =a2>5,e> 5.
2

答案 ( 5,+∞) 14.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f(1-x)+f(1+x)=0 恒成 ?m>3, 立.如果实数 m、n 满足不等式组? 2 2 ?f(m -6m+23)+f(n -8n)<0, 那么 m2+n2 的取值范围是________. 解析 由 f(1-x)+f(1+x)=0 得, f(n2-8n)=f[(n2-8n-1)+1]

=-f[1-(n2-8n-1)] =-f(-n2+8n+2), 所以 f(m2-6m+23)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n+2), 又 f(x)是定义在 R 上的增函数, 所以 m2-6m+23<-n2+8n+2, 即为(m-3)2+(n-4)2<4,且 m>3, 所以(m,n)在以(3,4)为圆心,半径为 2 的右半个圆内, 当为点(3,2)时,m2+n2=13, 圆心(3,4)到原点的距离为 5, 此时 m2+n2=(5+2)2=49, 所以 m2+n2 的取值范围是(13,49). 答案 (13,49)


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