福建省莆田市哲理中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷


2014-2015 学年福建省莆田市哲理中学高一(上)期末数学试卷
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的 代号填在题后的括号内,每小题 5 分,共 60 分.) 1.﹣300°化为弧度是( ) A.
2 2

B. ﹣

C. ﹣

D. ﹣

2.圆 x +y ﹣2x﹣4y﹣4=0 的圆心坐标是( ) A. (﹣2,4) B. (2,﹣4) C. (﹣1,2) D. (1,2) 3.已知两平行直线 l1:x﹣y=0 与 l2:x﹣y+b=0 的距离为 A. B. 2 C. D. ±2 4.直线 + =1 与 x,y 轴所围成的三角形的面积等于( A. 6 B. 12 C. 24 D. 60 5.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,已知这个正方体的体积是 8,则这个球的表 面积是( ) A. 4π B. 8π C. 12π D. 24π 6.圆(x﹣1) +(y﹣1) =2 被 x 轴截得的弦长等于( A. 1 B.
2 2 2 2

,则实数 b=(







C. 2 D. 3
2 2

7.圆 x +y =1 和圆 x +y ﹣6y+5=0 的位置关系是( A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 内含 8.图是截去了一个角的正方体,则它的俯视图为(





A.

B.

C.

D.

9.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长 为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( )

A.

B.

C.

D.

10.设有两条直线 a,b 和两个平面 α、β,则下列命题中错误的是( ) A. 若 a∥α,且 a∥b,则 b?α 或 b∥α B. 若 a∥b,且 a⊥α,b⊥β,则 α∥β C. 若 α∥β,且 a⊥α,b⊥β,则 a∥b D. 若 a⊥b,且 a∥α,则 b⊥α 11.已知点 A(2,3) ,B(﹣3,﹣2) .若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直 线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) A. B. C. k≥2 或
2 2

D . k≤ 2

12.由直线 y=x+1 上的点向圆 x ﹣6x+y +8=0 引切线,则切线长的最小值为( A. 1 B. 2 C. D. 3



二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积 为 . 14.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是 15.曲线 y=1+ 范围是 . .

(﹣2≤x≤2)与直线 y﹣4=k(x﹣2)有两个交点时,实数 k 的取值

16.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,则下列四个命题: ①P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A﹣D1PC 的体积不变; ②P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P﹣AD1﹣C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线,其 中真命题的编号是 . (写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)已知△ ABC 的三个顶点 A(4,﹣6) ,B(﹣4,0) , C(﹣1,4) ,求: (1)BC 边的垂直平分线 EF 的方程; (2)AB 边的中线的方程. 18. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)如图:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=AA1=2, ∠ACB=90°.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)求三棱锥 A1﹣CDE 的体积.

19. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱长为 a (1)求直线 BC1 与 AC 所成的角; (2)求直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)求证:平面 BDD1⊥平面 ACA1.

20. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)已知圆:x +y +x﹣6y+c=0,直线 l 过(1,1)且斜 率为 .若圆与直线交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ.求

2

2

(1)直线 l 方程; (2)求 c 的值. 21. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, ABCD 是正方形, PD⊥ 平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别是 PC,PD,BC 的中点. (1)求证:平面 PAB∥平面 EFG; (2)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,并给出证明; (3)证明平面 EFG⊥平面 PAD,并求点 D 到平面 EFG 的距离.

22. (14 分) (2015 春?中山期末) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与直线 4x+3y﹣29=0 相切.求: (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB? 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

2014-2015 学年福建省莆田市哲理中学高一(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的 代号填在题后的括号内,每小题 5 分,共 60 分.) 1.﹣300°化为弧度是( ) A. B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣

考点: 专题: 分析: 解答: ∴1°=

弧度与角度的互化. 三角函数的求值. 根据角度户弧度之间的关系进行转化即可. 解:∵180°=πrad, rad, = rad,

∴﹣300°× 故选 B.

点评: 本题考查弧度与角度的互化,角度化为弧度用度数乘以 乘以 ,正确做对本题关键是熟练记忆转化的规则.

,弧度化为角度用度数

2.圆 x +y ﹣2x﹣4y﹣4=0 的圆心坐标是(

2

2



A. (﹣2,4) B. (2,﹣4) C. (﹣1,2) D. (1,2) 考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 圆的方程化为标准方程,可得圆心坐标. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣2x﹣4y﹣4=0 可化为(x﹣1) +(y﹣2) =9, ∴圆心坐标是(1,2) , 故选 D. 点评: 本题考查圆的方程,将圆的方程化为标准方程是关键. 3.已知两平行直线 l1:x﹣y=0 与 l2:x﹣y+b=0 的距离为 A. B. 2 C. D. ±2 ,则实数 b=( )

考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 计算题. 分析: 利用点到直线的距离求解平行线之间的距离,即可得到结果. 解答: 解:在直线 x﹣y=0 上取(0,0) ,由点到直线的距离公式有 ,所以 b=±2.

故选 D. 点评: 本题考查两条直线的距离的求法,点到直线的距离公式的应用,基本知识的考查.

4.直线 + =1 与 x,y 轴所围成的三角形的面积等于( A. 6 B. 12 C. 24 D. 60 考点: 专题: 分析: 解答:



直线的截距式方程. 直线与圆. 令 x=0,解得 y=4;令 y=0,解得 x=3.即可得出三角形的面积. 解:令 x=0,解得 y=4;令 y=0,解得 x=3.

∴直线 4x+3y=12 与 x,y 轴所围成的三角形的面积 S= ×3×4=6. 故选:A. 点评: 本题考查了直线与坐标轴的交点坐标、三角形的面积计算公式,属于基础题. 5.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,已知这个正方体的体积是 8,则这个球的表 面积是( ) A. 4π B. 8π C. 12π D. 24π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 正方体的体积求出正方体的棱长,可得球的半径,利用球的表面积即可得出结论. 解答: 解:∵正方体的体积是 8, ∴正方体的棱长为 2, ∴正方体的体对角线为 2 ,

设球的半径为 R,则 R= , 2 ∴4πR =12π. 故选:C. 点评: 本题考查球内接多面体,棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,考查计算能力. 6.圆(x﹣1) +(y﹣1) =2 被 x 轴截得的弦长等于( A. 1 B. C. 2 D. 3
2 2



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 在圆的方程中,令 y=0,求出 x,即可得到弦长. 解答: 解:令 y=0,可得(x﹣1) =1,解得 x﹣1=±1,∴x=2,或 x=0. 2 2 ∴圆(x﹣1) +(y﹣1) =2 被 x 轴截得的弦长等于 2﹣0=2, 故选 C. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查圆中弦长的计算,属于基础题. 7.圆 x +y =1 和圆 x +y ﹣6y+5=0 的位置关系是( A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 内含
2 2 2 2 2



考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 根据题意先求出两圆的圆心和半径,根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出 两圆相外切. 解答: 解:圆 x +y ﹣6y+5=0 的标准方程为:x +(y﹣3) =4, 所以其表示以(0,3)为圆心,以 2 为半径的圆, 所以两圆的圆心距为 3,正好等于两圆的半径之和, 所以两圆相外切, 故选 A. 点评: 本题考查两圆的位置关系,由两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出两圆相外切. 8.图是截去了一个角的正方体,则它的俯视图为( )
2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 分析: 根据几何体的形状确定出俯视图即可.

解答: 解:根据几何体的形状得俯视图为 , 故选:D. 点评: 此题考查了简单空间图形的三视图,弄清几何体三视图的画法是解本题的关键. 9.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长 为 1 的正方形,则此四棱锥的体积为( ) A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方 形,求出四棱锥的底面面积,然后求出四棱锥的体积. 解答: 解:一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个 边长为 1 的正方形, 则四棱锥的底面面积为:2 ,所以四棱锥的体积为: =2 ;

故选 D. 点评: 本题是基础题,在斜二测画法中,平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积 之比为 2 ,是需要牢记的结论,也是解题的根据. 10.设有两条直线 a,b 和两个平面 α、β,则下列命题中错误的是( ) A. 若 a∥α,且 a∥b,则 b?α 或 b∥α B. 若 a∥b,且 a⊥α,b⊥β,则 α∥β C. 若 α∥β,且 a⊥α,b⊥β,则 a∥b D. 若 a⊥b,且 a∥α,则 b⊥α 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 证明题. 分析: A:若 a∥α,且 a∥b,则 b?α 或 b∥α;B:由线面垂直的性质可判断;C:由线面 垂直的性质定理可判断;D:b⊥α 也有可能 b?α 解答: 证明:A:若 a∥α,且 a∥b,则 b?α 或 b∥α,正确 B:若 a∥b,且 a⊥α,则 b⊥α,又 b⊥β,则由线面垂直的性质可知 α∥β,正确 C:若 α∥β,且 a⊥α,则 a⊥β,又 b⊥β,由线面垂直的性质定理可知 a∥b,正确 D:若 a⊥b,且 a∥α,则 b⊥α 也有可能 b?α,错误 故选 D 点评: 本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,空间中直线与直线之间的位置关 系, 空间中直线与平面之间的位置关系, 熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理 是解答此类问题的关键. 11.已知点 A(2,3) ,B(﹣3,﹣2) .若直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 相交,则直 线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) A. B. C. k≥2 或 D . k≤ 2

考点: 直线的斜率. 分析: 首先求出直线 PA、PB 的斜率,然后结合图象即可写出答案. 解答: 解:直线 PA 的斜率 k= =2,直线 PB 的斜率 k′= = ,

结合图象可得直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≥2 或 k≤ . 故选 C.

点评: 本题考查直线斜率公式及斜率变化情况. 12.由直线 y=x+1 上的点向圆 x ﹣6x+y +8=0 引切线,则切线长的最小值为( A. 1 B. 2 C. D. 3
2 2



考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得切线最短则圆心和点的距离最小,则此时就是 C 到 x﹣y+1=0 的距离 d= =2
2

,由勾股定理切线长最小值为:
2 2 2

=



解答: 解:圆 x ﹣6x+y +8=0?(x﹣3) +y =1 的圆心 C(3,0) ,半径 r=1, ∵半径一定, ∴切线最短则圆心和点的距离最小, 则此时就是 C 到 x﹣y+1=0 的距离 d= =2 , = .

由勾股定理切线长最小值为:

故选:C. 点评: 本题考查圆的切线长的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直 线的距离公式的合理运用. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.) 13.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积为 2π .

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求 圆柱的侧面积. 解答: 解:边长为 1 的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱, 则所得几何体的侧面积为:1×2π×1=2π, 故答案为:2π 点评: 本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力. 14.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是 (π﹣2)rad . 考点: 弧长公式. 专题: 计算题. 分析: 由题意,本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长,可令圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l,建立方程,求得弧长与半径的关系,再求扇形的圆心角. 解答: 解:令圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l 由题意得 2r+l=πr ∴l=(π﹣2)r ∴θ= =π﹣2 故答案为: (π﹣2)rad. 点评: 本题考查弧长公式,解题的关键是熟练掌握弧长公式,且能利用公式建立方程进行 运算,本题考查对公式的准确记忆能力

15.曲线 y=1+ 范围是 ( , ]

(﹣2≤x≤2)与直线 y﹣4=k(x﹣2)有两个交点时,实数 k 的取值 .

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 将曲线方程化简,可得曲线表示以 C(0,1)为圆心、半径 r=2 的圆的上半圆.再 将直线方程化为点斜式,可得直线经过定点 A(2,4)且斜率为 k.作出示意图,设直线与 半圆的切线为 AD,半圆的左端点为 B(﹣2,1) ,当直线的斜率 k 大于 AD 的斜率且小于 或等于 AB 的斜率时,直线与半圆有两个相异的交点.由此利用直线的斜率公式与点到直线 的距离公式加以计算,可得实数 k 的取值范围. 解答: 解:化简曲线 y=1+ (﹣2≤x≤2) ,得 x +(y﹣1) =4(y≥1)
2 2

∴曲线表示以 C(0,1)为圆心,半径 r=2 的圆的上半圆. ∵直线 kx﹣y﹣2k+4=0 可化为 y﹣4=k(x﹣2) , ∴直线经过定点 A(2,4)且斜率为 k. 又∵半圆 y=1+ (﹣2≤x≤2)与直线 y﹣4=k(x﹣2)有两个交点,

∴设直线与半圆的切线为 AD,半圆的左端点为 B(﹣2,1) , 当直线的斜率 k 大于 AD 的斜率且小于或等于 AB 的斜率时, 直线与半圆有两个相异的交点. 由点到直线的距离公式,当直线与半圆相切时满足 =2,

解之得 k=

,即 kAD=

. , ].

又∵直线 AB 的斜率 kAB= ,∴直线的斜率 k 的范围为 k∈( 故答案为: ( , ].

点评: 本题给出直线与半圆有两个不同的交点,求直线的斜率 k 的取值范围.着重考查了 直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 16.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,则下列四个命题: ①P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A﹣D1PC 的体积不变; ②P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P﹣AD1﹣C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线,其 中真命题的编号是 ①③④ . (写出所有真命题的编号)

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积;与二面角有关的立体几何综合 题. 专题: 压轴题;规律型;转化思想. 分析: ①易知 BC1∥平面 AD1C, 所以 BC1 上任意一点到平面 AD1C 的距离相等, 底不变, 所以体积不变.

②通过举例说明, 如直线 AB 与平面 ACD1 所成角和直线 AC1 与平面 ACD1 所成角不相等. ③P 在直线 BC1 上运动时,可知 AP 的轨迹是平面 PAD1,即二面角 P﹣AD1﹣C 的大小不 受影响. ④空间中到点 D 和 C1 距离相等的点的轨迹是线段 DC1 的中垂面,又点 M 在面 A1B1C1D1 内,则点 M 的轨迹是面 A1B1C1D1 与 线段 DC1 的中垂面的交线,即 AD1,所以必过 D1 点. 解答: 解:①∵BC1∥平面 ACD1,∴BC1∥上任意一点到平面 AD1C 的距离相等,所以体 积不变,正确. ②P 在直线 BC1 上运动时,直线 AB 与平面 ACD1 所成角和直线 AC1 与平面 ACD1 所成角 不相等,所以不正确. ③当 P 在直线 BC1 上运动时,AP 的轨迹是平面 PAD1,即二面角 P﹣AD1﹣C 的大小不受 影响,所以正确. ④∵空间中到点 D 和 C1 距离相等的点的轨迹是线段 DC1 的中垂面, 又点 M 在面 A1B1C1D1 内,则点 M 的轨迹是面 A1B1C1D1 与 线段 DC1 的中垂面的交线,即 AD1,所以正确. 故答案为:①③④ 点评: 本题主要考查三棱锥体积的转化,线面角,二面角以及点的轨迹问题,考查全面, 灵活,是一道好题. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)已知△ ABC 的三个顶点 A(4,﹣6) ,B(﹣4,0) , C(﹣1,4) ,求: (1)BC 边的垂直平分线 EF 的方程; (2)AB 边的中线的方程. 考点: 待定系数法求直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由条件求得直线 BC 的斜率和线段 BC 的中点的坐标,可得 BC 边的垂直平分 线 EF 的斜率,再利用点斜式求出 BC 边的垂直平分线 EF 的方程. (2)求出 AB 的中点为 M(0,﹣3) ,再根据 C(﹣1,4) ,利用两点式求得 AB 边的中线 CM 的方程. 解答: 解: (1)由题意可得直线 BC 的斜率为 故 BC 边的垂直平分线 EF 的斜率为﹣ 故 BC 边的垂直平分线 EF 的方程为 y﹣2=﹣ ?(x+ ) ,即 3x+4y﹣ =0. (2) 由于 AB 的中点为 M (0, ﹣3) , C (﹣1, 4) , 故 AB 边的中线 CM 的方程为 = , = ,线段 BC 的中点为(﹣ ,2) ,

即 7x+y+3=0. 点评: 本题主要考查直线的斜率公式,用点斜式、两点式求直线的方程,属于基础题. 18. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)如图:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=AA1=2, ∠ACB=90°.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= . (Ⅰ)求证:CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)求三棱锥 A1﹣CDE 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)根据 DE= ,可得 D 为 AB 的中点,然后利用线面垂直的判定定理,证明 CD⊥AB,即可证明 CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅱ)根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积. 解答: 解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°, ∴△ACB 为等腰直角三角形,∴AB=2 , ∵E 为 BB1 的中点,∴BE=1, 又 DE= , ∴BD= ,即 D 为 AB 的中点, ∴CD⊥AB. 又 AA1⊥CD,AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面 A1ABB1. (Ⅱ)∵CD⊥平面 A1ABB1, ∴CD 是三棱锥 C﹣A1DE 的高,且 CD=

. ,

∴ 又 ∴三棱锥 A1﹣CDE 的体积为 . =

=4 .

=



点评: 本题主要考查线面垂直的判断,以及三棱锥的体积的计算,利用等积法将三棱锥转 化为规则的三棱锥是解决本题关键. 19. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱长为 a (1)求直线 BC1 与 AC 所成的角; (2)求直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)求证:平面 BDD1⊥平面 ACA1.

考点: 平面与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连接 AD1,D1C,证明∠D1AC 为直线 BC1 与 AC 所成的角,即可求得结论; (2)利用 DD1⊥平面 ABCD,可得∠D1DB 为直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角,利用正切 函数可得结论; (3)利用线面垂直的判定定理证明 AC⊥平面 BD1D,再利用面面垂直的判定定理证明平面 ACA1⊥平面 BD1D. 解答: (1)解:连接 AD1,D1C,则 ∵ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体,∴四边形 ABC1D1 是平行四边形 ∴AD1∥BC1, ∴∠D1AC 为直线 BC1 与 AC 所成的角, ∵△AD1C 是等边三角形, ∴直线 BC1 与 AC 所成的角为 60°; (2)解:∵DD1⊥平面 ABCD,∴∠D1DB 为直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角, 在 Rt△ D1DB 中,tan∠D1DB= = ;

∴直线 D1B 与平面 ABCD 所成角的正切值为

(3)证明:∵DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD ∴DD1⊥AC ∵BD⊥AC,BD∩DD1=D ∴AC⊥平面 BD1D ∵AC?平面 ACA1, ∴平面 ACA1⊥平面 BD1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 本题考查空间角,考查面面垂直,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是正 确作出空间角.

20. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末)已知圆:x +y +x﹣6y+c=0,直线 l 过(1,1)且斜 率为 .若圆与直线交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ.求

2

2

(1)直线 l 方程; (2)求 c 的值. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)利用直线 l 过(1,1)且斜率为
2

,可得直线的方程;

(20 先将直线与圆的方程联立,得到 5y ﹣20y+12+m=0,再由韦达定理分别求得 y1?y2= .因为 OP⊥OQ,转化为 x1?x2+y1?y2=0 求解. ,

解答: 解: (1)∵直线 l 过(1,1)且斜率为

所以直线的方程为 y﹣1=﹣ (x﹣1) ,即 x+2y﹣3=0; (2)设 P、Q 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) , 由 OP⊥OQ 可得: ? =0,

所以 x1?x2+y1?y2=0. 2 2 由 x+2y﹣3=0 得 x=3﹣2y 代入 x +y +x﹣6y+c=0 2 化简得:5y ﹣20y+12+c=0, 所以 y1+y2=4,y1?y2= .

所以 x1?x2+y1?y2=(3﹣2y1)?(3﹣2y2)+y1?y2=9﹣6(y1+y2)+5y1?y2 =9﹣6×4+5× =c﹣3=0

解得:c=3. 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用,应用了韦达定理,体现了数形 结合的思想,是常考题型,属中档题. 21. (12 分) (2014 秋?莆田校级期末) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, ABCD 是正方形, PD⊥ 平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别是 PC,PD,BC 的中点. (1)求证:平面 PAB∥平面 EFG; (2)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,并给出证明; (3)证明平面 EFG⊥平面 PAD,并求点 D 到平面 EFG 的距离.

考点: 直线与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 由已知可得 EG∥PB,从而可证 EG∥平面 PAB,则只要再证明 EF∥平面 PAB, 即证 EF∥AB,结合已知容易证,根据平面与平面平行的判定定理可得. (2) 若使得 PC⊥平面 ADQ, 即证明 PC⊥平面 ADE, 当 Q 为 PB 的中点时, PC⊥AE, AD⊥PC 即可. (3)欲证平面 EFG⊥平面 PAD,根据面面垂直的判定定理可知在平面 EFG 内一直线与平 面 PAD 垂直,CD⊥AD,CD⊥PD,AD∩PD=D,满足线面垂直的判定定理,则 CD⊥平面 PAD,再根据 EF∥CD,则 EF⊥平面 PAD,满足定理条件,取 AD 中点 H,连接 FH,GH, 在平面 PAD 内,作 DO⊥FH,垂足为 O,则 DO⊥平面 EFGH,DO 即为 D 到平面 EFG 的 距离,在三角形 PAD 中,求出 DO 即可. 解答: 解: (1)证明:E,G 分别是 PC,BC 的中点得 EG∥PB, ∵EG?平面 PAB,PB∥平面 PAB ∴EG∥平面 PAB 又 E,F 分别是 PC,PD 的中点, ∴EF∥CD,又 AB∥CD ∴EF∥AB ∵EF?平面 PAB,AB?平面 PAB ∴EF∥平面 PAB, 又∵EG,EF?平面 EFG,EG∩EF=E, ∴平面 PAB∥平面 EFG. (2)Q 为 PB 的中点,连 QE,DE,又 E 是 PC 的中点, ∴QE∥BC,又 BC∥AD,∴QE∥AD ∴平面 ADQ,即平面 ADEQ, ∵PD⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD ∴PD⊥DC,又 PD=AB=2,ABCD 是正方形, ∴等腰直角三角形 PDC 由 E 为 PC 的中点知 DE⊥PC. ∵PD⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD ∴PD⊥AD, 又 AD⊥DC,PD∩CD=D, ∴AD⊥面 PDC. ∵PC?面 PDC ∴AD⊥PC,且 AD∩DE=D. ∴PC⊥平面 ADEQ, 即 PC⊥平面 ADQ 由于 EQ∥BC∥AD, ∴ADEQ 为平面四边形, 由 PD⊥平面 ABCD,得 AD⊥PD, 又 AD⊥CD,PD∩CD=D, ∴AD⊥平面 PDC, ∵PC?平面 PDC, ∴AD⊥PC,

又三角形 PDC 为等腰直角三角形,E 为斜边中点, ∴DE⊥PC,AD∩DE=D, ∴PC⊥平面 ADQ. (2)∵CD⊥AD,CD⊥PD,AD∩PD=D, ∴CD⊥平面 PAD, 又 EF∥CD, ∴EF⊥平面 PAD, ∵EF?平面 EFG, ∴平面 EFG⊥平面 PAD. 取 AD 中点 H,连接 FH,GH, 则 HG∥CD∥EF,平面 EFGH 即为平面 EFG, 在平面 PAD 内,作 DO⊥FH,垂足为 O, 则 DO⊥平面 EFGH, DO 即为 D 到平面 EFG 的距离, 在三角形 PAD 中,H,F 为 AD,PD 中点, ∴DO=FDsin45°= . .

即 D 到平面 EFG 的距离为

点评: 本题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等 有关知识,考查空间想象能力和思维能力,属于中档题. 22. (14 分) (2015 春?中山期末) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与直线 4x+3y﹣29=0 相切.求: (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB? 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)利用点到直线的距离求出半径,从而求圆的方程; (Ⅱ)利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数 a 的取值范围; (Ⅲ)假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决.

解答: 解: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) . 由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5,所以, 即|4m﹣29|=25. 因为 m 为整数,故 m=1. 2 2 故所求的圆的方程是(x﹣1) +y =25. (Ⅱ)直线 ax﹣y+5=0 即 y=ax+5.代入圆的方程,消去 y 整理,得 (a +1)x +2(5a﹣1)x+1=0. 由于直线 ax﹣y+5=0 交圆于 A,B 两点, 2 2 故△ =4(5a﹣1) ﹣4(a +1)>0, 即 12a ﹣5a>0,解得 a<0,或 所以实数 a 的取值范围是 (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在, 由(2)得 a≠0,则直线 l 的斜率为 l 的方程为 , ,
2 2 2



. .

即 x+ay+2﹣4a=0. 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上. 所以 1+0+2﹣4a=0,解得 由于 , .

故存在实数 a= ,使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB. 点评: 本题主要考查了圆的标准方程,点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系等知识 的综合应用,以及存在性问题的解决技巧,属于难题.


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